Relazioni di equivalenza QED per varietà algebriche e complesse
Fabrizio Catanese (Univ. Bayreuth)
Nella teoria della classificazione della varieta' algebriche (o
piu' generalmente varieta' complesse compatte), e' d'uso considerare
due varieta'
lisce equivalenti se esse sono tra loro birazionali, oppure sono
deformazione
l' una dell' altra.
Un invariante per tale classificazione e' la dimensione di Kodaira, che
per le curve assume valore 1 se e solo se il genere g e' almeno 2.
Tale considerazione suggerisce di considerare piu' generalmente
varieta' a singolarita' canoniche, e la relazione di equivalenza
QED = Quasi Etale Deformation, generata da
1) trasformazioni birazionali
2) deformazioni
3) morfismi quasi etale, ovvero ramificati solo su un sottinsieme di
codimensione almeno due della varieta' di partenza.
Un recente teorema di Siu garantisce che per varieta' algebriche la
dimensione di Kodaira e' un invariante per la equivalenza QED.
Un interessante teorema e' allora il seguente: le classi di QED
equivalenza di curve o superficie speciali coincidono con il dato della
dimensione e della dimensione di Kodaira.
Un risultato simile vale anche per le superficie Kaehleriane, non vale
per le superficie non Kaehleriane ( le superficie di Hopf sono stabili
per equivalenze QED) e probabilmente non vale per le superficie di tipo
generale.
Le relazioni di equivalenza QED pongono in ogni caso nuovi
interessanti problemi.
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