Geometria Birazionale delle
varietà algebriche
a.a. 2011/2012
DIARIO DELLE LEZIONI
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27/2 |
Introduzione al corso: il
programma di Mori e l'importanza della geometria convessa. |
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27/2 | Sottoinsiemi convessi in
\({\mathbb R}^n\),
iperpiani, combinazioni convesse, inviluppo convesso. Somma
di convessi. Interno e chiusura di un convesso. Spazio
affine generato da un convesso, dimensione, interno
relativo. Trasformazioni affini iniettive e loro
comportamento sui convessi. |
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2/3 |
Teoremi sui convessi: se \(C\) è convesso, \(x \in ri(C)\) e \(y \in \overline{C}\), allora il segmento \([x,y) \subseteq ri(C)\). La dimensione di un convesso è il massimo degli \(m\) tali che c'è un \(m\)-simplesso contenuto. Se \(C\) è convesso allora \(ri(C)\) e \(\overline{C}\) sono convessi della stessa dimensione. In particolare se \(C \neq \emptyset\) allora \(ri(C) \neq \emptyset\). | |
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2/3 | Se \(C\) è convesso in
\({\mathbb R}^n\),
allora \(\dim C = n\) se e solo se \(int(C) \neq
\emptyset\). Coni in \({\mathbb R}^n\), dualità tra
coni. Un cono è contenuto nel biduale. Distanza di un
punto da un convesso. Facce estremali e raggi estremali di
un cono. Enunciato del Lemma 6.7 del Debarre: ogni cono
chiuso convesso è uguale al suo biduale e, se
è non zero e non contiene rette per l'origine,
è inviluppo convesso dei suoi raggi estremali; ogni
faccia estremale non vuota ha una funzione di supporto. |
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5/3 |
Dimostrazione del Lemma 6.7 del Debarre: ogni cono chiuso convesso è uguale al suo biduale e non contiene rette per l'origine se e solo se il duale ha dimensione massima. | |
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5/3 |
Dimostrazione del Lemma 6.7 del Debarre: l'interno del duale di un cono chiuso convesso è uguale all'insieme dei funzionali lineari positivi sul cono meno lo \(0\). Prima parte della dimostrazione che, se un cono chiuso convesso non è zero e non contiene rette per l'origine, è inviluppo convesso dei suoi raggi estremali. | |
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9/3 |
Raggi estremali di coni
generati da un numero finito ed infinito di raggi. Il caso
chiuso e non chiuso, esempi in cui non esiste un
sottoinsieme generante ed indipendente. Idee alla base della
dimostrazione del teorema del cono. |
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9/3 |
Dimostrazione del Lemma 6.7 del Debarre: se un cono chiuso convesso non è zero e non contiene rette per l'origine, è inviluppo convesso dei suoi raggi estremali. Ogni faccia estremale non vuota ha una funzione di supporto. | |
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12/3 |
Fine della dimostrazione del Lemma 6.7 del Debarre: se \(V\) è un cono chiuso convesso non contenente rette per l'origine e \(W\) è un sottocono chiuso proprio, allora esiste \(u \in V^*\) tale che \(u\) è positivo su \(W - \{0\}\) e nullo su qualche raggio estremale di \(V\). Richiami sui divisori di Cartier e di Weil. \({\mathbb Q}\) ed \({\mathbb R}\)-divisori, fasci invertibili e \({\mathbb Q}\)-divisori di Weil \({\mathbb Q}\)-Cartier. Pull-back di \({\mathbb R}\)-divisori di Cartier. | |
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12/3 |
Il gruppo degli \(1\)-cicli a coefficenti interi, reali e razionali. Intersezioni tra \(1\)-cicli e divisori di Cartier. Divisori numericamente equivalenti ed \(1\)-cicli numericamente equivalenti. Il gruppo di Néron-Severi \(N^1(X)\) ed il gruppo degli \(1\)-cicli modulo equivalenza numerica \(N_1(X)\), dualità tra questi gruppi via intersezione. La successione esponenziale, finita generazione di \(N^1(X)\) e \(N_1(X)\). Gli spazi vettoriali associati su \({\mathbb Q}\) e su \({\mathbb R}\), la loro dimensione: il rango del gruppo di Picard. Topologia Euclidea in \(N^1(X)_{\mathbb R}\) ed in \(N_1(X)_{\mathbb R}\). | |
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16/3 |
Il teorema di Snapper e l'intersezione di \(r\) divisori su uno schema. Prima parte della dimostrazione del teorema di Snapper. | |
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16/3 |
Fine della della dimostrazione del teorema di Snapper. Prime proprietà dell'intersezione di divisori, intersezione di divisori con sottovarietà. | |
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19/3 |
Il prodotto di \(n\) divisori su uno schema di dimensione \(n\) è multilineare, simmetrico ed a valori interi. Se un divisore è effettivo il prodotto coincide con l'intersezione dei restanti \(n-1\) divisori con la sottovarietà associata al divisore effettivo. | |
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19/3 |
Push-forword di \(1\)-cicli, curve contratte. Il cono delle curve. Il teorema di Kleiman implica che il cono delle curve non contiene rette per l'origine ed è dunque inviluppo convesso dei suoi raggi estremali. Facce estremali del cono delle curve associate ad un morfismo. Divisori ampi. | |
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23/3 |
Il pull-back di un divisore
ampio via un morfismo finito è ampio. Il teorema di
Nakai-Moishezon. |
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23/3 |
Divisori nef (cioè non
negativi su tutte le sottovarietà), prime
proprietà. La somma di un divisore ampio e di uno nef
è ampia. |
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26/3 |
La somma di due divisori nef è nef. Il teorema di Kleiman: un divisore è nef se e solo se interseca non negativamente tutte le curve. | |
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26/3 |
Il teorema di Kleiman: un divisore è ampio se e solo è positivo sul cono di Mori (eccetto lo zero). L'insieme delle classi nel cono di Mori con intersezione limitata con un ampio è compatto e quindi contiene solo un numero finito di classi di curve. | |
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30/3 |
Divisori nef e big.
Approssimazione di \({\mathbb R}\)-divisori nef con \({\mathbb Q}\)-divisori ampi. Il teorema
di Riemann-Roch asintotico. |
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30/3 |
Approssimazione di \({\mathbb Q}\)-divisori nef e big \(D\) con divisori ampi del tipo \(D-tE\), \(E\) effettivo. Il teorema del cono per varietà proiettive nonsingolari. Enunciato ed osservazioni sulla collocazione dei raggi estremali \(K\)-negativi. | |
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2/4 |
La dimostrazione del teorema del cono per varietà proiettive nonsingolari. | |
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2/4 |
La dimostrazione del teorema
del cono per varietà proiettive nonsingolari. La prossima lezione,
causa l'interruzione delle attività didattiche,
sarà lunedì 16 aprile. |
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16/4 |
Le curve di autointersezione
negativa generano raggi estremali su una superficie non
singolare. Il cono di Mori di una superficie abeliana
coincide con il cono positivo ed è pertanto rotondo
se il rango del gruppo di Picard è almeno 3. |
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16/4 |
Il teorema di razionalità come conseguenza del teorema del cono: se \(X\) è una varietà proiettiva nonsingolare con \(K_X\) non nef e \(M\) è un divisore nef su \(X\), allora \(r = \sup\{t \in {\mathbb R} : M + t K_X \hbox{ è nef} \}\) è razionale con denominatore al più \(\dim X +1\) ed esiste un raggio estremale \(R\) del cono di Mori tale che \((M+rK_X).R=0\). Esistenza di divisori molto singolari in un punto in sistemi lineari big e nef. | |
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20/4 |
Struttura dei morfismi
birazionali tra varietà proiettive, luogo
eccezionale, trasformata birazionale di divisori. Divisori
con supporto ad incroci normali. Se \(M\) è big e nef
su \(X\) allora esiste un morfismo birazionale \(\pi : Y \to
X\) ed esistono dei divisori primi \(F_1, \ldots, F_k\) la
cui somma è ad incroci normali e tali che \(Exc(\pi)
\subseteq F_1 \cup \ldots \cup F_k\) e \(\pi^{\ast}M - \sum
\delta_i F_i\) è ampio se \(0< \delta_i \ll 1\). |
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20/4 |
Singolarità di coppie,
discrepanze, singolarità log-terminali. |
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23/4 |
Esempi di singolarità
log-terminali e non, ipersuperficie in \({\mathbb P}^n\),
cuspidi. Teoremi di annullamento di Kawamata-Viehweg per
varietà liscie e per coppie log-terminali. |
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23/4 |
Se \(\pi: Y \to X\) è un morfismo proiettivo birazionale tra varietà algebriche con \(X\) normale e se \(D \in Div(X), E \in Div(Y)\) con \(E \geq 0\) e \(\pi\)-eccezionale, allora \(H^0(X, D) \cong H^0(Y, \pi^{\ast}D + F)\). Il teorema di non annullamento: sia \((X, \Delta)\) un coppia klt e siano \(D, E \in Div(X)\) tali che \(D\) è nef, \(E \geq 0\) ed esiste \(a \in {\mathbb Q}^+\) tale che \(aD+E-(K_X+\Delta)\) è big e nef. Allora esiste \(m_0 \in {\mathbb N}\) tale che \(H^0(X, mD + E) \neq 0\) per ogni \(m \geq m_0\). Commenti sull'enunciato ed inizio della dimostrazione. Passo 1: caso \(D \equiv 0\). La prossima lezione sarà lunedì 30 aprile. | |
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30/4 |
Continuazione della
dimostrazione del teorema di non
annullamento. Passo 2: riduzione al caso \(X\)
nonsingolare e \(aD+E-(K_X+\Delta)\)
ampio. Passo 3: costruzione di un divisore effettivo \(M
\equiv t(bD+E-(K_X+\Delta))\) tale che \(molt_{x_0} M >
2t \dim X \) in un punto \(x_0 \not\in Supp(E+\Delta)\). |
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30/4 |
Continuazione della dimostrazione del teorema di non annullamento. Passo 4: costruzione di uno scoppiamento \(\pi : Y \to X\) tale che \(\pi^{\ast}(mD + E) \equiv K_Y + \Delta_Y + (ampio) + (effettivo) - (effettivo \ eccezionale) + (liscio \ irriducibile)\), con \(Y\) nonsingolare e \((Y, \Delta_Y)\) klt. Il prossimo passo sarà restringere al divisore liscio irriducibile ed applicare l'induzione. | |
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4/5 |
Conclusione della
dimostrazione del teorema di non
annullamento: restrizione al divisore liscio irriducibile e verifica
dell'ipotesi induttiva. |
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4/5 |
Il teorema di semiampiezza: sia \((X, \Delta)\) una coppia klt e sia \(D \in Div(X)\) tale che \(D\) è nef ed esiste \(a \in {\mathbb Q}^+\) tale che \(aD-(K_X+\Delta)\) è big e nef. Allora esiste \(m_0 \in {\mathbb N}\) tale che \(|mD|\) è senza punti base per \(m \geq m_0\). Inizio della dimostrazione. I luoghi base stabili \(B_{\infty}(b) = Bs|b^rD|\) per \(r \gg 0\). Passo 1: il teorema è vero se \(B_{\infty}(b) = \emptyset\) per ogni \(b \geq 2\). | |
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7/5 |
Conclusione della dimostrazione del teorema di semiampiezza. Passo 2: se esiste un \(b \geq 2\) tale che \(B_{\infty}(b) \neq \emptyset\), scegliendo una log-risoluzione di \((X, |b^rD|)\) e procedendo come nel passo 4 della dimostrazione del teorema di non annullamento, si trova un divisore liscio irriducibile per il quale è contraddetto il teorema di non annullamento. | |
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7/5 |
Indice \(j_{(X, \Delta)}\) di una coppia \((X, \Delta)\). Il teorema di razionalità: sia \((X, \Delta)\) una coppia klt tale che \(K_X+\Delta\) non è nef e sia \(M \in Div(X)\) nef e big. Allora \(r = \sup\{t \in {\mathbb R} : M + t (K_X + \Delta) \hbox{ è nef} \}\) è razionale e posto \(\frac{r}{j_{(X, \Delta)}} = \frac{u}{v}\) con \(u, v\) interi coprimi, allora \(0 < v \leq j_{(X, \Delta)}(\dim X + 1)\). Inizio della dimostrazione. Passo 1: riduzione al caso \(M\) e \(M + j_{(X, \Delta)}(K_X+\Delta)\) senza punti base. | |
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11/5 |
Continuazione della dimostrazione del teorema di razionalità. Passo 2: per \(\eta \in {\mathbb Q}^+\) sia \(\Lambda_{\eta} = \{(p,q) \in {\mathbb N}^2 : j_{(X,\Delta)}q-\eta<rp<j_{(X,\Delta)}q\}\). Sia \(B(p,q) = Bs|pM+qj_{(X,\Delta)}(K_X + \Delta)|\). Se \((p_0, q_0) \in \Lambda_1\) allora \(B(p,q) \subseteq B(p_0, q_0)\) per \((p,q) \in \Lambda_1\) con \(q \gg 0\). Sia \(B_{\infty}=B(p,q)\) per \((p,q) \in \Lambda_1\) con \(q \gg 0\). Se il teorema è falso e \(n = \dim X\) allora \(\Lambda_{1/{n+1}}\) è infinito. Passo 3: se \((p,q) \in \Lambda_1\) con \(q \gg 0\) allora \(|pM+qj_{(X,\Delta)}(K_X + \Delta)| \neq \emptyset \) e \(B_{\infty} \subsetneq X\). | |
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11/5 |
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14/5 |
Conclusione della dimostrazione del teorema di razionalità. Sia \(Q(x,y) = \chi(F,(\pi^{\ast}(xM+yj_{(X,\Delta)}(K_X+\Delta))+\lceil B\rceil)_{|F})\). Passo 4: siano \((p_0, q_0) \in \Lambda_1\) con \(q_0 \gg 0\) e sia \(\eta_0=\min\{1,(c+1)(j_{(X;\Delta)}q_0-rp_0)\}\). Se \((p, q) \in \Lambda_{\eta_0}\) con \(q > (c+1)q_0\) allora \(Q(p,q) = 0\). Inoltre \(Q \neq 0\). | |
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14/5 |
Passo 5: conclusione della dimostrazione. Per il Lemma precedente \(\Lambda_{\eta_0/{(n+1)}}=\emptyset\), dunque \(r\) è razionale e presi \((p_0,q_0) \in \Lambda_1\) che massimizzano \(j_{(X,\Delta)}q-rp\) si ha che \((p, q) \in \Lambda_{\eta_0}\) quindi \(Q(p,q) = 0\) per \(q \gg 0\) e dunque \(Q=0\) per il Lemma, contraddicendo il Passo 4. In \(N^1(X)_{\mathbb R}\) esiste una base di divisori interi ampi. | |
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18/5 |
Il teorema
del cono: sia
\((X, \Delta)\) una coppia klt e sia \({\cal R} = \{R \ raggio \ estremale \
(K_X + \Delta)-negativo \ di \ \overline{NE}(X)\}\).
Allora \({\cal R}\) è al più numerabile e
\(\overline{NE}(X)=\overline{NE}(X)_{K_X+\Delta \geq
0}+\sum_{R \in {\cal R}}R\). Inoltre per ogni
\(A\) ampio e per ogni \(\varepsilon > 0,\) l'insieme \(\{R \in {\cal R} :
(K_X+\Delta+\varepsilon A) \cdot R < 0\}\) è
finito. Inizio della dimostrazione. Passo 1: sia \(M\) nef non ampio e sia \(V_M=M^{\perp} \cap \overline{NE}(X)\). Allora esiste \(L\) nef non ampio ed un raggio estremale \(V_L \subset V_M\). |
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18/5 |
Continuazione della dimostrazione del teorema del cono. Passo 2: sia \({\cal L} = \{L \ nef \ non \ ampio : V_L \ è \ raggio \ estremale \ (K_X+\Delta)-negativo \}\) e sia \(V=\overline{NE}(X)_{K_X+\Delta \geq 0}+\sum_{L \in {\cal L}}V_L\). Allora \(\overline V = \overline{NE}(X)\). | |
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21/5 |
Continuazione della dimostrazione del teorema del cono. Passo 3: \({\cal L}\) è al più numerabile e per ogni \(A\) ampio e per ogni \(\varepsilon > 0,\) l'insieme \(\{L \in {\cal L} : (K_X+\Delta+\varepsilon A) \cdot V_L < 0\}\) è finito. Passo 4: sia \({\cal L}' \subseteq {\cal L}\). Allora \(\overline{NE}(X)_{K_X+\Delta \geq 0}+\sum_{L \in {\cal L'}}V_L\) è chiuso. | |
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21/5 |
Il teorema di contrazione: sia \((X, \Delta)\) una coppia klt e sia \(R\) un raggio estremale \((K_X + \Delta)\)-negativo di \(\overline{NE}(X)\). Allora: (a) esiste una curva \(C \subseteq X\) tale che \(R = {\mathbb R}^{\geq 0} [C]\); (b) esiste il morfismo di contrazione \(c_R : X \to Y\), cioè esiste (ed è unico) un morfismo \(c_R : X \to Y\) tale che \((c_R)_{\ast} {\cal O}_X \cong {\cal O}_Y\) e \(c_R(C')\) è un punto se e solo se \([C'] \in R\); (c) ci sono successioni esatte \(0 \to Pic(Y) \to Pic(X) \to {\mathbb Z}\) in cui la prima mappa è \(c_R^{\ast}\) e la seconda è l'intersezione con \(C, 0 \to N^1(Y)_{\mathbb Q} \to N^1(X)_{\mathbb Q} \to Aff(R)^{\ast} \to 0\) e \(0 \to Aff(R) \to N_1(X)_{\mathbb Q} \to N_1(Y)_{\mathbb Q} \to 0\). Dimostrazione della (b) ed (a) del teorema di contrazione. Inizio della dimostrazione della (c). La prossima lezione sarà lunedì 28 maggio. | |
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28/5 |
Conclusione della dimostrazione del teorema di contrazione. Unicità di morfismi con lo stesso cono di curve contratte. | |
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28/5 |
Un'esempio di contrazione
piccola. |