GEOMETRIA ALGEBRICA 1
                                                                                                             A.A. 2012/2013
 

                                                                                     DIARIO DELLE LEZIONI

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24/9
Introduzione al corso, importanza e peculiaritÓ della geometria algebrica. Richiami di algebra di polinomi.
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24/9 
Insiemi algebrici, ipersuperficie, esempi. Topologia di Zariski su \(k^n\), \(n\)-spazio affine su un campo \(k\): \({\mathbb A}^n_k\).
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26/9
Prime proprietÓ della topologia di Zariski. I chiusi di \({\mathbb A}^2\) sono unioni finite di punti ed ipersuperficie.
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26/9 Corrispondenza tra ideali di \(k[x_1, \ldots, x_n]\) e chiusi di \({\mathbb A}^n_k\). Ideali radicali. L'ideale associato ad un sottoinsieme di \({\mathbb A}^n_k\). Il teorema degli zeri di Hilbert (solo enunciato) e la corrispondenza biunivoca tra ideali radicali e chiusi. La prossima lezione sarÓ lunedý 8 ottobre.
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8/10
I chiusi di \({\mathbb A}^n_k\) sono Noetheriani e quindi compatti. Chiusi irriducibili, componenti irriducibili. Sia \(X\) chiuso di \({\mathbb A}^n_k\); \(X\) Ŕ irriducibile se e solo se \(I(X)\) Ŕ primo. 
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8/10 Esistenza, unicitÓ (a meno dell'ordine) e finitezza della componenti irriducibili di un chiuso di \({\mathbb A}^n_k\). Corrispondenza tra chiusi di \({\mathbb A}^n_k\) e \(k\)-algebre finitamente generate e prive di nilpotenti.
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10/10
Indipendenza algebrica, basi di trascendenza. Ogni insieme di elementi algebricamente indipendenti pu˛ essere completato ad una base di trascendenza.
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10/10 Dimensione di un sottoinsieme di \({\mathbb A}^n_k\), esempi. Funzioni regolari su un chiuso \(X\) di \({\mathbb A}^n_k\), l'algebra \(k[X]\) delle funzioni regolari su \(X\). Isomorfismo tra \(k[x_1, \ldots, x_n]/I(X)\) e \(k[X]\). Applicazioni regolari (morfismi) tra due insiemi chiusi \(X \subseteq {\mathbb A}^n_k\), \(Y \subseteq {\mathbb A}^m_k\). Isomorfismi, morfismi dominanti, esempi.
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15/10
L'omomorfismo indotto da un morfismo tra due chiusi. Corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei morfismi tra due chiusi e l'insieme degli omomorfismi tra \(k\)-algebre. Invarianza della dimensione dei chiusi per isomorfismo.
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15/10
Ogni \(k\)-algebra finitamente generata e priva di nilpotenti Ŕ l'algebra delle funzioni regolari di un unico chiuso affine (a meno di isomorfismo). Un morfismo Ŕ dominante se e solo se l'omomorfismo indotto Ŕ iniettivo. Se l'omomorfismo indotto Ŕ suriettivo allora il morfismo Ŕ iniettivo e l'immagine Ŕ chiusa.
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17/10
Prodotto di due chiusi affini \(X \subseteq {\mathbb A}^n_k, Y \subseteq {\mathbb A}^m_k\). L'isomorfismo \(k[X] \otimes_k k[Y] \cong k[X \times Y]\). Aperti principali della topologia di Zariski di un chiuso affine. Gli aperti principali sono una base. Le proiezioni \(X \times Y \to X\) e \(X \times Y \to Y\) sono aperte.
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17/10
Estensioni integrali e finitamente generate di anelli. Un'estensione di \(k\)-algebre Ŕ integrale se e solo se Ŕ finitamente generata.
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22/10
Morfismi finiti tra chiusi affini, esempi. I morfismi finiti sono suriettivi, chiusi ed a fibre finite.
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22/10
Polinomi omogenei, ideali omogenei. Spazio proiettivo \(n\)-dimensionale su un campo \(k\): \({\mathbb P}^n_k\). Topologia di Zariski su \({\mathbb P}^n_k\). Chiusi proiettivi, il cono affine su un chiuso proiettivo. Ideali omogenei associati a sottoinsiemi di \({\mathbb P}^n_k\). Corrispondenza biunivoca tra ideali radicali omogenei, diversi dall'ideale irrilevante, e chiusi proiettivi e tra chiusi proiettivi irriducibili ed ideali primi.
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24/10
Identificazione di \({\mathbb A}^n_k\) con gli aperti coordinati di \({\mathbb P}^n_k\). VarietÓ quasi-proiettive, esempi. Ipersuperficie e loro componenti irriducibili.
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24/10
Funzioni razionali e regolari su una varietÓ quasi-proiettiva \(X\). I corrispondenti anelli \(k(X)\) e \(k[X]\). L'insieme dei punti in cui una funzione razionale Ŕ regolare Ŕ aperto e due funzioni regolari concidono se coincidono su un aperto non vuoto. Sia \(k\) algebricamente chiuso, allora \(k({\mathbb P}^n) \cong k(t_1, \ldots, t_n)\) e \(k[{\mathbb P}^n] \cong k\). La prossima lezione sarÓ mercoledý 31 ottobre.
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31/10
Sia \(X\) un chiuso affine. L'anello delle funzioni razionali di \(X\) come varietÓ quasi-proiettiva Ŕ lo stesso di quello come chiuso affine. Inoltre una funzione razionale su \(X\) (come varietÓ quasi-proiettiva) Ŕ regolare se e solo se sta nell'anello delle funzioni regolari di \(X\) come chiuso affine. Una funzione razionale su \(Z(t_1^2 + t_2^2 - 1)\).
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31/10
Morfismi ed applicazioni razionali tra varietÓ quasi-proiettive. Il caso dei chiusi affini. L'isomorfismo tra  \(V(x_1^2 + x_2^2 - x_0^2)\) e \({\mathbb P}^1_k\) se \(k\) non ha caratteristica \(2\).
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5/11
Ogni applicazione razionale da \({\mathbb P}^1\) a \({\mathbb P}^n\) Ŕ regolare. L'insieme dei punti in cui un'applicazione razionale Ŕ regolare Ŕ aperto e due applicazioni razionali concidono se coincidono su un aperto non vuoto.VarietÓ affini e varietÓ proiettive. Esempi.
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5/11
Una varietÓ quasi-proiettiva Ŕ unione finita di aperti che sono varietÓ affini. Dimensione di una varietÓ quasi-proiettiva. Prime proprietÓ della dimensione: \(\dim {\mathbb A}^n = \dim {\mathbb P}^n = n\). Se \(\phi : X \to Y\) Ŕ un morfismo dominante tra due varietÓ quasi-proiettive irriducibili allora \(\dim X \geq \dim Y\).
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7/11
Supplementi sul grado di trascendenza. Se \(K \subset F \subset L\) sono estensioni di campi e \(trdeg_K L < \infty\) allora \(trdeg_K F < \infty, trdeg_F L < \infty\) e \(trdeg_K L = trdeg_K F + trdeg_F L\). Il grado di trascendenza di un dominio. Se \(A\) Ŕ un dominio contenente un campo \(K\) allora \(trdeg_K A = trdeg_K Quoz(A)\).
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7/11
Se \(X\) Ŕ una varietÓ quasi-proiettiva irriducibile e \(Y \subset X\) Ŕ chiuso non vuoto, \(Y \neq X\) allora \(\dim Y < \dim X\). Esempi: insiemi finiti, curve piane. Se \(k\) Ŕ algebricamente chiuso, la dimensione di un'ipersuperficie in \({\mathbb P}^n_k, n\geq 1\), Ŕ \(n-1\).
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12/11
Morfismi genericamente finiti e finiti. Esempio di un morfismo genericamente finito ma non finito. Sia \(\phi: X \to Y\) un morfismo dominante tra varietÓ quasi-proiettive irriducibili. Allora \(\phi\) Ŕ genericamente finito se e solo se esistono due aperti affini non vuoti \(V \subseteq X, W \subseteq Y\) tali che \(\phi_{|V} : V \to W\)  Ŕ finito se e solo se esiste un aperto non vuoto \(W \subseteq Y\) tale che \(\phi^{-1}(q)\) Ŕ non vuoto e finito per ogni \(q \in W\). 
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12/11
Sia \(\phi: X \to Y\) un morfismo dominante tra varietÓ quasi-proiettive. Allora \(\phi(X)\) contiene un aperto non vuoto di \(Y\).
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14/11
Insiemi costruibili. L'immagine di un morfismo dominante tra varietÓ quasi-proiettive Ŕ costruibile, il teorema di Chevalley. Applicazioni birazionali. Due varietÓ quasi-proiettive irriducibili sono birazionalmente equivalenti se e solo se hanno due aperti densi birazionalmente equivalenti se e solo se hanno due aperti densi isomorfi se e solo se hanno campi di funzioni razionali isomorfi. VarietÓ razionali. La cubica con cuspide Ŕ razionale.
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14/11
Divagazione sulla classificazione birazionale delle varietÓ e sulla ricerca recente. Proiezioni generali e problemi aperti. Il teorema dell'elemento primitivo.
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19/11
Ogni varietÓ quasi-proiettiva irriducibile su un campo infinito perfetto Ŕ birazionalmente equivalente ad un'ipersuperficie.
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19/11
Curve razionali normali e loro equazioni. Morfismo di Veronese, varietÓ di Veronese e loro equazioni. Il complementare di un'ipersuperficie in \({\mathbb P}^n\) Ŕ una varietÓ affine.
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21/11
Precisazioni sui campi perfetti e sull'equivalenza birazionale delle varietÓ con le ipersuperficie. Morfismo di Segre e varietÓ di Segre. Polinomi biomogenei e chiusi in \({\mathbb P}^n \times {\mathbb P}^m\).
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21/11
Il grafico di un morfismo tra varietÓ quasi-proiettive Ŕ chiuso. Idea di dimostrazione del Teorema: se \(\Phi : X \to Y\) Ŕ un morfismo con \(X \subseteq {\mathbb P}^n\) chiusa e \(Y\) varietÓ quasi-proiettiva, allora \(\Phi(X)\) Ŕ chiuso in \(Y\). Proiezioni da chiusi di \({\mathbb P}^n\), proiezioni lineari. Ogni proiezione di grado \(d\) Ŕ composizione di una proiezione lineare con un morfismo di Veronese.
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26/11
La proiezione da un chiuso Ŕ a fibre finite sui chiusi che non intersecano il centro di proiezione. Se \(X \subseteq {\mathbb P}^n\) Ŕ un chiuso irriducibile tale che \(\dim X \geq 1\) e \(Y \subset {\mathbb P}^n\) Ŕ un'ipersuperficie, allora \(X \cap Y \neq \emptyset\). \({\mathbb P}^2\) non Ŕ isomorfo a \({\mathbb P}^1 \times {\mathbb P}^1\).
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26/11
Il risultante \(R_{f,g}\) tra due polinomi \(f, g \in k[t_1, \ldots, t_n, t]\). Sia \(k\) un campo algebricamente chiuso e siano \(f, g \in k[t_1, \ldots, t_n, t]\) tali che uno dei due coefficenti direttori, rispetto a \(t\), sia in \(k^*\). Se esiste \(q = (p, \beta) \in {\mathbb A}^{n+1}, p \in {\mathbb A}^n, \beta \in k\) tale che \(f(q) = g(q) = 0\) allora \(R_{f,g}(p)=0\). Viceversa per ogni \(p \in {\mathbb A}^n\) tale che \(R_{f,g}(p)=0\), esiste \(q = (p, \beta) \in {\mathbb A}^{n+1}\) tale che \(f(q) = g(q) = 0\). Risultante e proiezioni.
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28/11
Sia \(k\) un campo algebricamente chiuso, \(p \in {\mathbb P}^n\) e sia \(\pi_p: {\mathbb P}^n \dashrightarrow {\mathbb P}^{n-1}\) la proiezione. Se \(V \subset {\mathbb P}^n\) Ŕ un chiuso tale che \(p \not\in V\) allora \(\pi_p(V)\) Ŕ chiuso in \({\mathbb P}^{n-1}\).
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28/11
Sia \(Y\) una varietÓ quasi-proiettiva, \(p \in {\mathbb P}^n\) e sia \(\varphi = (Id_Y, \pi_p) : Y \times {\mathbb P}^n \dashrightarrow Y \times {\mathbb P}^{n-1}\). Se \(V \subset Y \times {\mathbb P}^n\) Ŕ un chiuso tale che \(V \cap (Y \times \{p\}) = \emptyset\) allora \(\varphi(V)\) Ŕ chiuso in \(Y \times {\mathbb P}^{n-1}\). Sia \(X \subseteq {\mathbb P}^n\) un chiuso e sia \(Y\) una varietÓ quasi-proiettiva. Allora la proiezione sul primo fattore \(\pi_Y : Y \times X \to X\) Ŕ chiusa. Teorema: sia \(X \subseteq {\mathbb P}^n\) un chiuso e sia \(Y\) una varietÓ quasi-proiettiva. Sia \(\Phi : X \to Y\) un morfismo. Allora \(\Phi(X)\) Ŕ chiuso in \(Y\). 
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3/12
Ogni funzione regolare su una varietÓ proiettiva irriducibile Ŕ costante. Sia \(X \subseteq {\mathbb P}^N\) un chiuso di dimensione pura \(n \geq 1\), siano \(F_1, \ldots, F_c\) polinomi omogenei non costanti e sia \(Y = X \cap V(F_1, \ldots, F_c)\). Allora ogni componente irriducibile di \(Y\) ha dimensione almeno \(n-c\). Inoltre se \(c=1\) ogni componente irriducibile di \(Y\) che non lo Ŕ di \(X\) ha dimensione \(n-1\).
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3/12
Sia \(X \subseteq {\mathbb P}^N\) una varietÓ quasi-proiettiva di dimensione pura \(n \geq 1\) e sia \(Z \subset X\) un chiuso irriducibile non vuoto di codimensione \(c \geq 1\). Allora esistono \(F_1, \ldots, F_c\) polinomi omogenei non costanti tali che \(Z\)  Ŕ una componente irriducibile di \(X \cap V(F_1, \ldots, F_c)\). SemicontinuitÓ superiore della dimensione: siano \(X\) ed \(Y\) due varietÓ quasi-proiettive irriducibili e sia \(\phi: X \to Y\) un morfismo dominante. Sia \(n = \dim X\), \(m = \dim Y\). Allora (1) per ogni \(q \in \phi(X)\) ogni componente irriducibile della fibra \(X_q\) ha dimensione almeno \(n-m\); (2) esiste un aperto non vuoto \(U \subseteq Y\) tale che \(\dim X_q = n-m\) per ogni \(q \in U\); (3) se \(\phi\) Ŕ suriettiva e \(k \in {\mathbb Z}\),   l'insieme \(Y_k = \{q \in Y :  \dim X_q \leq k\}\) Ŕ aperto in \(Y\). In particolare \(\{q \in Y :  \dim X_q =n-m\}\) Ŕ aperto in \(Y\). Dimostrazione della parte (1).
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5/12
Dimostrazione della parte (2).
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5/12
Dimostrazione della parte (3). L'anello locale \({\cal O}_{X,p}\) di una varietÓ quasi-proiettiva \(X\) in un suo punto \(p\).
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10/12
Sia \(X\) una varietÓ affine, sia \(p \in X\) e sia \(I(p) \subset k[X]\) l'ideale di \(p\). Allora \({\cal O}_{X,p} \cong k[X]_{I(p)}\) e l'omomorfismo naturale \(\lambda_p : k[X] \to k[X]_{I(p)}\) Ŕ iniettivo se e solo se ogni componente irriducibile di \(X\) contiene \(p\).
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10/12
Lo spazio cotangente \(T_p(X)^* := m_p/m_p^2\) di una varietÓ quasi-proiettiva \(X\) in un suo punto \(p\), dove \(m_p\) Ŕ l'ideale massimale di \({\cal O}_{X,p}\). Se \(X \subseteq {\mathbb A}^n\) Ŕ una varietÓ affine e \(p \in X\) allora \(\dim T_p(X)^* \leq n\) e \(I(p)/I(p)^2 \cong m_p/m_p^2\).
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12/12
La parte omogenea di grado \(1\) di un polinomio in un punto. Lo spazio tangente \(T_pX\) ad un chiuso affine \(X\) in un suo punto \(p\). Sia \(X\) una varietÓ affine e sia \(p \in X\). Allora gli spazi tangente e cotangente in \(p\) sono duali. Siano \(X\) ed \(Y\) due varietÓ quasi-proiettive, sia \(\phi: X \to Y\) un morfismo e siano \(p\in X, q = \phi(p) \in Y\). Allota esiste un omomorfismo \(d\phi_p : T_pX \to T_qY\) che Ŕ un isomorfismo se \(\phi\) lo Ŕ.
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12/12
Punti singolari e non singolari di una varietÓ quasi-proiettiva. Sia \(k\) un campo algebricamente chiuso e sia \(X \subset {\mathbb A}^n\) un'ipersuperficie tale che \(I(X)\) Ŕ radicale. Allora, per ogni \(p \in X\), si ha \(\dim T_p(X) \geq n-1\) e l'insieme dei punti non singolari di \(X\) Ŕ un aperto denso in \(X\).
Lunedý 17 dicembre alle ore 13:15 si terrÓ una lezione seminariale sul polinomio di Hilbert.
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17/12
Lezione seminariale sul polinomio di Hilbert.
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17/12
Sia \(k\) un campo algebricamente chiuso e sia \(X\) una varietÓ quasi-proiettiva irriducibile. Allora, per ogni \(p \in X\), si ha \(\dim T_p(X) \geq \dim X\) e l'insieme dei punti non singolari di \(X\) Ŕ un aperto denso in \(X\). Sistemi di parametri locali in un punto di una varietÓ quasi-proiettiva.
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17/12
Sia \(X\) una varietÓ quasi-proiettiva irriducibile nonsingolare di dimensione \(n\) su un campo \(k\). Sia \(p \in X\) e siano \(u_1, \ldots, u_n\) un sistema di parametri locali in \(p\). Allora \(u_1, \ldots, u_n\) sono algebricamente indipendenti. Inoltre se \(k\) ha caratteristica zero e \(u_1, \ldots, u_n \in k(X)\) sono algebricamente indipendenti, l'insieme dei punti in cui definiscono un un sistema di parametri locali contiene un aperto non vuoto di \(X\). L'anello locale di una varietÓ quasi-proiettiva in un punto non singolare Ŕ a fattorizzazione unica. Sia \(X\) una varietÓ quasi-proiettiva. Se \(p \in X\) Ŕ non singolare, allora appartiene ad un'unica componente irriducibile di \(X\). Inoltre l'insieme dei punti singolari di \(X\) Ŕ un chiuso proprio di \(X\).
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19/12
Sia \(k\) un campo algebricamente chiuso, sia \(\phi : X \to Y\) un morfismo tra due varietÓ quasi-proiettive irriducibili e sia \(p \in X\) non singolare, \(q = \phi(p)\) e \(F = X_q\). Se \(F\) ha dimensione pura \(\dim X - \dim Y\) e \(d_p \phi\) Ŕ suriettiva allora \(X_q\) Ŕ non singolare in \(p\),  \(Y\) Ŕ non singolare in \(q\) e c'Ŕ una successione esatta \(0 \to T_pF \to T_pX \to T_qY \to 0\). Il teorema di Bertini: sia \(k\) un campo algebricamente chiuso di caratteristica zero e sia \(\Phi : X \to Y\) un morfismo dominante tra due varietÓ quasi-proiettive. Se \(X\) Ŕ non singolare allora esiste un aperto non vuoto \(U \subseteq Y\) tale che \(F\) Ŕ non singolare per ogni \(q \in U\).
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19/12
VarietÓ normali. Anelli integralmente chiusi. Una varietÓ quasi-proiettiva irriducibile Ŕ normale se e solo se ogni suo aperto affine ha campo delle funzioni integralmente chiuso se e solo se c'Ŕ un ricoprimento aperto di sottovarietÓ affini normali. VarietÓ localmente fattoriali. Una varietÓ quasi-proiettiva irriducibile e localmente fattoriale (in particolare una varietÓ nonsingolare) Ŕ normale. La normalizzazione di una varietÓ quasi-proiettiva irriducibile. La normalizzazione esiste, Ŕ unica e soddisfa una proprietÓ universale.
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18/3
Lezione seminariale sul teorema di BÚzout.
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18/3
Lezione seminariale sui divisori di Cartier, prima parte.
50
18/3
Lezione seminariale sui divisori di Cartier, seconda parte.