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Università |
| degli studi | |
| Roma Tre |
Dipartimento di Matematica
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Dipartimento di Matematica |
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| Orario delle lezioni Martedi e Giovedi dalle 11:00 alle 13:00 Inizio corso : Martedi 26 Febbraio |
| Diario delle Lezioni |
| Introduzione |
| Un problema fondamentale nella teoria della classificazione delle varietà proiettive di dimensione arbitraria consiste nel cercare di caratterizzare geometricamente le varietà aventi dimensione di Kodaira negativa. Congetturalmente tali varietà dovrebbero essere tutte e sole le varietà ricoperte da curve razionali (varietà unirigate). Il risultato più importante nella direzione di tale congettura è stato ottenuto nel 2004 da Boucksom, Demailly, Paun e Peternell [BDPP], i quali hanno dimostrato che una varietà proiettiva non singolare non èe unirigata se, e solo se, il suo divisore canonico è pseudo-effettivo (ovvero limite di divisori effettivi). Questo risultato è dedotto in modo standard dalla descrizione, ottenuta dai quattro autori, del (duale del) cono dei divisori pseudo-effettivi. Più recentemente, Boucksom, Favre e Jonssonn [BFJ] hanno riottenuto la descrizione del cono dei divisori pseudo-effettivi come conseguenza formale della derivabilità della funzione volume. Il volume di un divisore è una misura di positività (si ha in particolare che $vol(D)>0$ se, e solo se, $D$ è big) la cui importanza nello studio delle varietà di dimensione arbitraria è stata messa in risalto negli ultimi anni attraverso i lavori di Boucksom, Nakayama, Ein-Lazarsfeld et al [ELMNP1], [ELMNP2], Hacon-McKernan, Takayama e Tsuji. Nel corso, che può essere considerato come una continuazione naturale del corso impartito da A. Lopez nell'a.a. 2005--06, ci riproponiamo di trattare in dettaglio le proprietà del volume (e del volume ristretto) seguendo [L], [ELMNP1], [ELMNP2], sino a dimostrare il teorema di [BDPP] seguendo la strategia di [BFJ]. Nella parte finale del corso studieremo i luoghi base di serie lineari, e le loro generalizzazioni. Allo scopo di illustrare una delle importanti applicazioni di [BDPP], presenteremo la dimostrazione di un recente risultato di Takayama, secondo il quale tutte le componenti irriducibili del luogo base stabile della serie canonica (risp. dell'anticanonica) di una varietà di tipo generale (risp. di una varietà con anti-canonico big) sono unirigate. |
| Programma |
| Enunciato del Teorema di Boucksom-Demailly-Paun-Peternell ([BDPP]). Enunciato del Teorema di Miyaoka-Mori. Coni di divisori. Volume di divisori e sue proprietà. Decomposizione di Zariski e sue generalizzazioni. Volume ristretto di divisori e sue proprietà. Differenziabilità della funzione volume, d'après Boucksom-Favre-Jonsson. La differenziabilità del volume implica BDPP. Applicazioni allo studio dei luoghi base dei sistemi pluricanonici, d'après Takayama. |
| Testi consigliati: |
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[BDPP] S. Boucksom, J.-P. Demailly, M. Paun, Th. Peternell, The pseudo-effective cone of a compact Kähler manifold
and varieties of negative Kodaira dimension, preprint math.AG/0405285.
[BFJ] S. Boucksom, C. Favre, M. Jonsson, Differentiability of volumes of divisors and a problem of Teissier, preprint math.AG/0608260 [ELMNP1] L. Ein, R. Lazarsfeld, M. Mustata, M. Nakayame, M. Popa, Asymptotic invariants of base loci, Ann. Inst. Fourier. 56 (2006), 1701--1734. Also available as preprint math.AG/0308116. [ELMNP2] L. Ein, R. Lazarsfeld, M. Mustata, M. Nakayame, M. Popa, Restricted volumes and base loci of linear series, preprint math.AG/0607221. [L] R. Lazarsfeld, Positivity in algebraic geometry I, II Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete vol. 48, 49, Springer-Verlag, Heidelberg, 2 |