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22/9
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Introduzione al corso,
importanza e peculiarità della geometria algebrica. Richiami
di algebra di polinomi. |
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22/9
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Insiemi di zeri di polinomi,
proprietà.
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25/9
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Topologia di Zariski su \(k^n\), \(n\)-spazio
affine su un campo \(k\): \({\mathbb A}^n_k\). Prime
proprietà della topologia di Zariski. |
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25/9 |
I chiusi di \({\mathbb A}^2\) sono il vuoto, \({\mathbb
A}^2\) e le unioni finite di punti ed ipersuperficie. |
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29/9
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Corrispondenza tra ideali
di \(k[x_1, \ldots, x_n]\) e chiusi di \({\mathbb
A}^n_k\). Ideali radicali. L'ideale associato ad un
sottoinsieme di \({\mathbb A}^n_k\). |
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29/9 |
Il teorema degli zeri di
Hilbert (solo enunciato) e la corrispondenza biunivoca
tra ideali radicali e chiusi. I chiusi di
\({\mathbb A}^n_k\) sono noetheriani e quindi compatti.
Chiusi irriducibili. |
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2/10
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Sia \(X\) chiuso di
\({\mathbb A}^n_k\); \(X\) è irriducibile se e solo se
\(I(X)\) è primo. \({\mathbb A}^n_k\) è irriducibile se e
solo se \(k\) è infinito. |
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2/10 |
Componenti irriducibili.
Esistenza, unicità (a meno dell'ordine) e finitezza della
componenti irriducibili di un chiuso di \({\mathbb A}^n_k\).
\(k\)-algebre finitamente generate. |
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6/10
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Corrispondenza tra chiusi di
\({\mathbb A}^n_k\) e \(k\)-algebre finitamente generate e
prive di nilpotenti. Indipendenza algebrica, basi di
trascendenza. |
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6/10
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Ogni insieme di elementi
algebricamente indipendenti può essere completato ad una
base di trascendenza. Dimensione di un sottoinsieme chiuso
di \({\mathbb A}^n_k\), esempi. |
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9/10
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Funzioni regolari su un
chiuso \(X\) di \({\mathbb A}^n_k\), l'algebra \(k[X]\)
delle funzioni regolari su \(X\). Isomorfismo tra \(k[X_1,
\ldots, X_n]/I(X)\) e \(k[X]\). Morfismi
(o applicazioni regolari) tra due insiemi chiusi \(X
\subseteq {\mathbb A}^n_k\), \(Y \subseteq {\mathbb
A}^m_k\). L'omomorfismo indotto da un morfismo tra due
chiusi. |
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9/10
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Corrispondenza
biunivoca tra l'insieme dei morfismi tra due chiusi e
l'insieme degli omomorfismi tra \(k\)-algebre. Due chiusi
affini isomorfi hanno la stessa dimensione. |
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16/10
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Se \(k\) è algebricamente
chiuso, ogni \(k\)-algebra finitamente generata e priva di
nilpotenti è l'algebra delle funzioni regolari di un unico
chiuso affine (a meno di isomorfismo). Morfismi dominanti.
Un morfismo è dominante se e solo se l'omomorfismo indotto è
iniettivo. Se l'omomorfismo indotto è suriettivo e \(k\) è
algebricamente chiuso, allora il morfismo è iniettivo e
l'immagine è chiusa. |
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16/10
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Un esempio di morfismo biiettivo con omomorfismo indotto non
suriettivo (la cubica con cuspide). Prodotto di due chiusi
affini \(X \subseteq {\mathbb A}^n_k, Y \subseteq {\mathbb
A}^m_k\). L'isomorfismo \(k[X] \otimes_k k[Y] \cong k[X
\times Y]\). |
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20/10
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Aperti principali della
topologia di Zariski di un chiuso affine. Gli aperti
principali sono una base. Le proiezioni \(X \times Y \to X\)
e \(X \times Y \to Y\) sono aperte. |
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20/10
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Estensioni integrali e
finitamente generate di anelli. Un'estensione di
\(k\)-algebre è integrale se e solo se è finitamente
generata. Morfismi finiti tra chiusi affini. I morfismi
finiti sono suriettivi, chiusi ed a fibre finite. Un esempio di morfismo finito.
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23/10
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Polinomi omogenei, ideali omogenei.
Spazio proiettivo \(n\)-dimensionale su un campo \(k\):
\({\mathbb P}^n_k\). Topologia di Zariski su \({\mathbb
P}^n_k\). Chiusi proiettivi, il cono affine su un chiuso
proiettivo. |
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23/10
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Ideali omogenei associati a
sottoinsiemi di \({\mathbb P}^n_k\). Corrispondenza
biunivoca tra ideali radicali omogenei, diversi dall'ideale
irrilevante, e chiusi proiettivi e tra chiusi proiettivi
irriducibili ed ideali primi. Identificazione di \({\mathbb
A}^n_k\) con gli aperti coordinati di \({\mathbb P}^n_k\). |
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27/10
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Conclusione della
dimostrazione sull'identificazione di \({\mathbb A}^n_k\)
con gli aperti coordinati di \({\mathbb P}^n_k\).
Ipersuperficie e loro componenti irriducibili. Varietà
quasi-proiettive, esempi. Funzioni regolari su una varietà
quasi-proiettiva \(X\). |
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27/10
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L'insieme dei punti in cui
una funzione è regolare è aperto e due funzioni regolari
concidono se coincidono su un aperto denso. Funzioni
razionali su una varietà quasi-proiettiva \(X\). Esempi di
funzioni regolari e razionali. I corrispondenti anelli
\(k(X)\) e \(k[X]\). |
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30/10
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Sia \(k\) algebricamente
chiuso, allora \(k({\mathbb P}^n) \cong k(t_1, \ldots,
t_n)\) e
\(k[{\mathbb P}^n] \cong k\).
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30/10
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Sia \(X\) un chiuso affine
irriducibile. Il campo delle funzioni razionali di \(X\) è
il campo dei quozienti di \(k[t_1, \ldots, t_n]/I(X)\).
Inoltre una funzione razionale su \(X\), visto come varietà
quasi-proiettiva, è regolare se e solo se lo è su \(X\),
visto come chiuso affine. |
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10/11
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Morfismi ed applicazioni
razionali tra varietà quasi-proiettive, esempi. Applicazioni
birazionali. Morfismi ed applicazioni razionali nel caso dei
chiusi affini.
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10/11
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L'isomorfismo tra
\(V(x_1^2 + x_2^2 - x_0^2)\) e \({\mathbb P}^1_k\) se \(k\)
non ha caratteristica \(2\). L'insieme dei punti in cui
un'applicazione razionale è regolare è aperto. |
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13/11
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Relazione tra morfismi ed
applicazioni razionali tra varietà quasi-proiettive ed
omomorfismi di \(k\)-algebre. La proiezione da \({\mathbb
P}^n\) a \({\mathbb P}^{n-1}\). Varietà affini e varietà
proiettive. Esempi di varietà affini che non sono chiuse e
di varietà quasi-proiettive che non sono né affini né
proiettive. |
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13/11
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Una varietà quasi-proiettiva
è unione finita di aperti che sono varietà affini.
Dimensione di una varietà quasi-proiettiva. Prime proprietà
della dimensione: se \(k\) è algebricamente chiuso allora
\(\dim {\mathbb A}_k^n = \dim {\mathbb P}_k^n = n\); se
\(\phi : X \to Y\) è un morfismo dominante tra due varietà
quasi-proiettive irriducibili allora \(\dim X \geq \dim Y\).
Supplementi sul grado di trascendenza: il grado di
trascendenza di un dominio. Se \(A\) è un dominio contenente
un campo \(K\) tale che \({\rm trdeg}_K Quoz(A) <
\infty\) allora \({\rm trdeg}_K A = {\rm trdeg}_K Quoz(A)\).
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17/11
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Se \(X\) è una varietà
quasi-proiettiva irriducibile e \(Y \subset X\) è chiuso non
vuoto, \(Y \neq X\), allora \(\dim Y < \dim X\). Se
\(k\) è algebricamente chiuso, la dimensione di
un'ipersuperficie in \({\mathbb P}^n_k, n\geq 1\), è
\(n-1\). |
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17/11
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Morfismi genericamente
finiti e finiti. Esempio di un morfismo genericamente finito
ma non finito. Sia \(\Phi: X \to Y\) un morfismo dominante
tra varietà quasi-proiettive irriducibili. Allora \(\Phi\) è
genericamente finito se e solo se esistono due aperti affini
non vuoti \(V \subseteq X, W \subseteq Y\) tali che
\(\Phi_{|V} : V \to W\) è finito se e solo se esiste
un aperto non vuoto \(W \subseteq Y\) tale che
\(\Phi^{-1}(q)\) è non vuoto e finito per ogni \(q \in W\).
Prima parte della dimostrazione. |
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20/11
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Conclusione della
dimostrazione della caratterizzazione dei morfismi
genericamente finiti. |
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20/11
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Sia \(\Phi: X \to Y\) un
morfismo dominante tra varietà quasi-proiettive. Allora
\(\Phi(X)\) contiene un aperto non vuoto di \(Y\). Insiemi
costruibili. L'immagine di un morfismo tra varietà
quasi-proiettive è costruibile, il teorema di Chevalley. |
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24/11
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Applicazioni birazionali. Due
varietà quasi-proiettive irriducibili sono birazionalmente
equivalenti se e solo se hanno due aperti densi
birazionalmente equivalenti se e solo se hanno due aperti
densi isomorfi se e solo se hanno campi di funzioni
razionali isomorfi. Varietà razionali, esempi.
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24/11
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Il teorema dell'elemento
primitivo. Ogni varietà quasi-proiettiva irriducibile su un
campo perfetto è birazionalmente equivalente ad
un'ipersuperficie: inizio della dimostrazione. |
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27/11
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Ogni varietà quasi-proiettiva
irriducibile su un campo perfetto è birazionalmente
equivalente ad un'ipersuperficie: dimostrazione nel caso di
caratteristica zero. |
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27/11
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Ogni varietà quasi-proiettiva
irriducibile su un campo perfetto è birazionalmente
equivalente ad un'ipersuperficie: dimostrazione nel caso di
caratteristica positiva. Curve razionali normali e loro
equazioni. |
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1/12
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Morfismo di Veronese, varietà
di Veronese e loro equazioni. Il complementare di
un'ipersuperficie in \({\mathbb P}^n\) è una varietà affine.
Morfismo di Segre e varietà di Segre. |
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1/12
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Polinomi biomogenei e chiusi
in \({\mathbb P}^n \times {\mathbb P}^m\). Il grafico di un
morfismo tra varietà quasi-proiettive è chiuso. Idea di
dimostrazione del Teorema: sia \(k\) un campo algebricamente
chiuso. Se \(\Phi : X \to Y\) è un morfismo con \(X
\subseteq {\mathbb P}^n\) chiuso e \(Y\) varietà
quasi-proiettiva, allora \(\Phi(X)\) è chiuso in \(Y\). |
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4/12
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Proiezioni da chiusi di
\({\mathbb P}^n\), proiezioni lineari. Ogni proiezione di
grado \(d\) è composizione di una proiezione lineare con un
morfismo di Veronese. La proiezione da un chiuso è a fibre
finite sui chiusi che non intersecano il centro di
proiezione. |
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4/12
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Sia \(k\) un campo
algebricamente chiuso. Se \(X \subseteq {\mathbb P}^n_k\) è
un chiuso irriducibile tale che \(\dim X \geq 1\) e \(Y
\subset {\mathbb P}^n_k\) è un'ipersuperficie, allora \(X
\cap Y \neq \emptyset\). \({\mathbb P}^2_k\) non è isomorfo
a \({\mathbb P}^1_k \times {\mathbb P}^1_k\). Il
risultante \(R_{f,g}\) tra due polinomi \(f, g \in k[t_1,
\ldots, t_n, t]\) su un campo \(k\). Sia \(k\) un campo e
siano \(f, g \in k[t_1, \ldots, t_n, t]\) tali che uno dei
due coefficenti direttori, rispetto a \(t\), sia in \(k^*\).
Se esiste \(q = (p, \beta) \in {\mathbb A}^{n+1}, p \in
{\mathbb A}^n, \beta \in k\) tale che \(f(q) = g(q) = 0\)
allora \(R_{f,g}(p)=0\). Viceversa per ogni \(p \in {\mathbb
A}^n\) tale che \(R_{f,g}(p)=0\), esiste \(q = (p, \beta)
\in {\mathbb A}^{n+1}\) tale che \(f(q) = g(q) = 0\).
Risultante e proiezioni. |
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11/12
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Sia \(k\) un campo
algebricamente chiuso, \(p \in {\mathbb P}^n\) e sia
\(\pi_p: {\mathbb P}^n \dashrightarrow {\mathbb P}^{n-1}\)
la proiezione. Se \(V \subset {\mathbb P}^n\) è un chiuso
tale che \(p \not\in V\) allora \(\pi_p(V)\) è chiuso in
\({\mathbb P}^{n-1}\). |
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11/12
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Sia \(k\) un campo
algebricamente chiuso, sia \(Y\) una varietà
quasi-proiettiva, \(p \in {\mathbb P}^n\) e sia \(\varphi =
(Id_Y, \pi_p) : Y \times {\mathbb P}^n \dashrightarrow Y
\times {\mathbb P}^{n-1}\). Se \(V \subset Y \times {\mathbb
P}^n\) è un chiuso tale che \(V \cap (Y \times \{p\}) =
\emptyset\) allora \(\varphi(V)\) è chiuso in \(Y \times
{\mathbb P}^{n-1}\). Sia \(k\) un campo algebricamente
chiuso, sia \(X \subseteq {\mathbb P}^n\) un chiuso e sia
\(Y\) una varietà quasi-proiettiva. Allora la proiezione sul
primo fattore \(\pi_Y : Y \times X \to Y\) è chiusa. Prima
parte della dimostrazione. |
41
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15/12
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Sia \(k\) un campo
algebricamente chiuso, sia \(X \subseteq {\mathbb P}^n\) un
chiuso e sia \(Y\) una varietà quasi-proiettiva. Allora la
proiezione sul primo fattore \(\pi_Y : Y \times X \to Y\) è
chiusa. Seconda parte della dimostrazione. Ogni funzione
regolare su una varietà proiettiva irriducibile è
costante. |
42
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15/12
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Sia \(X \subseteq {\mathbb P}^N\) un chiuso di dimensione
pura \(n\), siano \(F_1, \ldots, F_c\) polinomi omogenei non
costanti e sia \(Y = X \cap V(F_1, \ldots, F_c)\). Se \(Y
\neq \emptyset\), allora ogni componente irriducibile di
\(Y\) ha dimensione almeno \(n-c\). Inoltre se \(c=1\) ogni
componente irriducibile di \(Y\) che non lo è di \(X\) ha
dimensione \(n-1\). Sia \(X \subseteq {\mathbb P}^N\) una
varietà quasi-proiettiva di dimensione pura \(n \geq 1\) e
sia \(Z \subset X\) un chiuso irriducibile non vuoto di
codimensione \(c \geq 1\). Allora esistono \(F_1, \ldots,
F_c\) polinomi omogenei non costanti tali che \(Z\) è
una componente irriducibile di \(X \cap V(F_1, \ldots,
F_c)\). |
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18/12
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Siano \(k \subseteq F
\subseteq L\) due estensioni di campi tali che \({\rm
trdeg}_k L\) è finito. Allora anche \({\rm trdeg}_k F\) e
\({\rm trdeg}_F L\) sono finiti e \({\rm trdeg}_k L = {\rm
trdeg}_k F + {\rm trdeg}_F L\). Semicontinuità superiore
della dimensione: siano \(X\) ed \(Y\) due varietà
quasi-proiettive irriducibili e sia \(\Phi: X \to Y\) un
morfismo dominante. Sia \(n = \dim X\), \(m = \dim Y\).
Allora (1) per ogni \(q \in \Phi(X)\) ogni componente
irriducibile della fibra \(X_q\) ha dimensione almeno
\(n-m\); (2) esiste un aperto non vuoto \(U \subseteq Y\)
tale che \(X_q\) ha dimensione pura \(n-m\) per ogni \(q \in
U\); (3) per ogni \(k \in {\mathbb Z}\), l'insieme \(Y_k =
\{q \in Y : \dim X_q \leq k\}\) è aperto in \(Y\). In
particolare, se \(\Phi\) è suriettiva, \(\{q \in Y :
\dim X_q =n-m\}\) è aperto in \(Y\). Dimostrazione della
parte (1). |
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18/12 |
Dimostrazione della parte
(2). |
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22/12 |
Dimostrazione della parte
(3). |
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22/12
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Un esempio di applicazione del teorema: la dimensione del
luogo delle curve piane passanti per k punti generali.
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25/2
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Lezione seminariale:
azione di gruppi su chiusi affini. |
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25/2
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Lezione seminariale:
il teorema di Bertini. |
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27/7
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Lezione seminariale:
geometria locale e spazi tangenti. |
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