AL210 - Algebra 2

Dipartimento di Matematica e Fisica
Università degli studi Roma Tre
Corso di Laurea Triennale in Matematica

 
Ricevimento studenti


Orario delle esercitazioni:
Giovedì 14:00-16:00  Aula G


Diario delle esercitazioni:

LEZIONE 1

Argomenti: Richiami di teoria dei gruppi. Definizione di gruppo. Unicità dell'elemento neutro. Unicità del simmetrico. Leggi di cancellazione. Ogni idempotente in un gruppo è banale. Notazione potenza e multiplo. Proprietà delle potenze. Costruzione dei gruppi con uno, due e tre elementi a partire dalle tavole di moltiplicazione.

LEZIONE 2
Argomenti: Richiami sui gruppi di permutazioni. Decomposizione in cicli disgiunti. Decomposizioni in trasposizioni. Regole di calcolo con le permutazioni. Parità di una permutazione: la parità è ben definita. I sottogruppi di un gruppo finito sono tutti e soli i sottoinsiemi stabili. Ordine di un elemento. Sottogruppi di un gruppo. Gruppi diedrali. Il gruppo di Klein delle simmetrie del rettangolo.
ESERCIZI

LEZIONE 3
Argomenti: Classi laterali destre e sinistre. Teorema di Lagrange per i gruppi abeliani finiti (versione debole). Teorema di Lagrange per i gruppi finiti. Sottogruppi normali: definizione e prorpietà. Teorema di Cayley. Prodotto diretto di gruppi. Prodotto interno di sottogruppi.

LEZIONE 4
Argomenti: Prodotto diretti di gruppi. Forma gruppale del teorema cinese dei resti. Descrizione dei gruppi \(\mathbb{Z}_{p^2}\), \(\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p\), \(\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_q\), con \(p\) e \(q\) primi distinti. Omomorfismi, monomorfismi, epimorfismi e isomorfismi tra gruppi ciclici. Applicazioni del teorema fondamentale di isomorfismo per gruppi.

LEZIONE 5
Argomenti: Omomorfismi di gruppi ciclici. Cenni sul gruppo \(\mathcal{Hom}(G,G')\). Gruppi quozienti modulo un sottogruppo. Il gruppo \(GL_n(\mathbb{Z}_p)\), con \(p\) primo. Azioni di un gruppo su un insieme. Orbite. Stabilizzatori. Formula di Burnside.

LEZIONE 6
Argomenti: Classi di coniugio, centralizzanti, centro, sottogruppi, sottogruppi normali, equazione delle classi e formula di Burnside in \(Q_8\). Normalizzatore di un sottogruppo. Gruppo degli automorfismi di un gruppo ciclico, di \(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\) e di \(S_3\). Automorfismi interni (cenni).

LEZIONE 7
Argomenti: Anelli: esempi vari. Elementi invertibili. Il corpo dei quaternioni reali. Sottoanelli. Centro di un anello. Centralizzante di un elemento.

LEZIONE 8
Argomenti: Prodotto diretto di anelli. Teorema cinese dei resti. Ideali destri, sinistri, bilateri. Ideali primi in anelli commutativi. Omomorfismi di anelli.

LEZIONE 9
Argomenti: Omomorfismi di anelli. Ideali di prodotti diretti di anelli. Omorfismo di valutazione polinomiale (a coefficieti in anelli commutativi). Ideali primi. Ideali massimali. Teorema fondamentale di isomorfismo per anelli.

LEZIONE 10
Argomenti: Anelli ad ideali principali. L'anello degli interi \(\mathbb Z\) è un dominio ad ideali principali. Gli anelli \(\mathbb Z_m\) sono ad ideali principali. Teorema di corrispondenza per gli ideali. Ideali, ideali primi, ideali massimali di prodotti diretti di anelli. Centro dell'anello delle matrici a coefficienti in un anello unitario. Ideali di anelli di matrici. Caratterizzazione di ideali massimali in anelli non commutativi.

LEZIONE 11
Argomenti: Domini principali. L'anello degli interi di Gauss. Domini euclidei. Localizzazione degli interi in un primo. Domini di Bézout. Domini con massimo comun divisore.

Esercizi in preparazione al secondo esonero


Libri di testo consigliati:

• Algebra, un approccio algoritmico, G.M. Piacentini Cattaneo, Decibel -Zanichelli
• Algebra, M. Artin, Bollati Boringhieri
• Aritmetica e algebra, D. Dikranjan - M.S. Lucido, Liguori