MATEMATICA II CORSO
Facoltà di Ingegneria dell'Informazione, Informatica e Statistica
Sapienza Università di Roma
Corso di Laurea Triennale in Statistica, Economia e Società (SES)
Corso di Laurea Triennale in Statistica, Economia, Finanza e Assicurazioni (SEFA)
Corso di Laurea Triennale in Statistica Gestionale (SG)
A.A. 2018/2019

 

AVVISI


Le prove orali si terranno Giovedì 14 Maggio alle ore 17:30 via telematica su Meet al link seguente: https://meet.google.com/jbi-hpru-exp


Il docente è disponibile a mostrare le correzioni  (preferibilmente) sulla piattaforma Teams nel canale Matematica II Corso (codice rr6h2q3) in serata. In alternativa è possibile chiedere un apuntamento su Teams.


 
 
 
Docente:  prof. Antonio Cigliola

 
Ricevimento


Orario delle lezioni:

Corso di Laurea Triennale in Statistica, Economia e Società
Corso di Laurea Triennale in Statistica Gestionale
Lunedì         14:30 - 16:00        aula 1 "Gini"    [Dipartimento di Statistica]
Lunedì         16:15 - 18:00        aula 1
Mercoledì    15:00 - 16:00        aula 1
Mercoledì    16:15 - 18:00        aula 1


Corso di Laurea Triennale in Statistica, Economia, Finanza e Assicurazioni
 Martedì         15:00 - 16:00        aula 15      [Palazzina CU0035]
Martedì         16:15 - 18:00        aula 15
Venerdì         08:30 - 10:00        aula III      [Dipartimento di Statistica]
Venerdì         10:15 - 12:00        aula III



Prerequisiti: 
Logica elementare. Teoria elementare degli insiemi. Insiemi numerici. Principio di induzione. Equazioni e disequazioni. Goniometria e trigonometria. Geometria Analitica di base. Algebra lineare.


Programma di massima del corso:
Fondazione dei numeri reali: assiomi di campo numerico, assiomi di ordinamento, assioma di continuità. Topologia della retta reale. Proprietà dei numeri reali. Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni elementari: grafici e proprietà. Limiti di funzioni. Continuità delle funzioni. Calcolo differenziale. Asintoti. Grafici di funzioni reali di una variabile reale. Formula di Taylor e formula di Mac-Laurin. Successioni numeriche. Serie numeriche. Calcolo integrale. Equazioni differenziali.


Modalità d'esame:
L'esame comprende una prova scritta di intercorso facoltativa, una prova scritta obbligatoria ed un colloquio orale obbligatorio.


Tracce d'esame:


Libro di testo adottato e materiale didattico consigliato:



DIARIO DELLE LEZIONI:

LEZIONE 1
Argomenti: Presentazione del corso e conoscenza della classe. Introduzione alla logica elementare. Linguaggio formale. Concetti primitivi e postulati. Proposizioni elementari. Connettivi logici: congiunzione, disgiunzione, negazione, implicazione e equivalenza logica. Condizioni necessarie e sufficienti. Tavole di verità. Leggi di De Morgan, doppia negazione, idempotenza, commutatività, principio del terzo escluso e di non contraddizione. Tautologie e contraddizioni. Tecniche dimostrative: dimostrazione diretta, dimostrazione della contronominale, dimostrazione per assurdo. Logica predicativa. Predicati e variabili. Quantificatore esistenziale e quantificatore universale. Negazione dei quantificatori.
Esercizi pag. 13 e segg. numeri 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.6, 1.8

LEZIONE 2
Argomenti: Insiemi ed elementi. Rappresentazione di insiemi. Inclusione ed uguaglianza tra insiemi. Insieme vuoto. Unione, intersezione e differenza tra insiemi. Complementare di un insieme. Proprietà delle operazioni tra insiemi. Insieme delle parti. Prodotto cartesiano di insiemi.
Esercizi pag. 24 e segg. numeri 2.1, 2.2, 2.3, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.10

LEZIONE 3
Argomenti: Esercitazione su logica e insiemi.
Insiemi numerici: \(\mathbb N\), \(\mathbb Z\) e \(\mathbb Q\). Numeri decimali periodici. Irrazionalità di \(\sqrt 2\). Postulato dell'esistenza di un campo ordinato e completo: l'insieme dei numeri reali: \((\mathbb R,\ +,\ \cdot,\ \leqslant)\). Assiomi di campo, assiomi di ordinamento e assioma di continuità.

LEZIONE 4
Argomenti: Proprietà delle operazioni: unicità dello zero, di uno, dell'opposto e dell'inverso; leggi di cancellazione; legge di annullamento del prodotto. Proprietà dell'ordinamento. Introduzione delle relazioni d'ordine \(\geqslant,\ <,\ >\). Numeri positivi e numeri negativi. Regola dei segni. Principi di equivalenza delle disuguaglianze.
Esercitazione su disequazioni.
Esercizi pag. 53 n. 3.17 (i)--(iv);  n. 3.18

LEZIONE 5
Argomenti: Applicazione dell'assioma di continuità per provare che \(\sqrt 2\in\mathbb R\). Teorema della radice \(n\)-esima. Intervalli di \(\mathbb R\). Valore assoluto. Proprietà. Disuguaglianza triangolare. Massimo e minimo di un insieme di numeri reali. Unicità del massimo e del minimo.

LEZIONE 6
Argomenti: Maggioranti e minoranti. Insiemi limitati superiormente. Insiemi limitati inferiormente. Insiemi limitati. Insiemi illimitati inferiormente. Insiemi illimitati superiormente. Caratterizzazione degli insiemi limitati. Estremo superiore. Estremo inferiore. Teorema di esistenza dell'estremo superiore. Teorema di esistenza dell'estremo inferiore. Teorema di caratterizzazione dell'estremo superiore. Teorema di caratterizzazione dell'estremo inferiore.
Introduzione dei simboli \(+\infty\) e \(-\infty\) per indicare estremo superiore ed inferiore di insiemi illimitati superiormente e insiemi illimitati inferiormente.
Esercitazione su disequazioni, estremo superiore, inferiore, massimo, minimo.
Esercizi pag. 51 n. 3.1, 3.7, 3.9, 3.14, 3.17 (vi)-(vii), 3.20 (i)

LEZIONE 7
Argomenti: Prorpietà di Archimede. Proprietà di densità di \(\mathbb Q\) in \(\mathbb R\). Proprietà di densità di \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\) in \(\mathbb R\). Introduzione alla topologia della retta reale. Distanza euclidea sulla retta reale. Proprietà. Intorni di punti reali. Intersezioni e unioni di intorni. Punti interni, punti esterni, punti di frontiera di un sottoinsieme di \(\mathbb R\). Parte interna, parte esterna, frontiera di un sottoinsieme di \(\mathbb R\). Esempi vari.

LEZIONE 8
Argomenti: Punti di accumulazione, punti isolati di un sottoinsieme di \(\mathbb R\). Esempi vari. Funzioni. Funzione identica. Funzione costante. Funzioni reali di variabile reale. Funzioni definite a tratti. Funzione di Dirichlet. Principio di uguaglianza tra funzioni. Restrizione di una funzione. Dominio naturale (insieme di definizione) di una funzione. Immagine di un sottoinsieme del dominio. Controimmagine di un elemento e di un sottoinsieme dell'insieme di arrivo.
Esercitazione su disequazioni irrazionali.
Esercizi pag. 52 n. 3.10, 3.11, 3.21 (i)--(iii),
              pag. 60 n. 4.1 (i), (iv), (ix)
              pag. 99 n. 5.16

LEZIONE 9
Argomenti: Funzioni iniettive, suriettive, biettive. Funzioni crescenti e decrescenti. Funzioni monotone. Funzioni pari e dispari. Funzioni invertibili. Proprietà della funzione inversa e delle funzioni invertibili. Una funzione è invertibile se e solo se è biettiva. Costruzione delle inverse di funzioni invertibili.
Esercitazione sulle funzioni.

LEZIONE 10
Argomenti: Grafici di funzioni: come interpretarli per dedurre la non iniettività, l'insieme immagine e il grafico della funzione inversa. Grafici di funzioni elementari. Funzioni lineari, funzione costante e funzione valore assoluto. Funzioni potenze e funzioni radici. Funzioni goniometriche e funzioni goniometriche inverse. Funzione esponenziale e funzione logaritmo.
Esercitazione su disequazioni ed equazioni di vario tipo.
Esercizi pag. 97 n. 5.1 (i); 5.2 (iii) e (v), 5.4 (iii); 5.5 (ii)--(iv); 5.6 (iii)--(iv)

LEZIONE 11
Argomenti: Estremo superiore, estremo inferiore, massimo, minimo di una funzione reale. Punti di massimo e punti di minimo di una funzione. Punti estremanti. Se una funzione \(f(x)\) ammette limite \(l\), allora la funzione \(-f(x)\)ammette limite \(-l\) e la funzione \(f(x)-l\) ammette limite \(0\). Esempi di funzioni che non ammettono limite.
Esercitazione su calcolo di domini delle funzioni  e sulle funzioni in generale.

LEZIONE 12
Argomenti: Limiti di funzioni reali di una variabile reale. Osservazioni e considerazioni sulla definizione. Verifica dei limiti applicando la definizione. Limiti infiniti.
Esercitazione sulla verifica dei limiti.
Esercizi pag. 98 n. 5.12; n. 5.18 (ii)--(iii); n. 5.20; n. 5.22; n. 5.25 (ii), (viii), (xi), (xii).
Esercizi pag. 139 n. (i), (v), (vi), (viii), (ix)

LEZIONE 13
Argomenti: Limiti all'infinito. Intorni di \(+\infty\). Intorni di \(-\infty\). Retta reale estesa. Definizione topologica di limite.
Esercitazione sulla verifica dei limiti.

LEZIONE 14
Argomenti: Se una funzione \(f(x)\) ammette limite \(l\), allora la funzione \(-f(x)\)ammette limite \(-l\) e la funzione \(f(x)-l\) ammette limite \(0\). Esempi di funzioni che non ammettono limite. Teorema di unicità del limite. Teoremi di permanenza del segno. Teoremi del confronto. Teorema dei carabinieri. Applicazioni.

LEZIONE 15
Argomenti: Se la funzione \(f(x)\) ammette limite \(l\), allora la funzione \(|f(x)|\)ammette limite \(|l|\). Non vale in generale il viceversa. Teoremi di addizione e sottrazione dei limiti. Forme indeterminate di tipo \([+\infty-\infty]\). Lemma di limitatezza locale. Teoremi di moltiplicazione dei limiti. Forme indeterminate del tipo \([0\cdot \infty]\). Teorema sul limite della funzione reciproco. Limiti della potenza \(n\)-esima di una funzione.

LEZIONE 16
Argomenti: Limiti di funzioni polinomiali. Limite del rapporto di funzioni. Forme indeterminate di tipo \(\left[\frac00\right]\) e \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\). Limite destro e limite sinistro. Teorema fondamentale di esistenza del limite in termini di limite destro e limite sinistro. Teoremi sui limiti di funzioni monotone. Limiti delle funzioni elementari.

LEZIONE 17
Argomenti: Funzioni continue. La somma, la differenza, il prodotto, il reciproco (dove definito) e il rapporto (dove definito) di funzioni continue sono funzioni continue. Esempi di funzioni non continue. Le funzioni elementari sono continue. Teorema di continuità della composta di funzioni continue. Continuità delle funzioni potenza ad esponente irrazionale. Teorema di continuità della funzione inversa.

LEZIONE 18
Argomenti: Esercitazione: calolo di limiti. Limiti notevoli.

LEZIONE 19
Argomenti: Punti di discontinuità di una funzione. Discontinuità eliminabili. Discontinuità di tipo salto. Discontinuità di seconda specie. Teorema di permanenza del segno per le funzioni continue. Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri di Bolzano. Teorema dei valori intermedi di Darboux.

LEZIONE 20
Argomenti: Esercitazione.

LEZIONE 21:
Argomenti: Introduzione alle derivate. Motivazione geometrica e breve storia della disputa Leibnitz-Newton. La derivata di una funzione in un punto. Funzione derivata. Esempi di calcolo. Se una funzione è derivabile in un punto, allora è anche continua in quel punto. La funzione valore assoluto è continua ma non è derivabile in zero. Derivata destra e derivata sinistra in un punto. Teorema di derivazione della somma di funzioni. Teorema di derivazione del prodotto di due funzioni. Esempi vari.

LEZIONE 22
Argomenti: Teorema di derivazione della funzione reciproco. Teorema di derivazione del rapporto di due funzioni. Teorema di derivazione della funzione composta. Teorema di derivazione della funzione inversa. Derivate delle funzioni circolari inverse. Derivate di ordine superiore al primo. Classi di regolarità di funzioni reali. Differenziali. Esercitazione.

LEZIONE 23
Argomenti: Differenziali. Teorema di Rolle. Teorema del valor medio di Lagrange. Interpretazione geometrica. Se una funzione definita su un intervallo ha derivata nulla, allora essa è costante su tale intervallo. Due funzioni che hanno la stessa derivata su un intervallo si differiscono per una costante.

LEZIONE 24
Argomenti: Se una funzione continua ha derivata positiva (negativa) su un intervallo, allora è crescente (decrescente) su tale intervallo. Inversione debole. Teorema di De l'Hopital. Criterio di derivabilità. Esempi ed esercizi. Punti di massimo e di minimo locali. Punti stazionari. Teorema di Fermat (per i punti di massimo e minimo locali interni al dominio).

LEZIONE 25
Argomenti: Criterio del prim'ordine. Criterio del second'ordine. Funzioni concave e convesse. Studio della convessità di una funzione per mezzo della derivata seconda. Punti di non derivabilità. Punti angolosi. Punti di flesso a tangente verticale. Punti di cuspide. Asintoti orizzontali. Asintoti verticali. Asintoti obliqui. Metodi di calcolo degli asintoti. Studio del grafico di una funzione reale.

LEZIONE 26
Argomenti: Asintoti orizzontali. Asintoti verticali. Asintoti obliqui. Metodi di calcolo degli asintoti. Studio del grafico di una funzione reale. Esercitazione sui grafici di funzione.

LEZIONE 27
Argomenti: Integrali indefiniti. Proprietà di linearità dell'integrale indefinito. Integrali indefiniti delle funzioni elementari. Integrali immediati. Integrali di tipo logaritmo e di tipo arcotangente.

LEZIONE 28
Argomenti:  Integrazione di funzioni razionali. Integrazione per sostituzione. Integrazione per parti. Esercitazione. 

LEZIONE 29
Argomenti: Calcolo integrale: motivazione storica. Calcolo dell'area di un rettangoloide sotteso ad una funzione limitata definita su un intervallo chiuso e limitato. Partizione di un intervallo limitato. Somma integrale inferiore e somma integrale superiore relativa ad una partizione. Esempio di calcolo per una funzione costante. Le classi delle somme integrali superiori e delle somme integrali inferiori sono separate. Funzioni integrabili secondo Riemann. La funzione di Dirichlet non è integrabile secondo Riemann. Le funzioni continue e le funzioni monotone, definite su un intervallo chiuso e limitato, sono integrabili secondo Riemann.

LEZIONE 30
Argomenti: Additività dell'integrale definito rispetto al dominio. Linearità dell'integrale definito rispetto alla funzione integranda. Proprietà di monotonia e di posititività dell'integrale definito. Diseguaglianza triangolare generalizzata per l'integrale definito. Teorema della media integrale. Funzione integrale. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale (di Torricelli-Barrow). Primitiva di una funzione. Due primitive di una funzione differiscono per una costante. Teorema di Newton (formula fondamentale del calcolo integrale).  Aree di regioni piane. Integrali impropri di funzioni continue e positive definite su intervalli di tipo \([a,+\infty)\) e su intervalli di tipo \((a,b]\) oppure \([a,b)\). Convergenza degli integrali di tipo \( \displaystyle\int\frac1{t^{\alpha}}dt\) in un intorno di \(0\) o in un intorno di \(+\infty\). Misura di regioni del piano infinitamente estese. Teorema del confronto per gli integrali impropri. Teorema del confronto asintotico per gli integrali impropri.

LEZIONE 31
Argomenti: Assoluta convergenza per integrali impropri. L'assoluta convergenza implica la convergenza di un integrale improprio. Il viceversa invece non vale. Applicazioni allo studio di una funzione integrale. Confronto di infinitesimi in un intorno di un punto. Notazione "o-piccolo" di Landau. Formula di Taylor (con il resto di Peano). Formula di Mac-Laurin (con il resto di Peano). Applicazioni varie.

LEZIONE 32
Argomenti: Successioni numeriche reali. Successioni convergenti, divergenti positivamente, divergenti negativamente. Esempi di verifica del limite di una successione. Comportamento definitivo di una successione. Estensione reale di una successione e legame con il limite della successione. Limiti notevoli in termini di successioni. Esempi di applicazione dei teoremi del confronto alle successioni. Fattoriale e limiti di successioni che lo coinvolgono. Successioni crescenti, successioni decrescenti. Limiti di successioni monotone. Calolo del limite di una funzione in un punto \(y_0\) in termini del limite delle immagini delle successioni convergenti ad \(y_0\). Applicazione alla continuità di una funzione. Esempi di applicazione per la non esistenza di un limite di funzione.

LEZIONE 33
Argomenti: Serie numeriche. Cenni storici e motivazione. Serie e successione delle somme parziali \(n\)-esime. Serie convergenti, divergenti e indeterminate. Serie di Mengoli. Serie armonica. Serie armonica generalizzata. Serie geometrica. Condizione necessaria di convergenza per una serie. Operazioni con le serie.

LEZIONE 34
Argomenti: Serie a termini positivi. Le serie a termini positivi convergono o divergono positivamente. Criterio del confronto. Criterio del confronto asintotico. Criterio della radice. Criterio del rapporto. Serie a termini di segno qualsiasi. Assoluta convergenza di una serie. L'assoluta convergenza implica la convergenza di una serie. Serie a segno alterno. Criterio di convergenza di Leibnitz, esempi e controesempi.

LEZIONE 35
Argomenti: Introduzione alle equazioni differenziali. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Problemi di Cauchy. Interpretazione geometrica. Equazioni differenziali a variabili separabili.

LEZIONE 36
Argomenti: Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. La soluzione generale di un'equazione non omogenea è data dalla somma di una soluzione particolare dell'equazione più la soluzione generale dell'equazione omogenea associata. Risoluzione di un'equazione omogenea.

LEZIONE 37
Argomenti: Metodo della somiglianza (o dei coefficienti indeterminati) per la soluzione di un'equazione non omogenea. Analisi di vari casi. Problemi di Cauchy del secondo ordine.

LEZIONE 38
Argomenti: Esercitazione.

LEZIONE 39
Argomenti: Esercitazione.

LEZIONE 40
Argomenti: Esercitazione.

LEZIONE 41
Argomenti: Esercitazione.

LEZIONE 42
Argomenti: Esercitazione.

LEZIONE 43
Argomenti: Esercitazione.