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Corso GE110 - a.a. 2024/2025

DIARIO DELLE LEZIONI

Numero	Data	Argomenti svolti

1	24/2	Organizzazione del corso. Introduzione agli argomenti. Matrici. Righe, colonne, la trasposta di una matrice.
2	24/2	Matrici notevoli: diagonali, triangolari, identità, nulla. Lo spazio delle matrici. Somma di matrici, moltiplicazione di una matrice per un numero reale. Matrici simmetriche, antisimmetriche.
3	25/2	Prodotto di matrici. Principali proprietà delle operazioni tra matrici: distributività, associatività del prodotto, trasposta del prodotto e della somma, la matrice identità è elemento neutro del prodotto.
4	25/2	Matrici invertibili, proprietà dell'inversa di una matrice, gruppo lineare, matrici ortogonali, gruppo ortogonale.
5	3/3	Sistemi di equazioni lineari: forma generale, soluzioni, sistemi omogenei, sistema omogeneo associato ad un dato sistema. Sistemi compatibili ed incompatibili. Le soluzioni di un sistema compatibile sono ottenute da una data soluzione sommando tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato. Matrice di un sistema, matrice orlata, sistema in forma matriciale.
6	3/3	Sistemi a gradini, caso quadrato e caso generale, loro soluzioni ed infinità. Operazioni elementari sui sistemi e sulla matrice orlata.
7	4/3	Metodo di eliminazione di Gauss-Jordan. Esempi di sistemi compatibili ed incompatibili a seconda dell'output del metodo di eliminazione di Gauss-Jordan. Sistemi quadrati con matrice invertibile, esistenza ed unicità della soluzione.
8	4/3	Matrici elementari e loro inverse. Una matrice è invertibile se e solo se è prodotto di matrici elementari. Calcolo della matrice inversa con operazioni elementari.
9	10/3	I vettori geometrici. La struttura di spazio vettoriale. Esempi di spazi vettoriali. L'importanza delle definizioni astratte (A Revolution in Mathematics? What Really Happened a Century ago and why it matters today, Notices AMS, gennaio 2012).
10	10/3	Prime conseguenze degli assiomi. Sottospazi.
11	11/3	Esempi: il sottospazio generato da un vettore, un iperpiano per l'origine in $R^{n}$ , $\leq d$ le soluzioni di un sistema lineare omogeneo. L'intersezione di sottospazi è un sottospazio. L'unione di sottospazi non è, in generale, un sottospazio. Somma di due sottospazi. Somma diretta.
12	11/3	Combinazioni lineari, il sottospazio generato da un numero finito di vettori. Dipendenza ed indipendenza lineare, esempi. Un vettore è linearmente dipendente se e solo se è nullo. Due vettori sono linearmente dipendenti se e solo se sono multipli (paralleli).
13	17/3	Dei vettori sono linearmente dipendenti se e solo se uno è combinazione lineare degli altri. Se un insieme finito di vettori contiene il vettore nullo allora i vettori sono linearmente dipendenti. In un insieme finito di vettori linearmente indipendenti ogni sottoinsieme è costituito da vettori linearmente indipendenti. Generatori. Base finita di uno spazio vettoriale. Esempi, la base canonica di $R^{n}$ , la base dello spazio delle matrici.
14	17/3	Spazi vettoriali che non hanno una base finita, lo spazio dei polinomi. Se uno spazio vettoriale ha $n$ generatori allora ogni insieme di $m > n$ vettori è costituito da vettori linearmente dipendenti. Due basi finite hanno lo stesso numero di elementi. Dimensione di uno spazio vettoriale con base finita. La dimensione di ${0}$ è $0$ .
15	18/3	Esempi, la dimensione di $R^{n}$ , dello spazio delle matrici, dello spazio dei polinomi di grado $\leq d$ e dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Se $V$ è uno spazio vettoriale di dimensione $n$ allora ogni insieme di $n$ vettori linearmente indipendenti è una base di $V$ ed ogni insieme di $k$ vettori linearmente indipendenti è tale che $k \leq n$ e può essere completato ad una base di $V$ . Esempi.
16	18/3	Se $V$ è uno spazio vettoriale di dimensione finita e $W$ è un sottospazio di $V$ , allora $W$ ha dimensione finita, $\dim W \leq \dim V$ e vale uguale se e solo se $W = V$ . Esempi di completamento ad una base. La formula di Grassmann.
17	24/3	Esempi. Rango di un insieme di vettori, rango per righe e rango per colonne di una matrice, esempi. Il rango per righe coincide con il rango per colonne di una qualsiasi matrice.
18	24/3	Prime proprietà del rango. Il rango di un insieme di vettori (e quindi di una matrice) non cambia con operazioni elementari di tipo I, II o III. $r (A B) \leq min {r (A), r (B)}; r (A B) = r (B) se A � invertibile (o r (A B) = r (A) se B � invertibile) .$ Una matrice $n \times n$ è invertibile se e solo se ha rango $n$ .
19	25/3	Sottomatrici. Il rango di una sottomatrice è al più il rango della matrice. Il rango di una matrice è la massima dimensione delle sottomatrici invertibili. Il teorema di Kronecker-Rouché-Capelli. Richiami sui gruppi di permutazioni.
20	25/3	Il determinante di una matrice quadrata. Esempi. Prime proprietà del determinante: è lineare nelle righe (colonne), il determinate di una matrice è uguale a quello della sua trasposta, cambia segno se si scambiano due righe (colonne), è zero se ci sono due righe (colonne) uguali, il determinante dell'identità è $1$ . Prima parte della dimostrazione.
21	31/3	Seconda parte della dimostrazione. Il determinante del prodotto di due matrici è uguale al prodotto dei determinanti. Il determinante dell'inversa di una matrice è il reciproco del determinante. Una matrice quadrata di ordine $n$ ha rango $n$ se e solo se ha determinante non nullo.
22	31/3	Minori di una matrice. Il rango di una matrice è il massimo ordine dei suoi minori non nulli. Il determinante di una matrice è nullo se la matrice ha una riga (o colonna) nulla; il determinante di una matrice non cambia se si effettua un'operazione elementare di tipo III tra le righe (colonne). Il cofattore di un elemento di una matrice, la matrice cofattore di una matrice, esempi. La formula di Laplace nel caso dello sviluppo per righe (colonne) del determinante, esempi.
23	1/4	Dimostrazione della formula di Laplace. Il prodotto di una matrice per la matrice trasposta della cofattore è uguale al prodotto dell'identità per il determinante della matrice. Matrice inversa calcolata con la matrice cofattore.
24	1/4	La regola di Cramer, esempi. Il principio dei minori orlati.
25	7/4
26	7/4
27	8/4	Esercizi di preparazione alla prima prova in itinere.
28	8/4	Esercizi di preparazione alla prima prova in itinere. Si ricorda che mercoledì 23 aprile, alle ore 14:30, si svolgerà la prima prova in itinere in aula M1. La prossima lezione sarà, come da calendario, lunedì 28 aprile.
29	23/4	Prima prova in itinere.
30	23/4	Prima prova in itinere.
31	23/4	Prima prova in itinere.
32	28/4
33	28/4
34	29/4
35	29/4
36	5/5
37	5/5
38	6/5
39	6/5
40	12/5
41	12/5
42	13/5
43	13/5
44	19/5
45	19/5
46	20/5
47	20/5
48	26/5
49	26/5
50	27/5	Esercizi di preparazione alla seconda prova in itinere.
51	27/5	Esercizi di preparazione alla seconda prova in itinere. Si ricorda che lunedì 9 giugno, alle ore 14:30, si svolgerà la seconda prova in itinere in aula M1.
52	9/6	Seconda prova in itinere.
53	9/6	Seconda prova in itinere.
54	9/6	Seconda prova in itinere.
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