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Corso GE210 - a.a. 2025/2026

DIARIO DELLE LEZIONI

Numero
 Data
 Argomenti svolti



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 23/9
 Organizzazione del corso. Introduzione agli argomenti. Forme bilineari, simmetriche ed antisimmetriche. Esempi: forma bilineare su associata ad una matrice, forma bilineare simmetrica standard su e antisimmetrica standard su pari.
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 23/9
 Le applicazioni lineari da V a V* associate ad una forma bilineare. Matrice di una forma bilineare in una data base. La matrice di una forma bilineare calcola la forma. 
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 26/9
 Corrispondenza biunivoca tra forme bilineari e matrici e tra forme simmetriche (antisimmetriche) e matrici simmetriche (antisimmetriche). Matrici congruenti. Due matrici sono congruenti se e solo se sono le matrici di una forma bilineare in due basi. Il rango di una forma bilineare. Forme bilineari non degeneri e degeneri. 
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 26/9 Una forma bilineare su è non degenere se e solo se per ogni esiste tale che se e solo se l'applicazione lineare associata è un isomorfismo. Forme bilineari simmetriche. Ortogonalità. Vettori isotropi. Coefficiente di Fourier, decomposizione se è non isotropo.
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 30/9
 Forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica. Il polinomio omogeneo associato ad una forma quadratica. Forme quadratiche e loro relazione con le forme bilineari simmetriche. Sia un campo di caratteristica diversa da e sia uno -spazio vettoriale di dimensione finita. Ogni forma bilineare simmetrica su possiede una base ortogonale. Equivalentemente ogni matrice simmetrica è congruente ad una matrice diagonale. Esempi di matrici simmetriche non congruenti a matrici diagonali se la caratteristica è e di matrici simmetriche non simili a matrici diagonali. 
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 30/9
 Sia un campo algebricamente chiuso e sia uno -spazio vettoriale di dimensione finita. Ogni forma bilineare simmetrica su possiede una base in cui la matrice ha un blocco uguale a e per il resto è nulla. Equivalentemente ogni matrice simmetrica è congruente ad una matrice con un blocco uguale a e per il resto nulla. Il teorema di Sylvester.
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 Forme quadratiche definite positive, negative, semidefinite positive, negative e indefinite. L'indice di positività e di negatività e la segnatura di una forma quadratica. Espressione di una forma quadratica in funzione della segnatura. Matrici definite positive. Minori principali. Il criterio dei minori principali.
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 3/10
 Prodotti scalari, spazi vettoriali euclidei. Disuguaglianza di Schwartz. La norma di un vettore e le sue proprietà.Versori.
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 Insiemi di vettori ortogonali e ortonormali. Vettori ortogonali sono linearmente indipendenti. Ogni spazio vettoriale euclideo di dimensione finita ammette una base ortonormale. Basi ortonormali e matrici ortogonali.
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 7/10
 Ortogonalizzazione. Il teorema di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, esempi.
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 10/10
 Se è un sottospazio di dimensione finita di uno spazio vettoriale euclideo si ha . Angolo tra due vettori. Il prodotto vettoriale.
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 Le  proprietà del prodotto vettoriale. Il prodotto vettoriale dipende solo dalla scelta di un'orientazione. La lunghezza del prodotto vettoriale in una decomposizione ortogonale.
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 14/10
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 28/10
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 31/10
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 7/11
 Esercizi di preparazione alla prima prova in itinere.
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 7/11
 Esercizi di preparazione alla prima prova in itinere. Si ricorda che novembre, alle ore 14:30, si svolgerà la prima prova in itinere in aula . La prossima lezione sarà, come da calendario, martedì 18 novembre.
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 Prima prova in itinere.
30 /11 Prima prova in itinere.
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 Prima prova in itinere.
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43 5/12
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 19/12
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 Esercizi di preparazione alla seconda prova in itinere.
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 23/12
 Esercizi di preparazione alla seconda prova in itinere. Si ricorda che gennaio, alle ore 14:30, si svolgerà la seconda prova in itinere in aula .
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 Seconda prova in itinere.
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 Seconda prova in itinere.
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 Seconda prova in itinere.