Corso AC310 (Analisi complessa) - a.a. 2024/2025

DIARIO delle LEZIONI e delle ESERCITAZIONI

• 1 (25/02/25).  Ceni storici sulla scoperta dei numeri complessi. Richiami di numeri complessi: proprieta' algebriche e topologiche. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi: coordinate polari e l'esponenziale complessa.

• 2 (26/02/25). Funzioni complesse a variabile complessa.  Continuità: proprietà e esempi. Differenziabilità: definizione e prime proprietà. Funzione olomorfe: proprietà e esempi di funzioni olomorfe e non olomorfe. Una funzione olomorfa soddisfa le equazioni di Cauchy-Riemann. Caratterizzazione di differenziabilità attraverso le equazioni di Cauchy-Riemann.
• 3 (28/02/25). Caratterizzazione di differenziabilità attraverso le equazioni di Cauchy-Riemann. Funzioni armoniche e funzioni olomorfe associate. Esercitazione 1: Numeri complessi: aritmetica, forma polare, potenze e radici. 
• 4 (04/03/25). L’estensione del piano complesso e la sua interpretazione geometrica tramite la proiezione stereografia: sfera di Riemann. Funzioni complesse: polinomi e funzioni razionali. Il teorema di Lucas. Zeri e poli di funzioni razionali nell’estensione del piano complesso. Esercizi dell’esercitazione 1.
• 5 (05/03/25).  L'algebra delle serie di potenze formali con coefficienti in C.  Definizione,  aritmetica e proprietà.  Inverse moltiplicative e composizione di serie di potenze. Introduzione del campo delle serie formali di Laurent come il suo campo dei quozienti. Successione e serie complesse convergenti. Successioni e serie di funzioni complesse convergenti: convergenza assoluta e uniforme e successioni di funzioni di Cauchy. Serie di potenze complesse e raggio di convergenza: enunciato del Teorema di Abel.
• 6 (11/03/25).  Serie di potenze complesse convergenti: raggio di convergenza e la formula di Hadamard. 
• 7 (12/03/25). La funzione somma di una serie di potenze è differenziabile. La formula di Taylor per i coefficienti dello sviluppo in serie. Esempi sul calcolo del raggio di convergenza. Esercizi del secondo foglio di esercitazioni.
• 8. (14/03/25). Relazione tra serie formali e serie di potenze convergenti: somme e prodotti di serie convergenti sono convergenti. Unicità di sviluppo in serie di potenze. Esempi: funzioni esponenziali e binomiale. 
• 9. (18/03/25). Relazione tra serie formali e serie di potenze convergenti: inverse e composte di serie convergenti sono convergenti.  Funzioni analitiche, definizione e prime proprietà. Esempi.
• 10. (19/03/25). Primitive locali di funzioni analitiche. La funzione logaritmo e esponenziali complesse con base generica. Risoluzione degli esercizi del foglio 3.
• 11. (21/03/25).  Proprietà geometriche locali delle funzioni analitiche. Il teorema della funzione inversa e della funzione aperta. Risoluzione di esercizi.
• 12. (25/03/25). Funzioni analitiche, definizione e prime proprietà. Differenziabilità di funzione analitiche, primitive locali di funzioni analitiche e la funzione logaritmo.  Proprietà geometriche locali delle funzioni analitiche. Il teorema della funzione inversa. 
• 13. (26/03/25). Il teorema della funzione aperta e il principio del massimo modulo locale. Una dimostrazione del teorema fondamentale dell'Algebra usando il teorema del massimo modulo locale. Risoluzione di esercizi della esercitazione 3.
• 14. (28/03/25). Funzioni olomorfe e analitiche in aperti connessi. Zeri di una funzione analitica e il principio del Massimo Modulo Globale. Esempi e esercizi.
• 15. (04/04/25). Integrali lungo cammini e il teorema di esistenza di una primitiva per una funzione analitica. Esempi.
• 16. (08/04/25). Il teorema di Goursat e esistenza di una primitiva locale per una funzione olomorfa.
• 17. (09/04/25). Integrazione di funzioni olomorfe lungo cammini continui. La forma omotopica del teorema di Cauchy.
• 18. (11/04/25). Primitiva globale di una funzione olomorfa e un'aperto semplicemente connesso e definizione del logaritmo in aperti semplicemente connessi che non contengono l'origine. Esercizi.
• 19. (29/04/25).   Formula integrale (o locale di Cauchy) e le sue conseguenze. Formula di Cauchy per lo sviluppo in serie. Una funzione olomorfa è analitica. Teorema di Liouville.
• 20. (30/04/25). Il Teorema Fondamentale dell'Algebra come conseguenza del teorema di Liouville. Formula globale di Cauchy (solo enunciato) e la nozione di curva omologa a zero. 
• 21, 22. (02/05/25) Dimostrazione della formula globale di Cauchy.  Risoluzione di esercizi.
• 23. (06/05/25). Il teorema di Cauchy. Definizione del primo gruppo di omologia.
• 24. (07/05/25). Applicazioni del teorema di Cauchy: funzioni olomorfe e convergenza sui compatti.
• 25. (09/05/25). Serie di Laurent: proprietà e esempi. Funzioni olomorfe in corone circolari e il loro sviluppo in serie di Laurent. Esercizi.
• 26. (13/05/25). Classificazione delle singolarità isolate e la nozione di funzione meromorfa.
• 27. (16/05/25). Residuo di una funzione in una singolarità isolata. Risoluzione di esercizi.
• 28. (20/05/25). Teorema dei Residui: versione locale e globale. Esempi.
• 29. (21/05/25). Il principio dell'argomento e il Teorema di Rouché e applicazioni.
• 30. (23/05/25). Calculo di integrali indefiniti usando il Teorema dei Residui. Esempi. Risoluzione di esercizi
• 31. (27/05/25). Calcolo di integrali indefiniti usando il Teorema dei Residui. Esempi. Risoluzione di esercizi.
• 32. (28/05/25).  La sfera di Riemann come estenzione del piano complesso e studio delle funzioni meroforme sulla sfera. Trasformazioni lineare fratte nella sfera di Riemann e in C: definizioni e proprietà.  
• 33. (30/05/25). Classificazione degli aperti connessi di C a meno di biolomorfismi.  Classificazione degli aperti connessi di C. Il teorema della mappa di Riemann e il teorema di uniformizzazione (senza dimostrazione).
• 34. (03/06/25). Classificazione degli automorfismi di C e del disco unitario usando l'azione di PGL2(C) sulla sfera di Riemann. Il lemma di Schwarz e il gruppo degli automorfismi del disco unitario. Elementi di funzioni e funzione analitiche globali. 
• 35. (04/06/25). Elementi di funzioni e funzione analitiche globali. Esempi: Il logaritmo e la radicie n-esima come funzione analitica globale. 
• 36. (06/06/25). Il fascio dei germi di funzioni analitiche e sue proprieta'. La superficie di Riemann associata a una funzione analitica globale. Esempi e proprietà di superfici di Riemann.