GE410- Geometria Algebrica 1 - a.a. 2018/2019

                                                    DIARIO DELLE LEZIONI


1. 25/09. Introduzione al corso. Richiami su proprieta' algebriche dell'anello dei polinomi a n variabili su un campo k. Spazio affine: topologia di Zariski e prime proprieta'.

2. 28/09. La corrispondenza tra chiusi affini e ideali radicali. Il Teorema degli zeri di Hilbert (solo enunciato). Spazi affini irriducibili e proprieta'.

3. 02/10. Decomposizione di un chiuso affine in componenti irriducibili. Corrispondenza tra k-algebre finitamente generate e ridotte e chiusi affini. La dimensione di un chiuso affine. L'algebra delle funzioni regolari di uno spazio affine.

4. 05/10. Dimensione di uno spazio affine, esempi. Morfismi regolari e loro proprieta'. Acceni su Teoria delle Categorie. L'equivalenza tra la categoria degli spazi affini e la categoria delle algebre ridotte finitamente generate.

Esercizi: 2.1.13, 2.1.15, 2.3.11, 2.3.14, 2.4.14, 2.4.19, 2.4.20.

5. 09/10. Innietivita'/suriettivita' del morfismo di algebre associato a un morfismo regolare dominante/innietivo. Esempi. Prodotti di spazi affini.

6. 12/10. L'algebra delle funzioni regolari di prodotti di spazi affini. Richiami sul prodotto tensoriale. Prodotti e coprodotti in categorie: il coprodotto nella categoria delle algebre associato al prodotto di spazi affini.

7. 16/10. Aperti principali e le loro proprieta'. Morfismi finiti: proprieta' e richiami su estensioni integrali di algebre.

8. 19/10. Proprieta' di morfismi finiti. Spazio proiettivo e varieta' proiettive. Topologia di Zariski e corrispondenza tra ideali omogenei radicali non irrilevanti e chiusi proiettivi.

9. 23/10. Ideali omogenei e chiusi proiettivi: proprieta'. Lo spazio proiettivo come compattificazione dello spazio affine e la chiusura proiettiva di un chiuso affine.

Esercizi: Mostrare corrispondenza tra punti nello spazio affine e ideali massimali; 2.4.22, 3.1.11, 3.1.12, 3.1.13, 3.2.6, 3.2.7.

10. 26/10. Hipersuperficie proiettive. Lo spazio proiettivo duale e la classificazione delle quadriche nello spazio proiettivo di dimensione n. Mappe razionali e regolari di varieta' quasiproiettive: definizione e prime proprieta'.

11. 13/11. Mappe razionali tra chiusi affini.  Mappe razionali da P^1 a P^n sono necessariamente regolari. Esempi. Mappe razionali che coincidono in un'aperto denso sono uguali.

12. 16/11. (3 ore) Mappe razionai dominanti, proprieta'. Varieta' affine e proiettive. Esempi.

13. 20/11. Le varieta'  quasiproiettive ammettono ricoprimenti da aperti affini. Dimensione. Esempi e proprieta'.

Esercizi: 3.3.2, 3.3.3, Completare esempio 3.5.4, 3.6.9, 3.6.10.

14. 21/11. (3 ore) Morfismi genericamente finiti.: esempi e proprieta'. Insiemi construibili: il teorema di Chevaley. Equivalenza birazionale: esempi e proprieta'.

15. 27/11. Ogni varieta' e' birazionale ad un'ipersuperficie. Curve razionali normali e varieta' di Veronese. Definizioni e proprieta'.

16. 30/11. (3 ore)  Prodotti di varieta' affini. L'applicazione di Segre. Proprieta'. Proiezioni.  Proiezioni lineari e composizione con il morfismo di Veronese. La proiezione da un punto e' un morfismo chiuso.

17. 4/12. Invarianza della chiusura proiettiva. L'immagine di una varieta' proiettiva per un morfismo regolare e' chiusa. Lo scoppiamento del piano in un punto.

18. 7/12. (3 ore) Geometria locale. L'anello locale di una varieta' quasiproiettiva in un punto, relazione con la localizzazione nel caso affine. Gli spazi cotangente e tangente. Proprieta'.

19. 11/12. Funtorialita' dell'applicazione di differenziazione. Punti singolari e nonsingolari. L'insieme dei punti singolari in una varieta' quasiproiettiva e' un chiuso proprio.

20. 14/12. Fattorialita' geometrica e chiusi principali. Varieta' localmente fattoriali. Curve proiettive nonsingolari sono birazionali se e solo se sono isomorfe. Anelli locali di codimensioni 1. Divisori di Weil: definizione e prime proprieta'.

Esercizi: 3.10.13, 4.3.4, 4.4.11,  4.5.7, 4.6.10, 5.1.7, 5.4.7, 5.4.12, 5.8.5, 6.1.18, 6.3.19.