GEOMETRIA ALGEBRICA 1
                                                                                                             A.A. 2015/2016
 

                                                                                     DIARIO DELLE LEZIONI

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22/9
Introduzione al corso, importanza e peculiarità della geometria algebrica. Richiami di algebra di polinomi.
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22/9 
Insiemi di zeri di polinomi, proprietà.
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25/9
Topologia di Zariski su \(k^n\), \(n\)-spazio affine su un campo \(k\): \({\mathbb A}^n_k\). Prime proprietà della topologia di Zariski.
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25/9 I chiusi di \({\mathbb A}^2\) sono il vuoto, \({\mathbb A}^2\) e le unioni finite di punti ed ipersuperficie.
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29/9
Corrispondenza tra ideali di \(k[x_1, \ldots, x_n]\) e chiusi di \({\mathbb A}^n_k\). Ideali radicali. L'ideale associato ad un sottoinsieme di \({\mathbb A}^n_k\).
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29/9 Il teorema degli zeri di Hilbert (solo enunciato) e la corrispondenza biunivoca tra ideali radicali e chiusi. I chiusi di \({\mathbb A}^n_k\) sono noetheriani e quindi compatti. Chiusi irriducibili.
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2/10
Sia \(X\) chiuso di \({\mathbb A}^n_k\); \(X\) è irriducibile se e solo se \(I(X)\) è primo. \({\mathbb A}^n_k\) è irriducibile se e solo se \(k\) è infinito.
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2/10 Componenti irriducibili. Esistenza, unicità (a meno dell'ordine) e finitezza della componenti irriducibili di un chiuso di \({\mathbb A}^n_k\). \(k\)-algebre finitamente generate.
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6/10
Corrispondenza tra chiusi di \({\mathbb A}^n_k\) e \(k\)-algebre finitamente generate e prive di nilpotenti. Indipendenza algebrica, basi di trascendenza.
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6/10
Ogni insieme di elementi algebricamente indipendenti può essere completato ad una base di trascendenza. Dimensione di un sottoinsieme chiuso di \({\mathbb A}^n_k\), esempi.
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9/10
Funzioni regolari su un chiuso \(X\) di \({\mathbb A}^n_k\), l'algebra \(k[X]\) delle funzioni regolari su \(X\). Isomorfismo tra \(k[X_1, \ldots, X_n]/I(X)\) e \(k[X]\). Morfismi (o applicazioni regolari) tra due insiemi chiusi \(X \subseteq {\mathbb A}^n_k\), \(Y \subseteq {\mathbb A}^m_k\). L'omomorfismo indotto da un morfismo tra due chiusi. 
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9/10
Corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei morfismi tra due chiusi e l'insieme degli omomorfismi tra \(k\)-algebre. Due chiusi affini isomorfi hanno la stessa dimensione.
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16/10
Se \(k\) è algebricamente chiuso, ogni \(k\)-algebra finitamente generata e priva di nilpotenti è l'algebra delle funzioni regolari di un unico chiuso affine (a meno di isomorfismo). Morfismi dominanti. Un morfismo è dominante se e solo se l'omomorfismo indotto è iniettivo. Se l'omomorfismo indotto è suriettivo e \(k\) è algebricamente chiuso, allora il morfismo è iniettivo e l'immagine è chiusa.
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16/10
Un esempio di morfismo biiettivo con omomorfismo indotto non suriettivo (la cubica con cuspide). Prodotto di due chiusi affini \(X \subseteq {\mathbb A}^n_k, Y \subseteq {\mathbb A}^m_k\). L'isomorfismo \(k[X] \otimes_k k[Y] \cong k[X \times Y]\).
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20/10
Aperti principali della topologia di Zariski di un chiuso affine. Gli aperti principali sono una base. Le proiezioni \(X \times Y \to X\) e \(X \times Y \to Y\) sono aperte. 
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20/10
Estensioni integrali e finitamente generate di anelli. Un'estensione di \(k\)-algebre è integrale se e solo se è finitamente generata. Morfismi finiti tra chiusi affini. I morfismi finiti sono suriettivi, chiusi ed a fibre finite. Un esempio di morfismo finito.
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23/10
Polinomi omogenei, ideali omogenei. Spazio proiettivo \(n\)-dimensionale su un campo \(k\): \({\mathbb P}^n_k\). Topologia di Zariski su \({\mathbb P}^n_k\). Chiusi proiettivi, il cono affine su un chiuso proiettivo.
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23/10
Ideali omogenei associati a sottoinsiemi di \({\mathbb P}^n_k\). Corrispondenza biunivoca tra ideali radicali omogenei, diversi dall'ideale irrilevante, e chiusi proiettivi e tra chiusi proiettivi irriducibili ed ideali primi. Identificazione di \({\mathbb A}^n_k\) con gli aperti coordinati di \({\mathbb P}^n_k\).
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27/10
Conclusione della dimostrazione sull'identificazione di \({\mathbb A}^n_k\) con gli aperti coordinati di \({\mathbb P}^n_k\). Ipersuperficie e loro componenti irriducibili. Varietà quasi-proiettive, esempi. Funzioni regolari su una varietà quasi-proiettiva \(X\).
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27/10
L'insieme dei punti in cui una funzione è regolare è aperto e due funzioni regolari concidono se coincidono su un aperto denso. Funzioni razionali su una varietà quasi-proiettiva \(X\). Esempi di funzioni regolari e razionali. I corrispondenti anelli \(k(X)\) e \(k[X]\).  
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30/10
Sia \(k\) algebricamente chiuso, allora \(k({\mathbb P}^n) \cong k(t_1, \ldots, t_n)\) e \(k[{\mathbb P}^n] \cong k\).
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30/10
Sia \(X\) un chiuso affine irriducibile. Il campo delle funzioni razionali di \(X\) è il campo dei quozienti di \(k[t_1, \ldots, t_n]/I(X)\). Inoltre una funzione razionale su \(X\), visto come varietà quasi-proiettiva, è regolare se e solo se lo è su \(X\), visto come chiuso affine.
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10/11
Morfismi ed applicazioni razionali tra varietà quasi-proiettive, esempi. Applicazioni birazionali. Morfismi ed applicazioni razionali nel caso dei chiusi affini.
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10/11
L'isomorfismo tra  \(V(x_1^2 + x_2^2 - x_0^2)\) e \({\mathbb P}^1_k\) se \(k\) non ha caratteristica \(2\). L'insieme dei punti in cui un'applicazione razionale è regolare è aperto.
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13/11
Relazione tra morfismi ed applicazioni razionali tra varietà quasi-proiettive ed omomorfismi di \(k\)-algebre. La proiezione da \({\mathbb P}^n\) a \({\mathbb P}^{n-1}\). Varietà affini e varietà proiettive. Esempi di varietà affini che non sono chiuse e di varietà quasi-proiettive che non sono né affini né proiettive. 
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13/11
Una varietà quasi-proiettiva è unione finita di aperti che sono varietà affini. Dimensione di una varietà quasi-proiettiva. Prime proprietà della dimensione: se \(k\) è algebricamente chiuso allora \(\dim {\mathbb A}_k^n = \dim {\mathbb P}_k^n = n\); se \(\phi : X \to Y\) è un morfismo dominante tra due varietà quasi-proiettive irriducibili allora \(\dim X \geq \dim Y\). Supplementi sul grado di trascendenza: il grado di trascendenza di un dominio. Se \(A\) è un dominio contenente un campo \(K\) tale che \({\rm trdeg}_K Quoz(A) < \infty\) allora \({\rm trdeg}_K A = {\rm trdeg}_K Quoz(A)\).
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17/11
Se \(X\) è una varietà quasi-proiettiva irriducibile e \(Y \subset X\) è chiuso non vuoto, \(Y \neq X\), allora \(\dim Y < \dim X\).  Se \(k\) è algebricamente chiuso, la dimensione di un'ipersuperficie in \({\mathbb P}^n_k, n\geq 1\), è \(n-1\). 
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17/11
Morfismi genericamente finiti e finiti. Esempio di un morfismo genericamente finito ma non finito. Sia \(\Phi: X \to Y\) un morfismo dominante tra varietà quasi-proiettive irriducibili. Allora \(\Phi\) è genericamente finito se e solo se esistono due aperti affini non vuoti \(V \subseteq X, W \subseteq Y\) tali che \(\Phi_{|V} : V \to W\)  è finito se e solo se esiste un aperto non vuoto \(W \subseteq Y\) tale che \(\Phi^{-1}(q)\) è non vuoto e finito per ogni \(q \in W\). Prima parte della dimostrazione.
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20/11
Conclusione della dimostrazione della caratterizzazione dei morfismi genericamente finiti.
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20/11
Sia \(\Phi: X \to Y\) un morfismo dominante tra varietà quasi-proiettive. Allora \(\Phi(X)\) contiene un aperto non vuoto di \(Y\). Insiemi costruibili. L'immagine di un morfismo tra varietà quasi-proiettive è costruibile, il teorema di Chevalley.
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24/11
Applicazioni birazionali. Due varietà quasi-proiettive irriducibili sono birazionalmente equivalenti se e solo se hanno due aperti densi birazionalmente equivalenti se e solo se hanno due aperti densi isomorfi se e solo se hanno campi di funzioni razionali isomorfi. Varietà razionali, esempi.
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24/11
Il teorema dell'elemento primitivo. Ogni varietà quasi-proiettiva irriducibile su un campo perfetto è birazionalmente equivalente ad un'ipersuperficie: inizio della dimostrazione.
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27/11
Ogni varietà quasi-proiettiva irriducibile su un campo perfetto è birazionalmente equivalente ad un'ipersuperficie: dimostrazione nel caso di caratteristica zero.
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27/11
Ogni varietà quasi-proiettiva irriducibile su un campo perfetto è birazionalmente equivalente ad un'ipersuperficie: dimostrazione nel caso di caratteristica positiva. Curve razionali normali e loro equazioni.
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1/12
Morfismo di Veronese, varietà di Veronese e loro equazioni. Il complementare di un'ipersuperficie in \({\mathbb P}^n\) è una varietà affine. Morfismo di Segre e varietà di Segre.
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1/12
Polinomi biomogenei e chiusi in \({\mathbb P}^n \times {\mathbb P}^m\). Il grafico di un morfismo tra varietà quasi-proiettive è chiuso. Idea di dimostrazione del Teorema: sia \(k\) un campo algebricamente chiuso. Se \(\Phi : X \to Y\) è un morfismo con \(X \subseteq {\mathbb P}^n\) chiuso e \(Y\) varietà quasi-proiettiva, allora \(\Phi(X)\) è chiuso in \(Y\).
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4/12
Proiezioni da chiusi di \({\mathbb P}^n\), proiezioni lineari. Ogni proiezione di grado \(d\) è composizione di una proiezione lineare con un morfismo di Veronese. La proiezione da un chiuso è a fibre finite sui chiusi che non intersecano il centro di proiezione. 
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4/12
Sia \(k\) un campo algebricamente chiuso. Se \(X \subseteq {\mathbb P}^n_k\) è un chiuso irriducibile tale che \(\dim X \geq 1\) e \(Y \subset {\mathbb P}^n_k\) è un'ipersuperficie, allora \(X \cap Y \neq \emptyset\). \({\mathbb P}^2_k\) non è isomorfo a \({\mathbb P}^1_k \times {\mathbb P}^1_k\).  Il risultante \(R_{f,g}\) tra due polinomi \(f, g \in k[t_1, \ldots, t_n, t]\) su un campo \(k\). Sia \(k\) un campo e siano \(f, g \in k[t_1, \ldots, t_n, t]\) tali che uno dei due coefficenti direttori, rispetto a \(t\), sia in \(k^*\). Se esiste \(q = (p, \beta) \in {\mathbb A}^{n+1}, p \in {\mathbb A}^n, \beta \in k\) tale che \(f(q) = g(q) = 0\) allora \(R_{f,g}(p)=0\). Viceversa per ogni \(p \in {\mathbb A}^n\) tale che \(R_{f,g}(p)=0\), esiste \(q = (p, \beta) \in {\mathbb A}^{n+1}\) tale che \(f(q) = g(q) = 0\). Risultante e proiezioni.
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11/12
Sia \(k\) un campo algebricamente chiuso, \(p \in {\mathbb P}^n\) e sia \(\pi_p: {\mathbb P}^n \dashrightarrow {\mathbb P}^{n-1}\) la proiezione. Se \(V \subset {\mathbb P}^n\) è un chiuso tale che \(p \not\in V\) allora \(\pi_p(V)\) è chiuso in \({\mathbb P}^{n-1}\).
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11/12
Sia \(k\) un campo algebricamente chiuso, sia \(Y\) una varietà quasi-proiettiva, \(p \in {\mathbb P}^n\) e sia \(\varphi = (Id_Y, \pi_p) : Y \times {\mathbb P}^n \dashrightarrow Y \times {\mathbb P}^{n-1}\). Se \(V \subset Y \times {\mathbb P}^n\) è un chiuso tale che \(V \cap (Y \times \{p\}) = \emptyset\) allora \(\varphi(V)\) è chiuso in \(Y \times {\mathbb P}^{n-1}\). Sia \(k\) un campo algebricamente chiuso, sia \(X \subseteq {\mathbb P}^n\) un chiuso e sia \(Y\) una varietà quasi-proiettiva. Allora la proiezione sul primo fattore \(\pi_Y : Y \times X \to Y\) è chiusa. Prima parte della dimostrazione.
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15/12
Sia \(k\) un campo algebricamente chiuso, sia \(X \subseteq {\mathbb P}^n\) un chiuso e sia \(Y\) una varietà quasi-proiettiva. Allora la proiezione sul primo fattore \(\pi_Y : Y \times X \to Y\) è chiusa. Seconda parte della dimostrazione. Ogni funzione regolare su una varietà proiettiva irriducibile è costante. 
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15/12 Sia \(X \subseteq {\mathbb P}^N\) un chiuso di dimensione pura \(n\), siano \(F_1, \ldots, F_c\) polinomi omogenei non costanti e sia \(Y = X \cap V(F_1, \ldots, F_c)\). Se \(Y \neq \emptyset\), allora ogni componente irriducibile di \(Y\) ha dimensione almeno \(n-c\). Inoltre se \(c=1\) ogni componente irriducibile di \(Y\) che non lo è di \(X\) ha dimensione \(n-1\). Sia \(X \subseteq {\mathbb P}^N\) una varietà quasi-proiettiva di dimensione pura \(n \geq 1\) e sia \(Z \subset X\) un chiuso irriducibile non vuoto di codimensione \(c \geq 1\). Allora esistono \(F_1, \ldots, F_c\) polinomi omogenei non costanti tali che \(Z\)  è una componente irriducibile di \(X \cap V(F_1, \ldots, F_c)\).
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18/12
Siano \(k \subseteq F \subseteq L\) due estensioni di campi tali che \({\rm trdeg}_k L\) è finito. Allora anche \({\rm trdeg}_k F\) e \({\rm trdeg}_F L\) sono finiti e \({\rm trdeg}_k L = {\rm trdeg}_k F + {\rm trdeg}_F L\). Semicontinuità superiore della dimensione: siano \(X\) ed \(Y\) due varietà quasi-proiettive irriducibili e sia \(\Phi: X \to Y\) un morfismo dominante. Sia \(n = \dim X\), \(m = \dim Y\). Allora (1) per ogni \(q \in \Phi(X)\) ogni componente irriducibile della fibra \(X_q\) ha dimensione almeno \(n-m\); (2) esiste un aperto non vuoto \(U \subseteq Y\) tale che \(X_q\) ha dimensione pura \(n-m\) per ogni \(q \in U\); (3) per ogni \(k \in {\mathbb Z}\), l'insieme \(Y_k = \{q \in Y :  \dim X_q \leq k\}\) è aperto in \(Y\). In particolare, se \(\Phi\) è suriettiva, \(\{q \in Y :  \dim X_q =n-m\}\) è aperto in \(Y\). Dimostrazione della parte (1).
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18/12 Dimostrazione della parte (2).
45
22/12 Dimostrazione della parte (3).
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22/12 Un esempio di applicazione del teorema: la dimensione del luogo delle curve piane passanti per k punti generali.
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25/2
Lezione seminariale: azione di gruppi su chiusi affini.
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25/2 Lezione seminariale: il teorema di Bertini.
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27/7
Lezione seminariale: geometria locale e spazi tangenti.