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1/10
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Introduzione al corso,
importanza e peculiarità della geometria algebrica. Richiami
di algebra di polinomi. |
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1/10
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Insiemi di zeri di polinomi,
proprietà. Topologia di Zariski su \(k^n\), \(n\)-spazio
affine su un campo \(k\): \({\mathbb A}^n_k\). Prime
proprietà della topologia di Zariski. |
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4/10
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I chiusi di \({\mathbb
A}^2\) sono il vuoto, \({\mathbb A}^2\) e le unioni finite
di punti ed ipersuperficie. |
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4/10
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Corrispondenza tra ideali
di \(k[x_1, \ldots, x_n]\) e chiusi di \({\mathbb
A}^n_k\). Ideali radicali. L'ideale associato ad un
sottoinsieme di \({\mathbb A}^n_k\). Il teorema degli zeri
di Hilbert (solo enunciato) e la corrispondenza
biunivoca tra ideali radicali e chiusi. |
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8/10
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I chiusi di \({\mathbb
A}^n_k\) sono Noetheriani e quindi compatti. Chiusi
irriducibili, componenti irriducibili. Sia \(X\) chiuso di
\({\mathbb A}^n_k\); \(X\) è irriducibile se e solo se
\(I(X)\) è primo.
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8/10
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Esistenza, unicità (a meno
dell'ordine) e finitezza della componenti irriducibili di un
chiuso di \({\mathbb A}^n_k\). Corrispondenza tra chiusi di
\({\mathbb A}^n_k\) e \(k\)-algebre finitamente generate e
prive di nilpotenti. |
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11/10
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Indipendenza algebrica, basi
di trascendenza. Ogni insieme di elementi algebricamente
indipendenti può essere completato ad una base di
trascendenza. Dimensione di un sottoinsieme chiuso di
\({\mathbb A}^n_k\), esempi. |
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11/10
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Funzioni regolari su un
chiuso \(X\) di \({\mathbb A}^n_k\), l'algebra \(k[X]\)
delle funzioni regolari su \(X\). Isomorfismo tra \(k[X_1,
\ldots, X_n]/I(X)\) e \(k[X]\).
Applicazioni regolari (morfismi) tra due insiemi chiusi \(X
\subseteq {\mathbb A}^n_k\), \(Y \subseteq {\mathbb
A}^m_k\). L'omomorfismo indotto da un morfismo tra due
chiusi. Corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei morfismi
tra due chiusi e l'insieme degli omomorfismi tra
\(k\)-algebre (dimostrazione da completare la prossima
volta). |
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15/10
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Completamento della
dimostrazione precedente. Morfismi dominanti. |
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15/10
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Ogni \(k\)-algebra
finitamente generata e priva di nilpotenti è l'algebra delle
funzioni regolari di un unico chiuso affine (a meno di
isomorfismo). Un morfismo è dominante se e solo se
l'omomorfismo indotto è iniettivo. Se l'omomorfismo indotto
è suriettivo allora il morfismo è iniettivo e l'immagine è
chiusa. In generale non vale il viceversa. |
11
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18/10
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Prodotto di due chiusi affini
\(X \subseteq {\mathbb A}^n_k, Y \subseteq {\mathbb
A}^m_k\). L'isomorfismo \(k[X] \otimes_k k[Y] \cong k[X
\times Y]\). |
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18/10
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Aperti principali della
topologia di Zariski di un chiuso affine. Gli aperti
principali sono una base. Le proiezioni \(X \times Y \to X\)
e \(X \times Y \to Y\) sono aperte. Estensioni integrali e
finitamente generate di anelli. Un'estensione di
\(k\)-algebre è integrale se e solo se è finitamente
generata. |
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22/10
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Morfismi finiti tra chiusi
affini, esempi. I morfismi finiti sono suriettivi, chiusi ed
a fibre finite. |
14
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22/10
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Polinomi omogenei, ideali
omogenei. Spazio proiettivo \(n\)-dimensionale su un campo
\(k\): \({\mathbb P}^n_k\). Topologia di Zariski su
\({\mathbb P}^n_k\). Chiusi proiettivi, il cono affine su un
chiuso proiettivo. |
15
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25/10
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Ideali omogenei associati a
sottoinsiemi di \({\mathbb P}^n_k\). Corrispondenza
biunivoca tra ideali radicali omogenei, diversi dall'ideale
irrilevante, e chiusi proiettivi e tra chiusi proiettivi
irriducibili ed ideali primi. |
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25/10
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Identificazione di \({\mathbb
A}^n_k\) con gli aperti coordinati di \({\mathbb P}^n_k\).
Varietà quasi-proiettive, esempi. Ipersuperficie e loro
componenti irriducibili. La prossima lezione sarà il 5/11 per l'interruzione
delle attività durante la settimana degli esoneri.
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17
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5/11
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Funzioni razionali e regolari
su una varietà quasi-proiettiva \(X\). I corrispondenti
anelli \(k(X)\) e \(k[X]\). L'insieme dei punti in cui una
funzione razionale è regolare è aperto e due funzioni
regolari concidono se coincidono su un aperto non
vuoto.
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5/11
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Esempi di funzioni razionali.
Sia \(k\) algebricamente chiuso, allora \(k({\mathbb P}^n)
\cong k(t_1, \ldots, t_n)\) e \(k[{\mathbb P}^n] \cong k\)
(dimostrazione da completare la prossima volta). |
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8/11
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Conclusione della
dimostrazione precedente. Sia \(X\) un chiuso affine.
L'anello delle funzioni razionali di \(X\) come varietà
quasi-proiettiva è lo stesso di quello come chiuso affine.
Inoltre una funzione razionale su \(X\) (come varietà
quasi-proiettiva) è regolare se e solo se sta nell'anello
delle funzioni regolari di \(X\) come chiuso affine. |
20
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8/11
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Morfismi ed applicazioni
razionali tra varietà quasi-proiettive. Applicazioni
birazionali. Divagazione sulla classificazione birazionale
delle varietà e sulla ricerca recente. |
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12/11
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Morfismi ed applicazioni
razionali nel caso dei chiusi affini. L'isomorfismo
tra \(V(x_1^2 + x_2^2 - x_0^2)\) e \({\mathbb P}^1_k\)
se \(k\) non ha caratteristica \(2\). |
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12/11
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L'insieme dei punti in cui
un'applicazione razionale è regolare è aperto e due
applicazioni razionali concidono se coincidono su un aperto
non vuoto. Relazione tra morfismi ed applicazioni razionali
tra varietà quasi-proiettive ed omomorfismi di
\(k\)-algebre. La proiezione da \({\mathbb P}^n\) a
\({\mathbb P}^{n-1}\). |
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15/11
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Varietà affini e varietà
proiettive. Esempi di varietà affini che non sono chiuse e
di varietà quasi-proiettive che non sono né affini né
proiettive. Una varietà quasi-proiettiva è unione finita di
aperti che sono varietà affini. |
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15/11
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Dimensione di una varietà
quasi-proiettiva. Prime proprietà della dimensione: \(\dim
{\mathbb A}^n = \dim {\mathbb P}^n = n\); se \(\phi : X \to
Y\) è un morfismo dominante tra due varietà quasi-proiettive
irriducibili allora \(\dim X \geq \dim Y\). Supplementi sul
grado di trascendenza. Se \(K \subset F \subset L\) sono
estensioni di campi e \(trdeg_K L < \infty\) allora
\(trdeg_K F < \infty, trdeg_F L < \infty\) e \(trdeg_K
L = trdeg_K F + trdeg_F L\). |
25
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19/11
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Siano \(X\) un chiuso affine
e sia \(f \in k[X]\). Condizione necessaria e sufficente
affinchè sia \(X_f = X\). Il grado di trascendenza di un
dominio. Se \(A\) è un dominio contenente un campo \(K\)
allora \(trdeg_K A = trdeg_K Quoz(A)\). |
26
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19/11
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Se \(X\) è una varietà
quasi-proiettiva irriducibile e \(Y \subset X\) è chiuso non
vuoto, \(Y \neq X\), allora \(\dim Y < \dim X\). Se \(k\)
è algebricamente chiuso, la dimensione di un'ipersuperficie
in \({\mathbb P}^n_k, n\geq 1\), è \(n-1\). |
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22/11
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Precisazioni sulla
dimostrazione che se \(A\) è un dominio contenente un campo
\(K\), allora \(trdeg_K A = trdeg_K Quoz(A)\). Morfismi
genericamente finiti e finiti. Esempio di un morfismo
genericamente finito ma non finito.
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28
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22/11
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Sia \(\Phi: X \to Y\) un
morfismo dominante tra varietà quasi-proiettive
irriducibili. Allora \(\Phi\) è genericamente finito se e
solo se esistono due aperti affini non vuoti \(V \subseteq
X, W \subseteq Y\) tali che \(\Phi_{|V} : V \to W\) è
finito se e solo se esiste un aperto non vuoto \(W \subseteq
Y\) tale che \(\Phi^{-1}(q)\) è non vuoto e finito per ogni
\(q \in W\). |
29
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26/11
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Sia \(\Phi: X \to Y\) un
morfismo dominante tra varietà quasi-proiettive. Allora
\(\Phi(X)\) contiene un aperto non vuoto di \(Y\). Varietà
razionali. La cubica con cuspide è razionale. |
30
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26/11
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Insiemi costruibili.
L'immagine di un morfismo tra varietà quasi-proiettive è
costruibile, il teorema di Chevalley. Applicazioni
birazionali. Due varietà quasi-proiettive irriducibili sono
birazionalmente equivalenti se e solo se hanno due aperti
densi birazionalmente equivalenti se e solo se hanno due
aperti densi isomorfi se e solo se hanno campi di funzioni
razionali isomorfi. Il teorema dell'elemento primitivo. |
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29/11
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Ogni varietà
quasi-proiettiva irriducibile su un campo di caratteristica
zero è birazionalmente equivalente ad un'ipersuperficie.
Curve razionali normali e loro equazioni. |
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29/11
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Morfismo di Veronese, varietà
di Veronese e loro equazioni. Il complementare di
un'ipersuperficie in \({\mathbb P}^n\) è una varietà affine.
Morfismo di Segre e varietà di Segre. |
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3/12
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Ogni varietà quasi-proiettiva
irriducibile su un campo perfetto è birazionalmente
equivalente ad un'ipersuperficie. |
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3/12
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Polinomi biomogenei e chiusi
in \({\mathbb P}^n \times {\mathbb P}^m\). Il grafico di un
morfismo tra varietà quasi-proiettive è chiuso. Idea di
dimostrazione del Teorema: se \(\Phi : X \to Y\) è un
morfismo con \(X \subseteq {\mathbb P}^n\) chiusa e \(Y\)
varietà quasi-proiettiva, allora \(\Phi(X)\) è chiuso in
\(Y\). |
35
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6/12
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Proiezioni da chiusi di
\({\mathbb P}^n\), proiezioni lineari. Ogni proiezione di
grado \(d\) è composizione di una proiezione lineare con un
morfismo di Veronese. La proiezione da un chiuso è a fibre
finite sui chiusi che non intersecano il centro di
proiezione. Sia \(k\) un campo algebricamente chiuso. Se \(X
\subseteq {\mathbb P}^n_k\) è un chiuso irriducibile tale
che \(\dim X \geq 1\) e \(Y \subset {\mathbb P}^n_k\) è
un'ipersuperficie, allora \(X \cap Y \neq \emptyset\).
\({\mathbb P}^2_k\) non è isomorfo a \({\mathbb P}^1_k
\times {\mathbb P}^1_k\). Il risultante \(R_{f,g}\) tra due
polinomi \(f, g \in k[t_1, \ldots, t_n, t]\) su un campo
\(k\). |
36
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6/12
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Sia \(k\) un campo e siano
\(f, g \in k[t_1, \ldots, t_n, t]\) tali che uno dei due
coefficenti direttori, rispetto a \(t\), sia in \(k^*\). Se
esiste \(q = (p, \beta) \in {\mathbb A}^{n+1}, p \in
{\mathbb A}^n, \beta \in k\) tale che \(f(q) = g(q) = 0\)
allora \(R_{f,g}(p)=0\). Viceversa per ogni \(p \in {\mathbb
A}^n\) tale che \(R_{f,g}(p)=0\), esiste \(q = (p, \beta)
\in {\mathbb A}^{n+1}\) tale che \(f(q) = g(q) = 0\).
Risultante e proiezioni. Sia \(k\) un campo algebricamente
chiuso, \(p \in {\mathbb P}^n\) e sia \(\pi_p: {\mathbb P}^n
\dashrightarrow {\mathbb P}^{n-1}\) la proiezione. Se \(V
\subset {\mathbb P}^n\) è un chiuso tale che \(p \not\in V\)
allora \(\pi_p(V)\) è chiuso in \({\mathbb P}^{n-1}\). Prima
parte della dimostrazione. |
37
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10/12
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Sia \(k\) un campo
algebricamente chiuso, \(p \in {\mathbb P}^n\) e sia
\(\pi_p: {\mathbb P}^n \dashrightarrow {\mathbb P}^{n-1}\)
la proiezione. Se \(V \subset {\mathbb P}^n\) è un chiuso
tale che \(p \not\in V\) allora \(\pi_p(V)\) è chiuso in
\({\mathbb P}^{n-1}\). Seconda parte della dimostrazione.
Sia \(Y\) una varietà quasi-proiettiva, \(p \in {\mathbb
P}^n\) e sia \(\varphi = (Id_Y, \pi_p) : Y \times {\mathbb
P}^n \dashrightarrow Y \times {\mathbb P}^{n-1}\). Se \(V
\subset Y \times {\mathbb P}^n\) è un chiuso tale che \(V
\cap (Y \times \{p\}) = \emptyset\) allora \(\varphi(V)\) è
chiuso in \(Y \times {\mathbb P}^{n-1}\) |
38
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10/12
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Sia \(X \subseteq {\mathbb
P}^n\) un chiuso e sia \(Y\) una varietà quasi-proiettiva.
Allora la proiezione sul primo fattore \(\pi_Y : Y \times X
\to X\) è chiusa. Teorema: sia \(X \subseteq {\mathbb P}^n\)
un chiuso e sia \(Y\) una varietà quasi-proiettiva. Sia
\(\Phi : X \to Y\) un morfismo. Allora \(\Phi(X)\) è chiuso
in \(Y\). |
39
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13/12
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Ogni funzione regolare su una
varietà proiettiva irriducibile è costante. Sia \(X
\subseteq {\mathbb P}^N\) un chiuso di dimensione pura \(n
\geq 1\), siano \(F_1, \ldots, F_c\) polinomi omogenei non
costanti e sia \(Y = X \cap V(F_1, \ldots, F_c)\). Allora
ogni componente irriducibile di \(Y\) ha dimensione almeno
\(n-c\). Inoltre se \(c=1\) ogni componente irriducibile di
\(Y\) che non lo è di \(X\) ha dimensione \(n-1\). |
40
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13/12
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Sia \(X \subseteq {\mathbb
P}^N\) una varietà quasi-proiettiva di dimensione pura \(n
\geq 1\) e sia \(Z \subset X\) un chiuso irriducibile non
vuoto di codimensione \(c \geq 1\). Allora esistono \(F_1,
\ldots, F_c\) polinomi omogenei non costanti tali che
\(Z\) è una componente irriducibile di \(X \cap V(F_1,
\ldots, F_c)\). Semicontinuità superiore della dimensione:
siano \(X\) ed \(Y\) due varietà quasi-proiettive
irriducibili e sia \(\Phi: X \to Y\) un morfismo dominante.
Sia \(n = \dim X\), \(m = \dim Y\). Allora (1) per ogni \(q
\in \Phi(X)\) ogni componente irriducibile della fibra
\(X_q\) ha dimensione almeno \(n-m\); (2) esiste un aperto
non vuoto \(U \subseteq Y\) tale che \(X_q\) ha dimensione
pura \(n-m\) per ogni \(q \in U\); (3) per ogni \(k \in
{\mathbb Z}\), l'insieme \(Y_k = \{q \in Y : \dim X_q
\leq k\}\) è aperto in \(Y\). In particolare, se \(\Phi\) è
suriettiva, \(\{q \in Y : \dim X_q =n-m\}\) è aperto
in \(Y\). Dimostrazione delle parti (1) e (2). |
41
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17/12
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Dimostrazione della parte
(3). |
42
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17/12
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L'anello locale \({\cal
O}_{X,p}\) di una varietà quasi-proiettiva \(X\) in un suo
punto \(p\). Sia \(X\) una varietà affine, sia \(p \in X\) e
sia \(I(p) \subset k[X]\) l'ideale di \(p\). Allora \({\cal
O}_{X,p} \cong k[X]_{I(p)}\) e l'omomorfismo naturale
\(\lambda_p : k[X] \to k[X]_{I(p)}\) è iniettivo se e solo
se ogni componente irriducibile di \(X\) contiene \(p\).
Dimostrazione della prima parte. |
43
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20/12
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Dimostrazione della seconda
parte. Lo spazio cotangente \(T_p(X)^* := m_p/m_p^2\) di una
varietà quasi-proiettiva \(X\) in un suo punto \(p\), dove
\(m_p\) è l'ideale massimale di \({\cal O}_{X,p}\). Se \(X
\subseteq {\mathbb A}^n\) è una varietà affine e \(p \in X\)
allora \(\dim T_p(X)^* \leq n\) e \(I(p)/I(p)^2 \cong
m_p/m_p^2\). |
44
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20/12
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La parte omogenea di grado \(1\) di un
polinomio in un punto. Lo spazio tangente \(T_pX\) ad un
chiuso affine \(X\) in un suo punto \(p\). Sia \(X\) una
varietà affine e sia \(p \in X\). Allora gli spazi tangente
e cotangente in \(p\) sono duali. Siano \(X\) ed \(Y\) due
varietà quasi-proiettive, sia \(\Phi: X \to Y\) un morfismo
e siano \(p\in X, q = \Phi(p) \in Y\). Allota esiste un
omomorfismo \(d_p\Phi : T_pX \to T_qY\) che è un isomorfismo
se \(\Phi\) lo è. Punti singolari e non singolari di una
varietà quasi-proiettiva. La prossime (ultime) due lezioni, per recuperare le
lezioni perse all'inizio del semestre, saranno giovedì 9
gennaio, ore 14 e venerdì 10 gennaio ore 11. |
45
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9/1
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Sia \(k\) un campo
algebricamente chiuso e sia \(X \subset {\mathbb A}^n\)
un'ipersuperficie tale che \(I(X)\) è radicale. Allora, per
ogni \(p \in X\), si ha \(\dim T_p(X) \geq n-1\) e l'insieme
dei punti non singolari di \(X\) è un aperto denso in \(X\).
Sia \(k\) un campo algebricamente chiuso e sia \(X\) una
varietà quasi-proiettiva irriducibile. Allora, per ogni \(p
\in X\), si ha \(\dim T_p(X) \geq \dim X\) e l'insieme dei
punti non singolari di \(X\) è un aperto non vuoto in \(X\).
Sistemi di parametri locali in un punto di una varietà
quasi-proiettiva. |
46
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9/1
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Sia \(X\) una varietà
quasi-proiettiva irriducibile nonsingolare di dimensione
\(n\) su un campo \(k\). Sia \(p \in X\) e siano \(u_1,
\ldots, u_n\) un sistema di parametri locali in \(p\).
Allora \(u_1, \ldots, u_n\) sono algebricamente
indipendenti. Inoltre se \(k\) ha caratteristica zero e
\(u_1, \ldots, u_n \in k(X)\) sono algebricamente
indipendenti, l'insieme dei punti in cui definiscono un un
sistema di parametri locali contiene un aperto non vuoto di
\(X\). |
47
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10/1
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L'anello locale di una
varietà quasi-proiettiva in un punto non singolare è un
dominio a fattorizzazione unica. Sia \(X\) una varietà
quasi-proiettiva. Se \(p \in X\) è non singolare, allora
appartiene ad un'unica componente irriducibile di \(X\).
Inoltre l'insieme dei punti singolari di \(X\) è un chiuso
proprio di \(X\). Sia \(k\) un campo algebricamente chiuso e
sia \(\Phi : X \to Y\) un morfismo tra due varietà
quasi-proiettive irriducibili e sia \(p \in X\) non
singolare, \(q = \Phi(p)\) e \(F = X_q\). Se \(F\) ha
dimensione pura \(\dim X - \dim Y\) e \(d_p \Phi\) è
suriettiva allora \(F\) è non singolare in \(p\),
\(Y\) è non singolare in \(q\) e c'è una successione esatta
\(0 \to T_pF \to T_pX \to T_qY \to 0\). |
48
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10/1
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Il teorema di Bertini: sia \(k\) un campo
algebricamente chiuso di caratteristica zero e sia \(\Phi :
X \to Y\) un morfismo dominante tra due varietà
quasi-proiettive. Se \(X\) è non singolare allora esiste un
aperto non vuoto \(U \subseteq Y\) tale che \(X_q\) è non
singolare per ogni \(q \in U\). |
49
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28/1
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Lezione seminariale: i
divisori di Weil.
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50
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28/1
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Lezione seminariale: i
divisori di Weil. |