| Sia X una superficie proiettiva. Il prodotto cup tra i gruppi
di omologia c: Λ^2 H^1(X,  )
--> H^2(X,),
è intimamente legato alla teoria del gruppo fondamentale di X ed è uno strumento importante nella teoria della classificazione delle superficie. Se poniamo K = ker c, il teorema di Castelnuovo-de Franchis dice, infatti, che X ammette una fibrazione su una curva di genere maggiore di 1 se e solo se esiste un elemento decomponibile, k = a 
b in K, non banale, con a e b, 1-forme olomorfe. Una struttura lagrangiana è invece un elemento non decomponibile di K della forma L = a
b + c
d, dove a, b, c e d sono 1-forme olomorfe.Utilizzando la chiusura di Galois si danno nuovi esempi di superficie in cui K non è banale e di superficie che ammettono strutture Lagrangiane. Si discuterà poi la segnatura di una superficie X dotata di strutture lagrangiane, ed il possibile utilizzo di tali tecniche nella teoria della classificazione di superficie irregolari. Il lavoro presentato è frutto di una collaborazione con Francesco Bastianelli e Lidia Stoppino. |