IL TEOREMA DEL CONO                        CONTRAZIONI DI RAGGI ESTREMALI          IL TEOREMA DI RAZIONALITÀ

   GEOMETRIA BIRAZIONALE DELLE VARIETÀ ALGEBRICHE
                            Dottorato di Ricerca in Matematica
                              Università degli Studi Roma Tre
                                            A.A. 2016/2017

                                        CORSO DI LETTURE  

Docente: Angelo Felice Lopez

ORGANIZZAZIONE DEL CORSO: si tratta di un corso di letture, quindi nel quale gli studenti leggono degli argomenti e li raccontano di volta in volta. Non è necessario aver compreso tutto, anzi le lezioni saranno di tipo interattivo, durante le quali si introdurranno esempi, idee, suggerimenti di possibili generalizzazioni e ovviamente tutte le spiegazioni necessarie per chiarire gli argomenti.

INIZIO DEL CORSO: mercoledì 7 dicembre 2016.

ORARIO: una volta a settimana, di norma il martedì alle 14 (ma giorno ed orario sono da concordarsi volta per volta).


DESCRIZIONE GENERALE

Uno dei più grandi successi della scuola di geometria algebrica Italiana dell'inizio del secolo scorso è stata la classificazione delle superficie. Solo dopo 60 anni, grazie alle idee di molti matematici, tra cui V. Shokurov, M. Reid, Y. Kawamata, J. Kollár ma soprattutto la Medaglia Field Shigefumi Mori, è stato pensato uno schema di classificazione (birazionale) per le varietà algebriche di dimensione qualsiasi. Pur non essendo ancora terminato, tale schema è ormai da considerarsi classico e parte del bagaglio necessario di ogni geometra algebrico.
Nel corso verranno sudiati i tre teoremi principali della teoria: il teorema di semiampiezza, il teorema del cono ed il teorema di razionalità. È grazie a questi teoremi che risulta possibile arrivare ad un modello birazionale più semplice possibile per ogni varietà (al momento di tipo generale o di dimensione 3 - congetturalmente sempre), il modello minimale o la fibrazione di Mori, generalizzando così, in dimensione qualsiasi, i risultati raggiunti dalla scuola di geometria algebrica Italiana per le superficie.


PROGRAMMA DI MASSIMA

Preliminari: geometria convessa, divisori ed 1-cicli, teoria dell'intersezione, il cono delle curve, divisori ampi, il criterio di Nakai-Moishezon, il teorema di Kleiman, divisori nef.

Gli strumenti principali: singolarità di coppie, ideali moltiplicatori,  il teorema di annullamento di Kawamata-Viehweg.

I teoremi principali: il Teorema di Non Annullamento (Nonvanishing Theorem), il Teorema di Semiampiezza (Base-Point-Free Theorem), il Teorema di Razionalità (Rationality Theorem), il Teorema del Cono (Cone Theorem). Contrazioni di raggi estremali, esempi. Esistenza dei flip, i modelli minimali.

(tempo permettendo) Gli sviluppi recenti: i risultati di Birkar-Cascini-Hacon-McKernan e di Corti-Cascini-Lazic.

TESTI CONSIGLIATI:

Il testo principale che verrà utilizzato è:

* O. Debarre, Higher-dimensional Algebraic Geometry. Springer 2001.

Errata Corrige

Altri testi:

*  J. Kollár, S. Mori, Birational Geometry of Algebraic Varieties. Cambridge University Press 1998.

* K. Matsuki, Introduction to the Mori Program. Springer 2002.

* R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis. Princeton University Press 1997.