GE110 - Geometria 1
Dipartimento di Matematica e Fisica
Università degli studi Roma Tre
Corso di Laurea Triennale in Matematica
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Ricevimento studenti

Orario delle esercitazioni:
Lunedì         16:00-18:00         Aula B3
Giovedì       16:00-17:00         Aula B3

Diario delle esercitazioni:

LEZIONE 1
Argomenti: Il gruppo additivo abeliano delle matrici di tipo \(m\times n\) a coefficienti reali. L'anello unitario delle matrici quadrate di ordine \(n\) a coefficienti reali. Non commutatività del prodotto riga per colonna e conseguenze. Non integrità del prodotto e conseguenze. Centralizzanti. Centro dell'anello delle matrici. Matrici idempotenti. Formule per il calcolo di potenze di matrici.

LEZIONE 2
Argomenti: Annullatore destro e sinistro di una matrice quadrata. Matrici nilpotenti. Matrici invertibili. Matrici simmetriche ed antisimmetriche. Decomposizione unica di matrici quadrate in parte simmetrica ed antisimmetrica.

LEZIONE 3
Argomenti: Sistemi lineari numerici e parametrici. Matrici invertibili. Fattorizzazione di matrici invertibili come prodotto di matrici elementari. Calcolo della matrice inversa.

LEZIONE 4
Argomenti:  Sottospazi vettoriali. Vettori linearmente dipendenti. Vettori linearmente indipendenti.

LEZIONE 5
Argomenti: Ancora sui sistemi parametrici. Sistemi di generatori. Basi di sottospazi. 

LEZIONE 6
Argomenti: Sottospazi vettoriali: calcolo di basi e dimensioni. Completamento di basi di un sottospazio.

LEZIONE 7
Argomenti:  Somma e intersezione di sottospazi. Formula di Grassmann. Rango di vettori e matrici.
LEZIONE 8
Argomenti: Esercitazione in preparazione all'esonero.

LEZIONE 9
Argomenti: Esercitazione in preparazione all'esonero.

LEZIONE 10
Argomenti: Determinanti: definizione e proprietà. Calcolo del rango di una matrice in termini di ordine dei suoi minori non nulli. Teorema e regola di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli.

LEZIONE 11
Argomenti: Risoluzione di sistemi lineari parametrici con il teorema di Rouché-Capelli e con la regola di Cramer.

LEZIONE 12
Argomenti: Calcolo del rango col principio dei minori orlati di Kronecker. Il problema dell'interpolazione polinomiale. Determinante di Vandermonde. Equazioni cartesiane e parametriche di un sottospazio vettoriale.

LEZONE 13
Argomenti: Spazi affini. Sottospazi affini. Equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi affini e della loro giacitura.

LEZIONE 14
Argomenti: Geometria affine nel piano e nello spazio. Fasci di piani e di rette (cenni).

LEZIONE 15
Argomenti: Geometria affine.

LEZIONE 16
Argomenti: Spazio congiungente sottospazi affini. Formula di Grassmann affine (si ricordi che l'insieme vuoto non è un sottospazio affine e che si pone per comodità la sua dimensione uguale a -1). Applicazioni lineari. Teorema fondamentale di esistenza e unicità dell'omomorfismo definito sui valori di una base.
LEZIONE 17
Argomenti: Applicazioni lineari. Nucleo. Immagine. Teorema del rango.

LEZIONE 18
Argomenti: Matrici associate ad applicazioni lineari. Spazio duale.

LEZIONE 19
Argomenti: Spazio duale. Spazi di omomorfismi di spazi vettoriali. Quozienti di spazi vettoriali.

LEZIONE 20
Argomenti: Spazi di endomorfismi. Applicazione duale di un endomorfismo. Autovalori e autovettori. L'autospazio dell'autovalore nullo coincide con il nucleo. Applicazioni diagonalizzabili e non.



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