GEOMETRIA ALGEBRICA 1
                                                                                                             A.A. 2013/2014
 

                                                                                     DIARIO DELLE LEZIONI

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1/10
Introduzione al corso, importanza e peculiaritÓ della geometria algebrica. Richiami di algebra di polinomi.
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1/10 
Insiemi di zeri di polinomi, proprietÓ. Topologia di Zariski su \(k^n\), \(n\)-spazio affine su un campo \(k\): \({\mathbb A}^n_k\). Prime proprietÓ della topologia di Zariski.
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4/10
I chiusi di \({\mathbb A}^2\) sono il vuoto, \({\mathbb A}^2\) e le unioni finite di punti ed ipersuperficie.
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4/10 Corrispondenza tra ideali di \(k[x_1, \ldots, x_n]\) e chiusi di \({\mathbb A}^n_k\). Ideali radicali. L'ideale associato ad un sottoinsieme di \({\mathbb A}^n_k\). Il teorema degli zeri di Hilbert (solo enunciato) e la corrispondenza biunivoca tra ideali radicali e chiusi.
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8/10
I chiusi di \({\mathbb A}^n_k\) sono Noetheriani e quindi compatti. Chiusi irriducibili, componenti irriducibili. Sia \(X\) chiuso di \({\mathbb A}^n_k\); \(X\) Ŕ irriducibile se e solo se \(I(X)\) Ŕ primo.
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8/10 Esistenza, unicitÓ (a meno dell'ordine) e finitezza della componenti irriducibili di un chiuso di \({\mathbb A}^n_k\). Corrispondenza tra chiusi di \({\mathbb A}^n_k\) e \(k\)-algebre finitamente generate e prive di nilpotenti.
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11/10
Indipendenza algebrica, basi di trascendenza. Ogni insieme di elementi algebricamente indipendenti pu˛ essere completato ad una base di trascendenza. Dimensione di un sottoinsieme chiuso di \({\mathbb A}^n_k\), esempi.
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11/10 Funzioni regolari su un chiuso \(X\) di \({\mathbb A}^n_k\), l'algebra \(k[X]\) delle funzioni regolari su \(X\). Isomorfismo tra \(k[X_1, \ldots, X_n]/I(X)\) e \(k[X]\). Applicazioni regolari (morfismi) tra due insiemi chiusi \(X \subseteq {\mathbb A}^n_k\), \(Y \subseteq {\mathbb A}^m_k\). L'omomorfismo indotto da un morfismo tra due chiusi. Corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei morfismi tra due chiusi e l'insieme degli omomorfismi tra \(k\)-algebre (dimostrazione da completare la prossima volta).
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15/10
Completamento della dimostrazione precedente. Morfismi dominanti.
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15/10
Ogni \(k\)-algebra finitamente generata e priva di nilpotenti Ŕ l'algebra delle funzioni regolari di un unico chiuso affine (a meno di isomorfismo). Un morfismo Ŕ dominante se e solo se l'omomorfismo indotto Ŕ iniettivo. Se l'omomorfismo indotto Ŕ suriettivo allora il morfismo Ŕ iniettivo e l'immagine Ŕ chiusa. In generale non vale il viceversa.
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18/10
Prodotto di due chiusi affini \(X \subseteq {\mathbb A}^n_k, Y \subseteq {\mathbb A}^m_k\). L'isomorfismo \(k[X] \otimes_k k[Y] \cong k[X \times Y]\). 
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18/10
Aperti principali della topologia di Zariski di un chiuso affine. Gli aperti principali sono una base. Le proiezioni \(X \times Y \to X\) e \(X \times Y \to Y\) sono aperte. Estensioni integrali e finitamente generate di anelli. Un'estensione di \(k\)-algebre Ŕ integrale se e solo se Ŕ finitamente generata.
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22/10
Morfismi finiti tra chiusi affini, esempi. I morfismi finiti sono suriettivi, chiusi ed a fibre finite.
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22/10
Polinomi omogenei, ideali omogenei. Spazio proiettivo \(n\)-dimensionale su un campo \(k\): \({\mathbb P}^n_k\). Topologia di Zariski su \({\mathbb P}^n_k\). Chiusi proiettivi, il cono affine su un chiuso proiettivo.
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25/10
Ideali omogenei associati a sottoinsiemi di \({\mathbb P}^n_k\). Corrispondenza biunivoca tra ideali radicali omogenei, diversi dall'ideale irrilevante, e chiusi proiettivi e tra chiusi proiettivi irriducibili ed ideali primi.
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25/10
Identificazione di \({\mathbb A}^n_k\) con gli aperti coordinati di \({\mathbb P}^n_k\). VarietÓ quasi-proiettive, esempi. Ipersuperficie e loro componenti irriducibili. La prossima lezione sarÓ il 5/11 per l'interruzione delle attivitÓ durante la settimana degli esoneri.
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5/11
Funzioni razionali e regolari su una varietÓ quasi-proiettiva \(X\). I corrispondenti anelli \(k(X)\) e \(k[X]\). L'insieme dei punti in cui una funzione razionale Ŕ regolare Ŕ aperto e due funzioni regolari concidono se coincidono su un aperto non vuoto. 
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5/11
Esempi di funzioni razionali. Sia \(k\) algebricamente chiuso, allora \(k({\mathbb P}^n) \cong k(t_1, \ldots, t_n)\) e \(k[{\mathbb P}^n] \cong k\) (dimostrazione da completare la prossima volta).
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8/11
Conclusione della dimostrazione precedente. Sia \(X\) un chiuso affine. L'anello delle funzioni razionali di \(X\) come varietÓ quasi-proiettiva Ŕ lo stesso di quello come chiuso affine. Inoltre una funzione razionale su \(X\) (come varietÓ quasi-proiettiva) Ŕ regolare se e solo se sta nell'anello delle funzioni regolari di \(X\) come chiuso affine.
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8/11
Morfismi ed applicazioni razionali tra varietÓ quasi-proiettive. Applicazioni birazionali. Divagazione sulla classificazione birazionale delle varietÓ e sulla ricerca recente.
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12/11
Morfismi ed applicazioni razionali nel caso dei chiusi affini. L'isomorfismo tra  \(V(x_1^2 + x_2^2 - x_0^2)\) e \({\mathbb P}^1_k\) se \(k\) non ha caratteristica \(2\).
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12/11
L'insieme dei punti in cui un'applicazione razionale Ŕ regolare Ŕ aperto e due applicazioni razionali concidono se coincidono su un aperto non vuoto. Relazione tra morfismi ed applicazioni razionali tra varietÓ quasi-proiettive ed omomorfismi di \(k\)-algebre. La proiezione da \({\mathbb P}^n\) a \({\mathbb P}^{n-1}\).
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15/11
VarietÓ affini e varietÓ proiettive. Esempi di varietÓ affini che non sono chiuse e di varietÓ quasi-proiettive che non sono nÚ affini nÚ proiettive. Una varietÓ quasi-proiettiva Ŕ unione finita di aperti che sono varietÓ affini. 
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15/11
Dimensione di una varietÓ quasi-proiettiva. Prime proprietÓ della dimensione: \(\dim {\mathbb A}^n = \dim {\mathbb P}^n = n\); se \(\phi : X \to Y\) Ŕ un morfismo dominante tra due varietÓ quasi-proiettive irriducibili allora \(\dim X \geq \dim Y\). Supplementi sul grado di trascendenza. Se \(K \subset F \subset L\) sono estensioni di campi e \(trdeg_K L < \infty\) allora \(trdeg_K F < \infty, trdeg_F L < \infty\) e \(trdeg_K L = trdeg_K F + trdeg_F L\).
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19/11
Siano \(X\) un chiuso affine e sia \(f \in k[X]\). Condizione necessaria e sufficente affinchŔ sia \(X_f = X\). Il grado di trascendenza di un dominio. Se \(A\) Ŕ un dominio contenente un campo \(K\) allora \(trdeg_K A = trdeg_K Quoz(A)\).
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19/11
Se \(X\) Ŕ una varietÓ quasi-proiettiva irriducibile e \(Y \subset X\) Ŕ chiuso non vuoto, \(Y \neq X\), allora \(\dim Y < \dim X\). Se \(k\) Ŕ algebricamente chiuso, la dimensione di un'ipersuperficie in \({\mathbb P}^n_k, n\geq 1\), Ŕ \(n-1\).
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22/11
Precisazioni sulla dimostrazione che se \(A\) Ŕ un dominio contenente un campo \(K\), allora \(trdeg_K A = trdeg_K Quoz(A)\). Morfismi genericamente finiti e finiti. Esempio di un morfismo genericamente finito ma non finito.  
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22/11
Sia \(\Phi: X \to Y\) un morfismo dominante tra varietÓ quasi-proiettive irriducibili. Allora \(\Phi\) Ŕ genericamente finito se e solo se esistono due aperti affini non vuoti \(V \subseteq X, W \subseteq Y\) tali che \(\Phi_{|V} : V \to W\)  Ŕ finito se e solo se esiste un aperto non vuoto \(W \subseteq Y\) tale che \(\Phi^{-1}(q)\) Ŕ non vuoto e finito per ogni \(q \in W\).
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26/11
Sia \(\Phi: X \to Y\) un morfismo dominante tra varietÓ quasi-proiettive. Allora \(\Phi(X)\) contiene un aperto non vuoto di \(Y\). VarietÓ razionali. La cubica con cuspide Ŕ razionale.
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26/11
Insiemi costruibili. L'immagine di un morfismo tra varietÓ quasi-proiettive Ŕ costruibile, il teorema di Chevalley. Applicazioni birazionali. Due varietÓ quasi-proiettive irriducibili sono birazionalmente equivalenti se e solo se hanno due aperti densi birazionalmente equivalenti se e solo se hanno due aperti densi isomorfi se e solo se hanno campi di funzioni razionali isomorfi. Il teorema dell'elemento primitivo.
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29/11
Ogni varietÓ quasi-proiettiva irriducibile su un campo di caratteristica zero Ŕ birazionalmente equivalente ad un'ipersuperficie. Curve razionali normali e loro equazioni.
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29/11
Morfismo di Veronese, varietÓ di Veronese e loro equazioni. Il complementare di un'ipersuperficie in \({\mathbb P}^n\) Ŕ una varietÓ affine. Morfismo di Segre e varietÓ di Segre.
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3/12
Ogni varietÓ quasi-proiettiva irriducibile su un campo perfetto Ŕ birazionalmente equivalente ad un'ipersuperficie.
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3/12
Polinomi biomogenei e chiusi in \({\mathbb P}^n \times {\mathbb P}^m\). Il grafico di un morfismo tra varietÓ quasi-proiettive Ŕ chiuso. Idea di dimostrazione del Teorema: se \(\Phi : X \to Y\) Ŕ un morfismo con \(X \subseteq {\mathbb P}^n\) chiusa e \(Y\) varietÓ quasi-proiettiva, allora \(\Phi(X)\) Ŕ chiuso in \(Y\).
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6/12
Proiezioni da chiusi di \({\mathbb P}^n\), proiezioni lineari. Ogni proiezione di grado \(d\) Ŕ composizione di una proiezione lineare con un morfismo di Veronese. La proiezione da un chiuso Ŕ a fibre finite sui chiusi che non intersecano il centro di proiezione. Sia \(k\) un campo algebricamente chiuso. Se \(X \subseteq {\mathbb P}^n_k\) Ŕ un chiuso irriducibile tale che \(\dim X \geq 1\) e \(Y \subset {\mathbb P}^n_k\) Ŕ un'ipersuperficie, allora \(X \cap Y \neq \emptyset\). \({\mathbb P}^2_k\) non Ŕ isomorfo a \({\mathbb P}^1_k \times {\mathbb P}^1_k\). Il risultante \(R_{f,g}\) tra due polinomi \(f, g \in k[t_1, \ldots, t_n, t]\) su un campo \(k\). 
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6/12
Sia \(k\) un campo e siano \(f, g \in k[t_1, \ldots, t_n, t]\) tali che uno dei due coefficenti direttori, rispetto a \(t\), sia in \(k^*\). Se esiste \(q = (p, \beta) \in {\mathbb A}^{n+1}, p \in {\mathbb A}^n, \beta \in k\) tale che \(f(q) = g(q) = 0\) allora \(R_{f,g}(p)=0\). Viceversa per ogni \(p \in {\mathbb A}^n\) tale che \(R_{f,g}(p)=0\), esiste \(q = (p, \beta) \in {\mathbb A}^{n+1}\) tale che \(f(q) = g(q) = 0\). Risultante e proiezioni. Sia \(k\) un campo algebricamente chiuso, \(p \in {\mathbb P}^n\) e sia \(\pi_p: {\mathbb P}^n \dashrightarrow {\mathbb P}^{n-1}\) la proiezione. Se \(V \subset {\mathbb P}^n\) Ŕ un chiuso tale che \(p \not\in V\) allora \(\pi_p(V)\) Ŕ chiuso in \({\mathbb P}^{n-1}\). Prima parte della dimostrazione.
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10/12
Sia \(k\) un campo algebricamente chiuso, \(p \in {\mathbb P}^n\) e sia \(\pi_p: {\mathbb P}^n \dashrightarrow {\mathbb P}^{n-1}\) la proiezione. Se \(V \subset {\mathbb P}^n\) Ŕ un chiuso tale che \(p \not\in V\) allora \(\pi_p(V)\) Ŕ chiuso in \({\mathbb P}^{n-1}\). Seconda parte della dimostrazione. Sia \(Y\) una varietÓ quasi-proiettiva, \(p \in {\mathbb P}^n\) e sia \(\varphi = (Id_Y, \pi_p) : Y \times {\mathbb P}^n \dashrightarrow Y \times {\mathbb P}^{n-1}\). Se \(V \subset Y \times {\mathbb P}^n\) Ŕ un chiuso tale che \(V \cap (Y \times \{p\}) = \emptyset\) allora \(\varphi(V)\) Ŕ chiuso in \(Y \times {\mathbb P}^{n-1}\)
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10/12
Sia \(X \subseteq {\mathbb P}^n\) un chiuso e sia \(Y\) una varietÓ quasi-proiettiva. Allora la proiezione sul primo fattore \(\pi_Y : Y \times X \to X\) Ŕ chiusa. Teorema: sia \(X \subseteq {\mathbb P}^n\) un chiuso e sia \(Y\) una varietÓ quasi-proiettiva. Sia \(\Phi : X \to Y\) un morfismo. Allora \(\Phi(X)\) Ŕ chiuso in \(Y\). 
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13/12
Ogni funzione regolare su una varietÓ proiettiva irriducibile Ŕ costante. Sia \(X \subseteq {\mathbb P}^N\) un chiuso di dimensione pura \(n \geq 1\), siano \(F_1, \ldots, F_c\) polinomi omogenei non costanti e sia \(Y = X \cap V(F_1, \ldots, F_c)\). Allora ogni componente irriducibile di \(Y\) ha dimensione almeno \(n-c\). Inoltre se \(c=1\) ogni componente irriducibile di \(Y\) che non lo Ŕ di \(X\) ha dimensione \(n-1\).
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13/12
Sia \(X \subseteq {\mathbb P}^N\) una varietÓ quasi-proiettiva di dimensione pura \(n \geq 1\) e sia \(Z \subset X\) un chiuso irriducibile non vuoto di codimensione \(c \geq 1\). Allora esistono \(F_1, \ldots, F_c\) polinomi omogenei non costanti tali che \(Z\)  Ŕ una componente irriducibile di \(X \cap V(F_1, \ldots, F_c)\). SemicontinuitÓ superiore della dimensione: siano \(X\) ed \(Y\) due varietÓ quasi-proiettive irriducibili e sia \(\Phi: X \to Y\) un morfismo dominante. Sia \(n = \dim X\), \(m = \dim Y\). Allora (1) per ogni \(q \in \Phi(X)\) ogni componente irriducibile della fibra \(X_q\) ha dimensione almeno \(n-m\); (2) esiste un aperto non vuoto \(U \subseteq Y\) tale che \(X_q\) ha dimensione pura \(n-m\) per ogni \(q \in U\); (3) per ogni \(k \in {\mathbb Z}\), l'insieme \(Y_k = \{q \in Y :  \dim X_q \leq k\}\) Ŕ aperto in \(Y\). In particolare, se \(\Phi\) Ŕ suriettiva, \(\{q \in Y :  \dim X_q =n-m\}\) Ŕ aperto in \(Y\). Dimostrazione delle parti (1) e (2).
41
17/12
Dimostrazione della parte (3). 
42
17/12
L'anello locale \({\cal O}_{X,p}\) di una varietÓ quasi-proiettiva \(X\) in un suo punto \(p\). Sia \(X\) una varietÓ affine, sia \(p \in X\) e sia \(I(p) \subset k[X]\) l'ideale di \(p\). Allora \({\cal O}_{X,p} \cong k[X]_{I(p)}\) e l'omomorfismo naturale \(\lambda_p : k[X] \to k[X]_{I(p)}\) Ŕ iniettivo se e solo se ogni componente irriducibile di \(X\) contiene \(p\). Dimostrazione della prima parte.
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20/12
Dimostrazione della seconda parte. Lo spazio cotangente \(T_p(X)^* := m_p/m_p^2\) di una varietÓ quasi-proiettiva \(X\) in un suo punto \(p\), dove \(m_p\) Ŕ l'ideale massimale di \({\cal O}_{X,p}\). Se \(X \subseteq {\mathbb A}^n\) Ŕ una varietÓ affine e \(p \in X\) allora \(\dim T_p(X)^* \leq n\) e \(I(p)/I(p)^2 \cong m_p/m_p^2\).
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20/12
La parte omogenea di grado \(1\) di un polinomio in un punto. Lo spazio tangente \(T_pX\) ad un chiuso affine \(X\) in un suo punto \(p\). Sia \(X\) una varietÓ affine e sia \(p \in X\). Allora gli spazi tangente e cotangente in \(p\) sono duali. Siano \(X\) ed \(Y\) due varietÓ quasi-proiettive, sia \(\Phi: X \to Y\) un morfismo e siano \(p\in X, q = \Phi(p) \in Y\). Allota esiste un omomorfismo \(d_p\Phi : T_pX \to T_qY\) che Ŕ un isomorfismo se \(\Phi\) lo Ŕ. Punti singolari e non singolari di una varietÓ quasi-proiettiva. La prossime (ultime) due lezioni, per recuperare le lezioni perse all'inizio del semestre, saranno giovedý 9 gennaio, ore 14 e venerdý 10 gennaio ore 11.
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9/1
Sia \(k\) un campo algebricamente chiuso e sia \(X \subset {\mathbb A}^n\) un'ipersuperficie tale che \(I(X)\) Ŕ radicale. Allora, per ogni \(p \in X\), si ha \(\dim T_p(X) \geq n-1\) e l'insieme dei punti non singolari di \(X\) Ŕ un aperto denso in \(X\). Sia \(k\) un campo algebricamente chiuso e sia \(X\) una varietÓ quasi-proiettiva irriducibile. Allora, per ogni \(p \in X\), si ha \(\dim T_p(X) \geq \dim X\) e l'insieme dei punti non singolari di \(X\) Ŕ un aperto non vuoto in \(X\). Sistemi di parametri locali in un punto di una varietÓ quasi-proiettiva.
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9/1
Sia \(X\) una varietÓ quasi-proiettiva irriducibile nonsingolare di dimensione \(n\) su un campo \(k\). Sia \(p \in X\) e siano \(u_1, \ldots, u_n\) un sistema di parametri locali in \(p\). Allora \(u_1, \ldots, u_n\) sono algebricamente indipendenti. Inoltre se \(k\) ha caratteristica zero e \(u_1, \ldots, u_n \in k(X)\) sono algebricamente indipendenti, l'insieme dei punti in cui definiscono un un sistema di parametri locali contiene un aperto non vuoto di \(X\).
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10/1
L'anello locale di una varietÓ quasi-proiettiva in un punto non singolare Ŕ un dominio a fattorizzazione unica. Sia \(X\) una varietÓ quasi-proiettiva. Se \(p \in X\) Ŕ non singolare, allora appartiene ad un'unica componente irriducibile di \(X\). Inoltre l'insieme dei punti singolari di \(X\) Ŕ un chiuso proprio di \(X\). Sia \(k\) un campo algebricamente chiuso e sia \(\Phi : X \to Y\) un morfismo tra due varietÓ quasi-proiettive irriducibili e sia \(p \in X\) non singolare, \(q = \Phi(p)\) e \(F = X_q\). Se \(F\) ha dimensione pura \(\dim X - \dim Y\) e \(d_p \Phi\) Ŕ suriettiva allora \(F\) Ŕ non singolare in \(p\),  \(Y\) Ŕ non singolare in \(q\) e c'Ŕ una successione esatta \(0 \to T_pF \to T_pX \to T_qY \to 0\). 
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10/1
Il teorema di Bertini: sia \(k\) un campo algebricamente chiuso di caratteristica zero e sia \(\Phi : X \to Y\) un morfismo dominante tra due varietÓ quasi-proiettive. Se \(X\) Ŕ non singolare allora esiste un aperto non vuoto \(U \subseteq Y\) tale che \(X_q\) Ŕ non singolare per ogni \(q \in U\).
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28/1
Lezione seminariale: i divisori di Weil.
50
28/1
Lezione seminariale: i divisori di Weil.