Chiusura di Galois e Strutture Lagrangiane su superficie
 
Gian Pietro Pirola (Università di Pavia)



Sia X una superficie proiettiva. Il prodotto cup tra i gruppi di omologia
c: Λ^2 H^1(X,  \mathbb{C} ) --> H^2(X, \mathbb{C} ), è intimamente legato alla teoria del gruppo
fondamentale di X ed è uno strumento importante nella teoria della classificazione
delle superficie. Se poniamo K = ker c, il teorema di Castelnuovo-de Franchis dice,
infatti, che X ammette una fibrazione su una curva di genere maggiore di 1 se e
solo se esiste un elemento decomponibile, k = a \wedge b in K, non banale, con a e b,
1-forme olomorfe. Una struttura lagrangiana è invece un elemento non decomponibile
di K della forma L = a  \wedge b + c  \wedge d, dove  a, b, c e d sono 1-forme olomorfe.
Utilizzando la chiusura di Galois si danno nuovi esempi di superficie in cui K non
è banale e di superficie che ammettono strutture Lagrangiane.
Si discuterà poi la segnatura di una superficie X dotata di strutture lagrangiane, ed
il possibile utilizzo di tali tecniche nella teoria della classificazione di superficie irregolari.
Il lavoro presentato è frutto di una collaborazione con Francesco Bastianelli e Lidia Stoppino.



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