| L'esistenza di un'opportuna decomposizione di Chow-Kunneth
per il motivo di una superfice X mostra che l'informazione necessaria per studiare il motivo h(X) nella categoria dei motivi di Chow (a coefficenti razionali) è concentrata nella parte transcendente t_2(X) del motivo. In accordo con la Congettura di Murre (o, equivalentemente, con la Congettura di Bloch-Beilinson) e con la Congettura di Kimura sulla finita dimensionalità dei motivi, i seguenti risultati dovrebbero valere per una superfice X: (a) il motivo t_2(X) ha dimensione finita pari; (b) ogni corrispondenza omologicamente banale in CH^2(X x X)_Q agisce banalmente sul nucleo di Albanese T(X); (c)il gruppo degli endomorfismi del motivo di X ha rango finito (su un campo di caratteristica 0). Nel caso in cui X è una superfice complessa di tipo generale con p_g(X)=0, la condizione (a) è equivalente a (b) ed implica la Congettura di Bloch, cioè l'annullamento di T(X). Il motivo t_2(X), essendo un invariante birazionale per le superfice, si annulla per una superfice razionale. Inoltre è noto che (a) vale per una superfice di Kummer X perchè, in questo caso, t_2(X) è isomorfo a t_2(A), dove A è una superfice abeliana. Un caso nel quale le proprietà sopra non sono note è quello di una superfice K3 che non è birazionale ad una superfice di Kummer. Nel seminario mostreremo alcuni risultati per superfice K3. In particolare : per una superfice K3 complessa X con numero di Picard r(X) molto grande, la finita dimensionalità di t_2(X) implica l'isomorfismo di t_2(X) con t_2(Y), dove Y è una superfice di Kummer. D'altro canto, se X ed Y sono superfice K3 complesse distinte, che sono membri generali di famiglie proiettive lisce {X_t} e {Y_s} sul disco D (e quindi r(X) = r(Y) = 1), allora la Congettura di Murre implica che Hom(t_2(X), t_2(Y)) = 0, nella categoria dei motivi di Chow. |