Università 
degli studi
Roma Tre
Dottorato di Ricerca in Matematica
                                              e-mail: dottric@mat.uniroma3.it
Coordinatore:Prof. Renato Spigler

Dipartimento di Matematica




Positività in Geometria Algebrica
Docente: Angelo Felice Lopez


NOTA: CHIUNQUE FOSSE INTERESSATO A FREQUENTARE IL CORSO PUO' METTERSI IN
               CONTATTO CON ME VIA E-MAIL (lopez@mat.uniroma3.it)

Orario delle lezioni: LUNEDI' dalle ore 14 (esatte) alle ore 15:45, AULA 100 (Dipartimento di Matematica).
        
Inizio del corso: LUNEDI' 20 ottobre
         
Introduzione
Nello studio classico della geometria algebrica una parte rilevante è stata svolta dal concetto di ampiezza di un divisore. Nella geometria algebrica moderna e, soprattutto nello studio della classificazione delle varietà proiettive di dimensione arbitraria, hanno invece avuto notevole rilevanza i concetti di \mathbb{Q} (ed \mathbb{R} ) - divisore nef e big ed i luoghi base stabili di tali divisori. Il risultato più importante in cui tali tecniche sono utilizzate (ad ogni passo!) è la finita generazione dell'anello canonico e l'esistenza dei modelli minimali per varietà di tipo generale dimostrata recentemente da Birkar, Cascini, Hacon e McKernan [BCHM].
Nel corso ci proponiamo di studiare la nozione di ampiezza di un divisore e di trattare in dettaglio le sue generalizzazioni: divisori nef e big. Per tale parte seguiremo principalmente i primi due capitoli del libro [L1]. Successivamente studieremo i luoghi base stabili di \mathbb{Q} ed \mathbb{R} -divisori in [ELMNP] e parte del libro [L2].
Programma
Divisori ampi e nef. Preliminari: divisori, serie lineari, teoria dell'intersezione di divisori, equivalenza numerica, teorema di Riemann-Roch (enunciato). Divisori ampi, teorema di Nakai-Moishezon. \mathbb{Q} -divisori ed \mathbb{R} -divisori e loro ampiezza. Divisori nef. Il teorema di Kleiman. Coni di divisori. Divisori semiampi. Anelli di sezioni di divisori. Divisori big. Volume di un divisore. Divisori pseudoeffettivi. Luoghi base di \mathbb{Q} ed \mathbb{R} -divisori, luogo base stabile aumentato e diminuito. Valutazioni asintotiche di divisori big.

Tempo permettendo: utilizzo di queste tecniche nella dimostrazione della finita generazione dell'anello canonico di Birkar-Cascini-Hacon-McKernan [BCHM] ed approccio di Corti-Lazic [CL].
Testi consigliati:
[ELMNP] L. Ein, R. Lazarsfeld, M. Mustata, M. Nakayame, M. Popa, Asymptotic invariants of base loci, Ann. Inst. Fourier 56 (2006), 1701--1734. Preprint math.AG/0308116.

[CL] V. Lazic, Tesi di dottorato (con A. Corti). Cambridge (in corso di stesura).

[L1] R. Lazarsfeld, Positivity in Algebraic Geometry I, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 48. Springer-Verlag, Berlin 2004.

[L2] R. Lazarsfeld, Positivity in Algebraic Geometry II, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 49. Springer-Verlag, Berlin 2004.