GE220- Topologia - a.a. 2016/2017        

                                                      DIARIO DELLE LEZIONI 



1. 28/02 Spazi topologici. Esempi e prime proprietà. Spazi metrici e applicazioni continue. Esempi. Lo spazio topologico associato ad uno spazio metrico.

2. 02/03 Spazi metrizzabili e no, spazi metrici topologicamente equivalenti. Chiusi di uno spazio topologico e operatori di chiusura, intorno e frontiera di un sottoinsieme di uno spazio topologico.

3. 07/03 Proprietà e esempi di chiusure, interni e frontiere di sottoiensiemi di uno spazio topologico. Punti limite e derivato di un sottoinsieme di uno spazio topologico. Basi per una topologia. Caratterizzazione di una base.

4. 09/03 Sottobasi per una topologia. Spazi topologici separabili. Basi fondamentali di intorni per un punto e assiome di numerabilità. Limite di una sucessione. Continuità di applicazioni tra spazi topologici.

5. 14/03 Esempi di applicazioni continue. Applicazione aperte e chiuse. Omeoformismi tra spazi topologici. Esempi di spazi omeomorfi e no. La topologia prodotto.

6. 16/03 Esempi e proprietà di topologie prodotto. La topologia prodotto su collezioni infinite di spazi topologici. La topologia quoziente. Esempi di identificazioni.

7. 21/03 La topologia quoziente: ancora esempi e caratterizzazione tramite aperti saturi. Spazi di Hausdorff o T2: definizione, esempi e prime proprietà.

8. 23/03 Proprietà di spazi di Hausdorff. Spazi T0 e T1: esempi e proprietà. Spazi regolari e normali.

9. 28/03 Spazi normali. Il lemma di Uryshon e il teorema dell'estensione di Tietze.

10. 30/03  Spazi di Lindelöf: definizioni, proprietà e esempi. Spazi compatti: definizione, esempi e prime proprietà. Compatti in spazi di Hausdorff.

11. 04/04 Applicazioni continue e compatezza. Il teorema di Heine-Borel e sottospazi compatti di R. Esercizi di revisione.

12. 06/04 Primo esonero.

13. 20/04 Teorema di Tychonoff. Generalizzazioni di compatezza: spazi localmente compatti, paracompatti, numerabilmente compatti e compatti per sucessioni.

14. 27/04 Equivalenza tra spazi metrici compatti e completi e totalmenti limitati. Compattificazione di Alexandroff e di Stone-Cech.

15. 02/05 Compattificazione di Stone-Cech: esistenza e proprietà. Spazi connessi: definizione e prime proprietà.

16. 04/05 Proprietà di spazi connessi e applicazioni, componente connesse e connessione per archi.

17. 10/05 Componenti connesse per archi e proprietà. Omotopia di mappe.

18. 11/05 Equivalenza omotopica, esempi. Gruppo fondamentale.

19. 16/05 Proprietà funtoriali del gruppo fondamentale. Accenni su Teoria delle Categorie.

20. 18/05 Proprietà del gruppo fondamentale: invarianza per componenti connesse per archi e banalità del gruppo fondamentale di spazi contraibili. Il gruppo fondamentale di S^1 è isomorfo a Z.

20. 23/05 Rivestimenti. Teorema del sollevamento delle omotopie e alcune conseguenze. Morfismo indotto da un rivestimento nei gruppo fondamentali.

21. 25/05 Rivestimenti e gruppo fondamentale. Monodromia. Corrispondenza tra sottogruppi del gruppo fondamentale e classi di isomorfismo di rivestimenti.