Un famoso teorema di Hacon-McKernan e Takayama asserisce che per ogni varietà proiettiva complessa X di tipo generale e dimensione d, esistono interi n(d) e m(d) tali che l'n-esimo plurigenere P(n) è diverso da 0 se n>n(d) e l'm-esima mappa pluricanonica f(m) è birazionale se m>m(d). Valori effettivi per n(d) e m(d) non sono conosciuti, salvo che per d=1,2,3.

E' ragionevole aspettarsi che supponendo il volume di X sufficientemente grande si possano ottenere risultati migliori: in questo seminario daremo stime esplicite per d=3, migliorando così un risultato di Todorov. Inoltre sempre nel caso di volume alto, daremo una caratterizzazione dei 3-folds con mappa 4-canonica non birazionale, mostrando quindi come le stime ottenute per d=3 siano in un certo senso ottimali. Daremo stime esplicite anche per i 4-folds di tipo generale e, infine, indicheremo alcune generalizzazioni ai casi di dimensione superiore.