GEOMETRIA ALGEBRICA 1
                                                                                                             A.A. 2012/2013  

                                                                                     DIARIO DELLE LEZIONI

1	24/9	Introduzione al corso, importanza e peculiarità della geometria algebrica. Richiami di algebra di polinomi.
2	24/9	Insiemi algebrici, ipersuperficie, esempi. Topologia di Zariski su \(k^n\), \(n\)-spazio affine su un campo \(k\): \({\mathbb A}^n_k\).
3	26/9	Prime proprietà della topologia di Zariski. I chiusi di \({\mathbb A}^2\) sono unioni finite di punti ed ipersuperficie.
4	26/9	Corrispondenza tra ideali di \(k[x_1, \ldots, x_n]\) e chiusi di \({\mathbb A}^n_k\). Ideali radicali. L'ideale associato ad un sottoinsieme di \({\mathbb A}^n_k\). Il teorema degli zeri di Hilbert (solo enunciato) e la corrispondenza biunivoca tra ideali radicali e chiusi. La prossima lezione sarà lunedì 8 ottobre.
5	8/10	I chiusi di \({\mathbb A}^n_k\) sono Noetheriani e quindi compatti. Chiusi irriducibili, componenti irriducibili. Sia \(X\) chiuso di \({\mathbb A}^n_k\); \(X\) è irriducibile se e solo se \(I(X)\) è primo.
6	8/10	Esistenza, unicità (a meno dell'ordine) e finitezza della componenti irriducibili di un chiuso di \({\mathbb A}^n_k\). Corrispondenza tra chiusi di \({\mathbb A}^n_k\) e \(k\)-algebre finitamente generate e prive di nilpotenti.
7	10/10	Indipendenza algebrica, basi di trascendenza. Ogni insieme di elementi algebricamente indipendenti può essere completato ad una base di trascendenza.
8	10/10	Dimensione di un sottoinsieme di \({\mathbb A}^n_k\), esempi. Funzioni regolari su un chiuso \(X\) di \({\mathbb A}^n_k\), l'algebra \(k[X]\) delle funzioni regolari su \(X\). Isomorfismo tra \(k[x_1, \ldots, x_n]/I(X)\) e \(k[X]\). Applicazioni regolari (morfismi) tra due insiemi chiusi \(X \subseteq {\mathbb A}^n_k\), \(Y \subseteq {\mathbb A}^m_k\). Isomorfismi, morfismi dominanti, esempi.
9	15/10	L'omomorfismo indotto da un morfismo tra due chiusi. Corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei morfismi tra due chiusi e l'insieme degli omomorfismi tra \(k\)-algebre. Invarianza della dimensione dei chiusi per isomorfismo.
10	15/10	Ogni \(k\)-algebra finitamente generata e priva di nilpotenti è l'algebra delle funzioni regolari di un unico chiuso affine (a meno di isomorfismo). Un morfismo è dominante se e solo se l'omomorfismo indotto è iniettivo. Se l'omomorfismo indotto è suriettivo allora il morfismo è iniettivo e l'immagine è chiusa.
11	17/10	Prodotto di due chiusi affini \(X \subseteq {\mathbb A}^n_k, Y \subseteq {\mathbb A}^m_k\). L'isomorfismo \(k[X] \otimes_k k[Y] \cong k[X \times Y]\). Aperti principali della topologia di Zariski di un chiuso affine. Gli aperti principali sono una base. Le proiezioni \(X \times Y \to X\) e \(X \times Y \to Y\) sono aperte.
12	17/10	Estensioni integrali e finitamente generate di anelli. Un'estensione di \(k\)-algebre è integrale se e solo se è finitamente generata.
13	22/10	Morfismi finiti tra chiusi affini, esempi. I morfismi finiti sono suriettivi, chiusi ed a fibre finite.
14	22/10	Polinomi omogenei, ideali omogenei. Spazio proiettivo \(n\)-dimensionale su un campo \(k\): \({\mathbb P}^n_k\). Topologia di Zariski su \({\mathbb P}^n_k\). Chiusi proiettivi, il cono affine su un chiuso proiettivo. Ideali omogenei associati a sottoinsiemi di \({\mathbb P}^n_k\). Corrispondenza biunivoca tra ideali radicali omogenei, diversi dall'ideale irrilevante, e chiusi proiettivi e tra chiusi proiettivi irriducibili ed ideali primi.
15	24/10	Identificazione di \({\mathbb A}^n_k\) con gli aperti coordinati di \({\mathbb P}^n_k\). Varietà quasi-proiettive, esempi. Ipersuperficie e loro componenti irriducibili.
16	24/10	Funzioni razionali e regolari su una varietà quasi-proiettiva \(X\). I corrispondenti anelli \(k(X)\) e \(k[X]\). L'insieme dei punti in cui una funzione razionale è regolare è aperto e due funzioni regolari concidono se coincidono su un aperto non vuoto. Sia \(k\) algebricamente chiuso, allora \(k({\mathbb P}^n) \cong k(t_1, \ldots, t_n)\) e \(k[{\mathbb P}^n] \cong k\). La prossima lezione sarà mercoledì 31 ottobre.
17	31/10	Sia \(X\) un chiuso affine. L'anello delle funzioni razionali di \(X\) come varietà quasi-proiettiva è lo stesso di quello come chiuso affine. Inoltre una funzione razionale su \(X\) (come varietà quasi-proiettiva) è regolare se e solo se sta nell'anello delle funzioni regolari di \(X\) come chiuso affine. Una funzione razionale su \(Z(t_1^2 + t_2^2 - 1)\).
18	31/10	Morfismi ed applicazioni razionali tra varietà quasi-proiettive. Il caso dei chiusi affini. L'isomorfismo tra  \(V(x_1^2 + x_2^2 - x_0^2)\) e \({\mathbb P}^1_k\) se \(k\) non ha caratteristica \(2\).
19	5/11	Ogni applicazione razionale da \({\mathbb P}^1\) a \({\mathbb P}^n\) è regolare. L'insieme dei punti in cui un'applicazione razionale è regolare è aperto e due applicazioni razionali concidono se coincidono su un aperto non vuoto.Varietà affini e varietà proiettive. Esempi.
20	5/11	Una varietà quasi-proiettiva è unione finita di aperti che sono varietà affini. Dimensione di una varietà quasi-proiettiva. Prime proprietà della dimensione: \(\dim {\mathbb A}^n = \dim {\mathbb P}^n = n\). Se \(\phi : X \to Y\) è un morfismo dominante tra due varietà quasi-proiettive irriducibili allora \(\dim X \geq \dim Y\).
21	7/11	Supplementi sul grado di trascendenza. Se \(K \subset F \subset L\) sono estensioni di campi e \(trdeg_K L < \infty\) allora \(trdeg_K F < \infty, trdeg_F L < \infty\) e \(trdeg_K L = trdeg_K F + trdeg_F L\). Il grado di trascendenza di un dominio. Se \(A\) è un dominio contenente un campo \(K\) allora \(trdeg_K A = trdeg_K Quoz(A)\).
22	7/11	Se \(X\) è una varietà quasi-proiettiva irriducibile e \(Y \subset X\) è chiuso non vuoto, \(Y \neq X\) allora \(\dim Y < \dim X\). Esempi: insiemi finiti, curve piane. Se \(k\) è algebricamente chiuso, la dimensione di un'ipersuperficie in \({\mathbb P}^n_k, n\geq 1\), è \(n-1\).
23	12/11	Morfismi genericamente finiti e finiti. Esempio di un morfismo genericamente finito ma non finito. Sia \(\phi: X \to Y\) un morfismo dominante tra varietà quasi-proiettive irriducibili. Allora \(\phi\) è genericamente finito se e solo se esistono due aperti affini non vuoti \(V \subseteq X, W \subseteq Y\) tali che \(\phi_{|V} : V \to W\)  è finito se e solo se esiste un aperto non vuoto \(W \subseteq Y\) tale che \(\phi^{-1}(q)\) è non vuoto e finito per ogni \(q \in W\).
24	12/11	Sia \(\phi: X \to Y\) un morfismo dominante tra varietà quasi-proiettive. Allora \(\phi(X)\) contiene un aperto non vuoto di \(Y\).
25	14/11	Insiemi costruibili. L'immagine di un morfismo dominante tra varietà quasi-proiettive è costruibile, il teorema di Chevalley. Applicazioni birazionali. Due varietà quasi-proiettive irriducibili sono birazionalmente equivalenti se e solo se hanno due aperti densi birazionalmente equivalenti se e solo se hanno due aperti densi isomorfi se e solo se hanno campi di funzioni razionali isomorfi. Varietà razionali. La cubica con cuspide è razionale.
26	14/11	Divagazione sulla classificazione birazionale delle varietà e sulla ricerca recente. Proiezioni generali e problemi aperti. Il teorema dell'elemento primitivo.
27	19/11	Ogni varietà quasi-proiettiva irriducibile su un campo infinito perfetto è birazionalmente equivalente ad un'ipersuperficie.
28	19/11	Curve razionali normali e loro equazioni. Morfismo di Veronese, varietà di Veronese e loro equazioni. Il complementare di un'ipersuperficie in \({\mathbb P}^n\) è una varietà affine.
29	21/11	Precisazioni sui campi perfetti e sull'equivalenza birazionale delle varietà con le ipersuperficie. Morfismo di Segre e varietà di Segre. Polinomi biomogenei e chiusi in \({\mathbb P}^n \times {\mathbb P}^m\).
30	21/11	Il grafico di un morfismo tra varietà quasi-proiettive è chiuso. Idea di dimostrazione del Teorema: se \(\Phi : X \to Y\) è un morfismo con \(X \subseteq {\mathbb P}^n\) chiusa e \(Y\) varietà quasi-proiettiva, allora \(\Phi(X)\) è chiuso in \(Y\). Proiezioni da chiusi di \({\mathbb P}^n\), proiezioni lineari. Ogni proiezione di grado \(d\) è composizione di una proiezione lineare con un morfismo di Veronese.
31	26/11	La proiezione da un chiuso è a fibre finite sui chiusi che non intersecano il centro di proiezione. Se \(X \subseteq {\mathbb P}^n\) è un chiuso irriducibile tale che \(\dim X \geq 1\) e \(Y \subset {\mathbb P}^n\) è un'ipersuperficie, allora \(X \cap Y \neq \emptyset\). \({\mathbb P}^2\) non è isomorfo a \({\mathbb P}^1 \times {\mathbb P}^1\).
32	26/11	Il risultante \(R_{f,g}\) tra due polinomi \(f, g \in k[t_1, \ldots, t_n, t]\). Sia \(k\) un campo algebricamente chiuso e siano \(f, g \in k[t_1, \ldots, t_n, t]\) tali che uno dei due coefficenti direttori, rispetto a \(t\), sia in \(k^*\). Se esiste \(q = (p, \beta) \in {\mathbb A}^{n+1}, p \in {\mathbb A}^n, \beta \in k\) tale che \(f(q) = g(q) = 0\) allora \(R_{f,g}(p)=0\). Viceversa per ogni \(p \in {\mathbb A}^n\) tale che \(R_{f,g}(p)=0\), esiste \(q = (p, \beta) \in {\mathbb A}^{n+1}\) tale che \(f(q) = g(q) = 0\). Risultante e proiezioni.
33	28/11	Sia \(k\) un campo algebricamente chiuso, \(p \in {\mathbb P}^n\) e sia \(\pi_p: {\mathbb P}^n \dashrightarrow {\mathbb P}^{n-1}\) la proiezione. Se \(V \subset {\mathbb P}^n\) è un chiuso tale che \(p \not\in V\) allora \(\pi_p(V)\) è chiuso in \({\mathbb P}^{n-1}\).
34	28/11	Sia \(Y\) una varietà quasi-proiettiva, \(p \in {\mathbb P}^n\) e sia \(\varphi = (Id_Y, \pi_p) : Y \times {\mathbb P}^n \dashrightarrow Y \times {\mathbb P}^{n-1}\). Se \(V \subset Y \times {\mathbb P}^n\) è un chiuso tale che \(V \cap (Y \times \{p\}) = \emptyset\) allora \(\varphi(V)\) è chiuso in \(Y \times {\mathbb P}^{n-1}\). Sia \(X \subseteq {\mathbb P}^n\) un chiuso e sia \(Y\) una varietà quasi-proiettiva. Allora la proiezione sul primo fattore \(\pi_Y : Y \times X \to X\) è chiusa. Teorema: sia \(X \subseteq {\mathbb P}^n\) un chiuso e sia \(Y\) una varietà quasi-proiettiva. Sia \(\Phi : X \to Y\) un morfismo. Allora \(\Phi(X)\) è chiuso in \(Y\).
35	3/12	Ogni funzione regolare su una varietà proiettiva irriducibile è costante. Sia \(X \subseteq {\mathbb P}^N\) un chiuso di dimensione pura \(n \geq 1\), siano \(F_1, \ldots, F_c\) polinomi omogenei non costanti e sia \(Y = X \cap V(F_1, \ldots, F_c)\). Allora ogni componente irriducibile di \(Y\) ha dimensione almeno \(n-c\). Inoltre se \(c=1\) ogni componente irriducibile di \(Y\) che non lo è di \(X\) ha dimensione \(n-1\).
36	3/12	Sia \(X \subseteq {\mathbb P}^N\) una varietà quasi-proiettiva di dimensione pura \(n \geq 1\) e sia \(Z \subset X\) un chiuso irriducibile non vuoto di codimensione \(c \geq 1\). Allora esistono \(F_1, \ldots, F_c\) polinomi omogenei non costanti tali che \(Z\)  è una componente irriducibile di \(X \cap V(F_1, \ldots, F_c)\). Semicontinuità superiore della dimensione: siano \(X\) ed \(Y\) due varietà quasi-proiettive irriducibili e sia \(\phi: X \to Y\) un morfismo dominante. Sia \(n = \dim X\), \(m = \dim Y\). Allora (1) per ogni \(q \in \phi(X)\) ogni componente irriducibile della fibra \(X_q\) ha dimensione almeno \(n-m\); (2) esiste un aperto non vuoto \(U \subseteq Y\) tale che \(\dim X_q = n-m\) per ogni \(q \in U\); (3) se \(\phi\) è suriettiva e \(k \in {\mathbb Z}\),   l'insieme \(Y_k = \{q \in Y :  \dim X_q \leq k\}\) è aperto in \(Y\). In particolare \(\{q \in Y :  \dim X_q =n-m\}\) è aperto in \(Y\). Dimostrazione della parte (1).
37	5/12	Dimostrazione della parte (2).
38	5/12	Dimostrazione della parte (3). L'anello locale \({\cal O}_{X,p}\) di una varietà quasi-proiettiva \(X\) in un suo punto \(p\).
39	10/12	Sia \(X\) una varietà affine, sia \(p \in X\) e sia \(I(p) \subset k[X]\) l'ideale di \(p\). Allora \({\cal O}_{X,p} \cong k[X]_{I(p)}\) e l'omomorfismo naturale \(\lambda_p : k[X] \to k[X]_{I(p)}\) è iniettivo se e solo se ogni componente irriducibile di \(X\) contiene \(p\).
40	10/12	Lo spazio cotangente \(T_p(X)^* := m_p/m_p^2\) di una varietà quasi-proiettiva \(X\) in un suo punto \(p\), dove \(m_p\) è l'ideale massimale di \({\cal O}_{X,p}\). Se \(X \subseteq {\mathbb A}^n\) è una varietà affine e \(p \in X\) allora \(\dim T_p(X)^* \leq n\) e \(I(p)/I(p)^2 \cong m_p/m_p^2\).
41	12/12	La parte omogenea di grado \(1\) di un polinomio in un punto. Lo spazio tangente \(T_pX\) ad un chiuso affine \(X\) in un suo punto \(p\). Sia \(X\) una varietà affine e sia \(p \in X\). Allora gli spazi tangente e cotangente in \(p\) sono duali. Siano \(X\) ed \(Y\) due varietà quasi-proiettive, sia \(\phi: X \to Y\) un morfismo e siano \(p\in X, q = \phi(p) \in Y\). Allota esiste un omomorfismo \(d\phi_p : T_pX \to T_qY\) che è un isomorfismo se \(\phi\) lo è.
42	12/12	Punti singolari e non singolari di una varietà quasi-proiettiva. Sia \(k\) un campo algebricamente chiuso e sia \(X \subset {\mathbb A}^n\) un'ipersuperficie tale che \(I(X)\) è radicale. Allora, per ogni \(p \in X\), si ha \(\dim T_p(X) \geq n-1\) e l'insieme dei punti non singolari di \(X\) è un aperto denso in \(X\). Lunedì 17 dicembre alle ore 13:15 si terrà una lezione seminariale sul polinomio di Hilbert.
43	17/12	Lezione seminariale sul polinomio di Hilbert.
44	17/12	Sia \(k\) un campo algebricamente chiuso e sia \(X\) una varietà quasi-proiettiva irriducibile. Allora, per ogni \(p \in X\), si ha \(\dim T_p(X) \geq \dim X\) e l'insieme dei punti non singolari di \(X\) è un aperto denso in \(X\). Sistemi di parametri locali in un punto di una varietà quasi-proiettiva.
45	17/12	Sia \(X\) una varietà quasi-proiettiva irriducibile nonsingolare di dimensione \(n\) su un campo \(k\). Sia \(p \in X\) e siano \(u_1, \ldots, u_n\) un sistema di parametri locali in \(p\). Allora \(u_1, \ldots, u_n\) sono algebricamente indipendenti. Inoltre se \(k\) ha caratteristica zero e \(u_1, \ldots, u_n \in k(X)\) sono algebricamente indipendenti, l'insieme dei punti in cui definiscono un un sistema di parametri locali contiene un aperto non vuoto di \(X\). L'anello locale di una varietà quasi-proiettiva in un punto non singolare è a fattorizzazione unica. Sia \(X\) una varietà quasi-proiettiva. Se \(p \in X\) è non singolare, allora appartiene ad un'unica componente irriducibile di \(X\). Inoltre l'insieme dei punti singolari di \(X\) è un chiuso proprio di \(X\).
46	19/12	Sia \(k\) un campo algebricamente chiuso, sia \(\phi : X \to Y\) un morfismo tra due varietà quasi-proiettive irriducibili e sia \(p \in X\) non singolare, \(q = \phi(p)\) e \(F = X_q\). Se \(F\) ha dimensione pura \(\dim X - \dim Y\) e \(d_p \phi\) è suriettiva allora \(X_q\) è non singolare in \(p\),  \(Y\) è non singolare in \(q\) e c'è una successione esatta \(0 \to T_pF \to T_pX \to T_qY \to 0\). Il teorema di Bertini: sia \(k\) un campo algebricamente chiuso di caratteristica zero e sia \(\Phi : X \to Y\) un morfismo dominante tra due varietà quasi-proiettive. Se \(X\) è non singolare allora esiste un aperto non vuoto \(U \subseteq Y\) tale che \(F\) è non singolare per ogni \(q \in U\).
47	19/12	Varietà normali. Anelli integralmente chiusi. Una varietà quasi-proiettiva irriducibile è normale se e solo se ogni suo aperto affine ha campo delle funzioni integralmente chiuso se e solo se c'è un ricoprimento aperto di sottovarietà affini normali. Varietà localmente fattoriali. Una varietà quasi-proiettiva irriducibile e localmente fattoriale (in particolare una varietà nonsingolare) è normale. La normalizzazione di una varietà quasi-proiettiva irriducibile. La normalizzazione esiste, è unica e soddisfa una proprietà universale.
48	18/3	Lezione seminariale sul teorema di Bézout.
49	18/3	Lezione seminariale sui divisori di Cartier, prima parte.
50	18/3	Lezione seminariale sui divisori di Cartier, seconda parte.