Home GE210

Corso GE210 - a.a. 2025/2026

DIARIO DELLE LEZIONI

Numero	Data	Argomenti svolti

1	23/9	Organizzazione del corso. Introduzione agli argomenti. Forme bilineari, simmetriche ed antisimmetriche. Esempi: forma bilineare su $K^{n}$ associata ad una matrice, forma bilineare simmetrica standard su $K^{n}$ e antisimmetrica standard su $K^{n}, n$ pari.
2	23/9	Le applicazioni lineari da V a V* associate ad una forma bilineare. Matrice di una forma bilineare in una data base. La matrice di una forma bilineare calcola la forma.
3	26/9	Corrispondenza biunivoca tra forme bilineari e matrici e tra forme simmetriche (antisimmetriche) e matrici simmetriche (antisimmetriche). Matrici congruenti. Due matrici sono congruenti se e solo se sono le matrici di una forma bilineare in due basi. Il rango di una forma bilineare. Forme bilineari non degeneri e degeneri.
4	26/9	Una forma bilineare $b$ su $V$ è non degenere se e solo se per ogni $v \neq 0, v \in V$ esiste $w \in V$ tale che $b (v, w) \neq 0$ se e solo se l'applicazione lineare associata è un isomorfismo. Forme bilineari simmetriche. Ortogonalità. Vettori isotropi. Coefficiente di Fourier, decomposizione $V =< v > \oplus v^{⊥}$ se $v$ è non isotropo.
5	30/9	Forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica. Il polinomio omogeneo associato ad una forma quadratica. Forme quadratiche e loro relazione con le forme bilineari simmetriche. Sia $K$ un campo di caratteristica diversa da $2$ e sia $V$ uno $K$ -spazio vettoriale di dimensione finita. Ogni forma bilineare simmetrica su $V$ possiede una base ortogonale. Equivalentemente ogni matrice simmetrica $A \in M_{n} (K)$ è congruente ad una matrice diagonale. Esempi di matrici simmetriche non congruenti a matrici diagonali se la caratteristica è $2$ e di matrici simmetriche non simili a matrici diagonali.
6	30/9	Sia $K$ un campo algebricamente chiuso e sia $V$ uno $K$ -spazio vettoriale di dimensione finita. Ogni forma bilineare simmetrica su $V$ possiede una base in cui la matrice ha un blocco uguale a $I_{r}, r = r (b)$ e per il resto è nulla. Equivalentemente ogni matrice simmetrica $A \in M_{n} (K)$ è congruente ad una matrice con un blocco uguale a $I_{r}, r = r (A)$ e per il resto nulla. Il teorema di Sylvester.
7	3/10	Forme quadratiche definite positive, negative, semidefinite positive, negative e indefinite. L'indice di positività e di negatività e la segnatura di una forma quadratica. Espressione di una forma quadratica in funzione della segnatura. Matrici definite positive. Minori principali. Il criterio dei minori principali.
8	3/10	Prodotti scalari, spazi vettoriali euclidei. Disuguaglianza di Schwartz. La norma di un vettore e le sue proprietà.Versori.
9	7/10	Insiemi di vettori ortogonali e ortonormali. Vettori ortogonali sono linearmente indipendenti. Ogni spazio vettoriale euclideo di dimensione finita ammette una base ortonormale. Basi ortonormali e matrici ortogonali.
10	7/10	Ortogonalizzazione. Il teorema di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, esempi.
11	10/10	Se $W$ è un sottospazio di dimensione finita di uno spazio vettoriale euclideo $V$ si ha $V = W \oplus W^{⊥}$ . Angolo tra due vettori. Il prodotto vettoriale.
12	10/10	Le proprietà del prodotto vettoriale. Il prodotto vettoriale dipende solo dalla scelta di un'orientazione. La lunghezza del prodotto vettoriale in una decomposizione ortogonale.
13	17/10	Il prodotto misto. L'identità di Lagrange. Spazi euclidei. Riferimenti cartesiani, cambiamenti di coordinate cartesiane. Distanza tra due punti in uno spazio euclideo. Angolo tra due rette.
14	17/10	Geometria nel piano euclideo. Vettori di direzione e vettori normali ad una retta in funzione delle coordinate cartesiane. La retta per un punto ortogonale ad un'altra retta. Distanza di un punto da una retta.
15	21/10	Geometria in uno spazio euclideo di dimensione 3. Vettori e versori normali ad un piano in funzione delle coordinate cartesiane. Angolo convesso tra due piani. Angolo tra una retta ed un piano. Distanza di un punto da un piano.
16	21/10	Distanza di un punto da una retta. Distanza tra due rette parallele. La retta perpendicolare a due rette non parallele, esistenza.
17	24/10	Distanza tra due rette non parallele. Equazioni della retta perpendicolare a due rette non parallele. Operatori unitari. Teorema di caratterizzazione degli operatori unitari: un'applicazione di V in V è un operatore unitario se e solo se è lineare e rispetta la norma, se e solo se manda il vettore nullo nel vettore nullo e rispetta la distanza di $v$ da $w$ se e solo se è lineare e manda basi ortonormali in basi ortonormali.
18	24/10	Conclusione della dimostrazione. Un operatore unitario è un isomorfismo.
19	28/10	Un operatore è unitario se e solo se la sua matrice, rispetto ad una base ortonormale, è ortogonale. Il gruppo ortogonale $O (V)$ e il suo isomorfismo con $O (n)$ . Il determinante di un operatore unitario è $\pm 1$ . Gli autovalori reali di un operatore unitario sono $\pm 1$ . Il gruppo speciale ortogonale $S O (V)$ e il suo isomorfismo con $S O (n)$ ..
20	28/10	Operatore aggiunto e sua matrice rispetto ad una base ortonormale. Operatori simmetrici. Un operatore $T$ è unitario se e solo se $^{t} T \circ T = i d_{V}$ . Affinità. Isometrie. Traslazioni. Il gruppo delle isometrie di uno spazio euclideo.
21	31/10	Isometrie dirette e inverse. Lo stabilizzatore di un punto. Le rotazioni di uno spazio euclideo. Sia $A$ uno spazio affine su $V$ e sia $O \in A$ . C'è un isomorfismo di gruppi tra $A f f_{O} (A)$ e $G L (V)$ che, su uno spazio euclideo $E$ , induce isomorfismi tra $I s o m_{O} (E)$ e $O (V)$ e tra $R o t_{O} (E)$ e $S O (V)$ .. Inoltre, fissata una base ortonormale, è indotto un isomorfismo tra $I s o m_{O} (E)$ e $O (n)$ e tra $R o t_{O} (E)$ e $S O (n)$ ..
22	31/10	Sia $E$ uno spazio euclideo con riferimento cartesiano ${O, e_{1}, \dots, e_{n}}$ . Sia $f$ un'isometria di $E$ . Allora $f (P (x_{1}, \dots, x_{n})) = Q (y_{1}, \dots, y_{n})$ dove $Y = A X + c$ essendo $A$ la matrice nella base $e$ dell'automorfismo associato ad $f$ e $c$ le coordinate di $f (O)$ . Viceversa ogni applicazione $f$ che soddisfa la condizione sopra, con $A \in O (n)$ , è un'isometria di $E$ . Un'applicazione di uno spazio euclideo in sé è un'isometria se e solo se rispetta la distanza. Figure geometriche, proprietà euclidee (cenni).
23	4/11	Diagonalizzazione di operatori simmetrici. Una matrice simmetrica a coefficienti reali ha tutti gli autovalori reali. Il teorema spettrale: ogni operatore simmetrico su uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita possiede una base ortonormale in cui la matrice dell'operatore è diagonale. Ogni matrice simmetrica è simile, tramite una matrice ortogonale, ad una matrice diagonale.
24	4/11	In uno spazio vettoriale euclideo due autovettori di un operatore simmetrico associati ad autovalori distinti sono ortogonali. Forme hermitiane e prime proprietà. Forme hermitiane definite positive, negative e semidefinite positive, negative. Matrici hermitiane. Ortogonalità tra vettori rispetto ad una forma hermitiana, basi ortogonali. Diagonalizzazione di forme hermitiane in spazi vettoriali di dimensione finita su $C$ . Prodotto hemitiano, spazi vettoriali hermitiani.
25	7/11	Esercizi di preparazione alla prima prova in itinere.
26	7/11	Esercizi di preparazione alla prima prova in itinere. Si ricorda che venerdì 14 novembre, alle ore 14:30, si svolgerà la prima prova in itinere in aula M1. La prossima lezione sarà, come da calendario, martedì 18 novembre.
27	14/11	Prima prova in itinere.
28	14/11	Prima prova in itinere.
29	14/11	Prima prova in itinere.
30	18/11
31	18/11
32	21/11
33	21/11
34	25/11
35	25/11
36	28/11
37	28/11
38	2/12
39	2/12	$W$
40	5/12
41	5/12
42	9/12
43	9/12
44	12/12
45	12/12
46	16/12
47	16/12
48	19/12
49	19/12
50	23/12
51	23/12
52	9/1	Esercizi di preparazione alla seconda prova in itinere.
53	9/1	Esercizi di preparazione alla seconda prova in itinere. Si ricorda che mercoledì 14 gennaio, alle ore 14:30, si svolgerà la seconda prova in itinere in aula M1.
54	14/1	Seconda prova in itinere.
55	14/1	Seconda prova in itinere.
56	14/1	Seconda prova in itinere.

Corso GE210 - a.a. 2025/2026 DIARIO DELLE LEZIONI

Corso GE210 - a.a. 2025/2026

DIARIO DELLE LEZIONI