Corso AC310 (Analisi complessa) - a.a. 2017/2018

DIARIO delle LEZIONI

• 1 (28/02/18).  Richiami di numeri complessi: proprieta' algebriche e topologiche. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi: coordinate polari e l'esponenziale complessa.
• 2 (06/03/18). Funzioni complesse a variabile complessa: continuita' e proprieta', differenziabilita' e prime proprieta'. Funzione olomorfe: proprieta' e esempi di funzioni olomorfe e non olomorfe.Equazioni di Cauchy-Riemann. Le parte reali e immaginarie di funzione olomorfe sono armoniche conniugate.
• 3 (08/03/18). Equazioni di Cauchy-Riemann: dimostrazione. Esempi. Sucessioni e serie complesse. Proprieta'. Serie di potenze a valori complessi. Il teorema di Abel e la formula di Hadamard.
• 4 (13/03/18). Dimostrazione del Teorema di Abel. Formula di Taylor per serie di potenze complesse. L'esponenziale e le funzioni trigonometriche come funzioni analitiche. Proprieta' basiche.
• 5 (14/03/18). Periodicita'  della funzione esponenziale complessa. Il logaritmo complesso: prime considerazioni. L'annello delle serie di potenze formali a coefficienti complessi: proprieta' basiche. Funzioni analitiche: definizione e prime proprieta'. 
• 6 (15/03/18). Serie di potenze convergenti sono analitiche all'interno della regione di convergenza. Composizione di funzioni analitiche. Teorema della funzione inversa. 
• 7 (20/03/18). Inversa per composizione di una serie formale e la sua convergenza. Potenze complesse e proprieta'. La serie binomiale e proprieta'. Conseguenze del teorema dell'inversa: la forma canonica di una funzione analitica.
• 8 (22/03/18). Proprieta' locali di funzione analitiche: teorema della funzione aperta, criterio di invertibilita', principio del massimo modulo locale. Il teorema fondamentale dell'algebra. Curve parametrizzate. Una funzione olomorfa con derivata nulla e' costante.
• 9 (27/03/18). Il luogo degli zeri di una funzione analitica non costante e' discreto. Acceni a continuazione analitica di funzione definite su aperti connessi. Principio del massimo modulo globale. Integrali in cammini: definizione e prime proprieta'. Esempi.
• 10 (28/03/18). Una funzione continua ammette in un aperto connesso ammette una primitiva se e solo se il suo l'integrale lungo una curva chiusa si annulla. Integrazioni di serie di funzioni uniformemente convergenti. Esempi. Primitiva locale di una funzione olomorfa.
• 11 (29/03/18). Primitiva locale di una funzione olomorfa. Il teorema di Goursat. Integrale di una funzione olomorfa lungo un cammino continuo.
• 12 (17/04/18). La forma omotopica del Teorema di Cauchy. Primitiva globale di una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso. Applicazioni allo studio del logaritmo.
• 13 (18/04/18). La formula integrale di Cauchy. Formula di Cauchy per lo svilupo in serie e applicazioni: una funzione olomorfa e' analitica; il teorema di Liouville e il teorema fondamentalle dell'algebra.
• 14 (19/04/18). Formula integrale per le derivate. Il numero di avvolgimenti di una curva rispetto a un punto. Curve omologhe a 0. La formula globale di Cauchy.
• 15 (24/04/18). Dimostrazione della formula globale di Cauchy. Esempi.
  
• 16 (26/04/18). Il primo gruppo di omologia di un aperto di C con valori negli interi. La formula di Cauchy per l'invarianza omologica. Esempi. 
• 17 (03/05/18). Applicazioni del teorema di Cauchy: limite uniforme su compatti di funzione olomorfe e' olomorfo. Esempi. Serie di Laurent.
• 18 (08/05/18). Svilupo di una funzione olomorfa in una corona circolare in serie di Laurent. Singolarita' isolate e il campo delle funzione meromorfe. Esempi. Enunciato del teorema di classificazione delle singolarita' isolate e del teorema dei residui: versioni locale e globale.
  
• 19 (15/07/18). Dimostrazione del teorema di classificazione delle singolarita' isolate e dimostrazione del teorema dei residui. La derivata logaritmica e il principio dell'argomento. Calcolo dei residui.
  
• 20 (16/05/18). Classificazione degli aperti connessi di C. Il teorema della mappa di Riemann e il teorema di uniformizzazione (senza dimostrazione). La sfera di Riemann come compattificazione del piano complesso. Il gruppo delle trasformazioni lineari della retta proiettiva e le trasformazione lineare fratte da loro indotte. Il gruppo degli automorfismi del piano complesso.
  
• 21 (17/05/18). Il lemma di Schwarz e il gruppo degli automorfismi del disco unitario. Elementi di funzioni e funzione analitiche globali. Il logaritmo come funzione analitica globale.
• 22 (22/05/18). La radicie n-esima come funzione analitica globale. Il fascio dei germi di funzioni analitiche e sue proprieta'. La superficie di Riemann associata a una funzione analitica globale.
• 23 (24/05/18). Esempi e proprietà di superficidi Riemann. La superficie di Riemann associata ad una funzione algebrica e proprietà. Riassunto e considerazioni sul programma del corso.