GE220- Topologia - a.a. 2018/2019       

                                                      DIARIO DELLE LEZIONI 



1. 26/02 Introduzione al corso. Spazi topologici. Esempi e prime proprietà. Chiusi di uno spazio topologico.

2. 28/02 Esempi di topologie: topologia indotta, topologia cofinita. Operatori di chiusura, interno e frontiera. Proprietà e esempi.

3. 05/03  Intorni e sistemi di intorni in un punto di uno spazio topologico, base per una topologia. Esempi. Proprieta' di punti  frontiera. Punti limiti o di accumulazione: definizione e proprietà.

4. 07/03 Applicazione continue. Definizione, proprietà e esempi. Omeomorfismi, applicazione aperte e chiuse. Esempi.

5. 12/03 Applicazioni continue e topologia di sottospazio: sottospazi discreti, immersioni e proprietà. Spazi metrici. Definizione e esempi. Topologia indotta da una metrica.

6. 14/03 Applicazione continue su spazi metrici, metrizzabilità, equivalenza di metriche. Il prodotto di spazi topologici. Base per il prodotto e prime proprietà.

7. 19/03 Prodotti topologici: proprietà e esempi. Prodotti infiniti di spazi topologici. Identificazioni e topologia quoziente: definizione e caratterizzazione in termine di aperti saturi.

8. 21/03 Quozienti topologici: proprietà e esempi come il toro, il nastro di Moebius, la bottiglia di Klein e lo spazio proiettivo reale. Spazi di Hausdorff: definizione e alcune proprietà e esempi.

9. 26/03 Proprietà di separazione: spazi T0, T1, T2, T3, T4, regolari e normali. Definizioni, esempi e proprietà. Assiome di numerabilità: spazi separabili, primo numerabili (o N1) e a base numerabile (o N2). Proprietà e esempi.

10. 28/03 Esempi di spazi Hausdorff e non regolari e regolari e non normali. Spazi metrici separabili sono N2. Sucessioni e convergenza in spazi topologici: proprietà e esempi. Ricoprimenti e spazi di Lindelof: definizione e prime proprietà.

11. 02/04 Sucessioni in spazi topologici. Unicità dei limiti in spazi di Hausdorff. Spazi di Lindelof regolari sono normali. Esempi. Compattezza: definizione e proprietà. Spazi di Hausforff compatti e sottospazi di compatti, immagine continua di un compatto è un compatto. Esempi.

12. 03/04 Cardinalità: insiemi numerabili e non numerabili. L'insieme delle parte di un dato insieme ha sempre cardinalità superiore.  Uno spazio separabile che contiene un chiuso discreto non numerabile non è normale.

13. 04/04  Uno spazio compatto di Hausdorff senza punti isolati non è numerabile. Teorema di Heine-Borel. Un sottoiensieme di R^n con la topologia Euclidea è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Dimostrazione del lemma di Uryshon  e parte della dimostrazione del teorema dell'estenzione di Tietze.

14. 16/04 Conclusione della dimostrazione de Teorema di Tietze. Spazi compatti per sucessioni e numerabilmente compatti. Sucessioni di Cauchy e spazi completi.

15. 24/04 Il prodotto di due compatti è compatto. Prebasi e il teorema di Alexander. Dimostrazione del teorema di Tychonoff: il prodotto di una famiglia di compatti è compatto.

16. 30/04 Compatezza e completezza in spazi metrici. Uno spazio metrico e' compatto se e solo se è compatto per sucessioni se e solo se è completo e totalmente limitato. Spazi localmente compatti, che ammettono esaustioni in compatti e paracompatti. Proprietà e esempi.

17. 02/05 Spazi di Hausdorff che ammettono esaustioni in compatti sono paracompatti. Connessione: definizione, proprietà e esempi.

18. 03/05 Decomposizione di uno spazio topologico in componenti connesse. Il prodotto di una famiglia arbitraria di connessi è connesso. Spazi connessi per archi. Definizioni, esempi e proprietà.

19. 16/05  Spazi localmente connessi e localmente connessi per archi; componenti connesse per archi. Esempi. Il funtore delle componenti connesse per archi. Omotopia di funzioni e spazi omotopicamente equivalenti. Prime definizioni e esempi.

20. 17/05 Spazi contraibili e retratti per deformazione. Esempi. Omotopia di cammini e proprietà.

21.  21/05 Prodotto di cammini e proprietà. Il gruppo fondamentale di uno spazio topologico con base in un punto: definizione, verificazione della struttura di gruppo e invarianza per cambiamento di punto base all'interno della stessa componente connessa. Spazi semplicemente connessi.

22. 22/05  Proprietali funtoriali del primo gruppo fondamentale. Cenni su Teoria delle Categorie. Propreità dell'omomorfismo indotto da un'applicazione continua sui gruppi fontamentali. Spazi omotopicamente equivalenti hanno lo stesso gruppo fondamentale.

23. 23/05 Numero di Lebesgue di un ricoprimento. Teorema de Van Kampen: enunciato generale e dimostrazione della sua versione debole. Semplice connessione di S^n, per n>1. Gruppo fondamentale si S^1: costruzione di un'omomorfismo da Z nel gruppo fondamentale di S^1.

24. 28/05 Il gruppo fondamentale di S^1. Rivestimenti. Defnizione, esempi, proprietà. Unicità dei sollevamenti.

25. 29/05 Teorema del sollevamento dell'omotopia. Conseguenze per il sollevamente di archi. Criterio di sollevamente di mappe a rivestimenti. Proprietà della mappa indotta da un rivestimento sui gruppi fondamentali. Enunciato della corrispondenza di Galois tra rivestimenti e sottogruppi del gruppo fondamentale.

26. 30/05 Corrispondenza di Galois tra rivestimenti e sottogruppi del gruppo fondamentale. Unicità, iniettività e cenni sulla suriettività. Applicazioni: il teorema del punto fisso di Brower in dimensione 2.