Corso Geometria (L-Z) - a.a. 2020/2021

DIARIO delle LEZIONI

1 (01/10/20). Introduzione al corso. Richiami su nozioni basiche: insiemi, insiemi di numeri, proprietà basiche. Richiami su equazioni lineari a coefficienti reali su n indeterminate. Esempi e interpretazione geometrica delle soluzioni.
2 (05/10/20). Sistemi di equazioni lineari a coefficienti reali e loro soluzioni. Esempi e interpretazione geometrica dei risultati. Sistema omogeneo associato a un sistema completo. Le soluzioni di un sistema completo si ottengono sommando le soluzioni del sistema omogeneo associato con una soluzione particolare del sistema completo.
3 (08/10/20). Matrici associate a sistemi di equazioni lineari. L'insieme delle matrici: nozione basiche, proprietà e esempi. Matrici diagonali, triangolari, simmetriche, antisimmetriche, a gradini, etc. Soluzioni di un sistema lineare con matrice completa associata a gradini. Somma di matrici e moltiplicazione per uno scalare: proprietà.
4 (12/10/20). Riduzione per righe di una matrice: modificazioni elementari e nozione di matrice ridotta. Esempi di resoluzione di sistemi con matrici completa associata ridotta. Dato un termine non nullo di una matrice esiste una sua modificazione in cui quel termine è un pivot. Esempi.
5 (15/10/20). Algoritmo di Gauss-Jordan per la riduzione di una matrice per righe. Ogni matrice è equivalente per righe a una matrice a gradini. Sistemi equivalenti e sistemi ridotti. Sistemi associati a matrici equivalenti sono equivalenti.Ogni sistema è equivalente a un sistema ridotto. L'insieme delle soluzioni di un sistema ridotto. Esempi.
6 (19/10/20). Risoluzione di sistemi ridotti: criterio di compatibilità e algoritmo per trovare tutte le soluzioni. Esempi. Prodotto di matrici. Definizione e primi esempi.
7 (22/10/20). Prodotto di matrici: alcune proprietà e esempi. Trasposta di un prodotto di matrici, prodotto di matrici diagonali e altri esempi. Invertibilità per matrici. L'inversa di una matrice, se esiste, è unica. Esempi di matrici invertibili e no. Invertibilità per matrici di ordine 2 e per matrici diagonali.
8 (26/10/20). Trasposte di matrici invertibili sono invertibili e prodotti di matrici invertibili sono invertibili. Matrici dei coefficienti di sistemi lineari con lo stesso numero di indeterminate che di equazioni e relazione dell'esistenza di soluzioni del sistema con l'invertiblità della marice dei coefficienti. Una matrice è invertibile se e solo se una sua modificazione per righe è invertibile.
9 (29/10/20). Algoritmo di Gauss-Jordan per l'inversa di una matrice. Esempi. Rango di una matrice.
10 (02/11/20). Rango di una matrice ridotta e uguaglianza tra il rango di una matrice e il rango di una modificazione delle sue righe. Il Teorema di Rouché Capelli. Determinanti di matrici quadrate. Definizione e calcolo usando lo sviluppo di Laplace.
11 (05/11/20). Calcolo dei determinanti e proprietà. Determinante di una matrice e di una sua riduzione per righe. Una matrice è invertibile se e solo se ha determinante non nullo. L'inversa di una matrice è ottenuta dalla aggiunta moltiplicando per l'inverso del determinante (se non nullo).
12. (09/11/20). Regola di Cramer. Riassunto sugli argomenti svolti. Esercizi.
13. (12/10/20). Spazi vettoriali. Definizioni e esempi. Sottospazi vettoriali. Esempi e proprietà.
14. (16/11/20). Somma e intersezione di sottospazi. Esempi. Vettori linearmenti indipendenti. Definizione, esempi e prime proprietà.
15. (19/11/20). Proprietà di vettori linearmenti dipendenti e no. Esempi. Un'insieme di q vettori di R^n è linearmente indipendente se e solo se la matrice formata delle sue colonne ha rango q. Esempi. Spazio lineare generato da un insieme di vettori.
16. (23/11/20). Spazio lineare generato da un insieme di vettori. Spazi finitamente generati e proprietà degli insiemi di generatori. Esempi. Basi. Esempi e prime proprietà.
17. (26/11/20). Teorema di esistenza di base per spazzi vettoriali finitamente generati. Tutte le basi hanno la stessa cardinalità. Dimensione di uno spazio vettoriale. Proprietà e esempi. Basi di sottospazi di R^n.
18. (30/11/20). Formula di Grassmann e esempi di applicazioni. Teorema di completamento di base e esempi. Lo spazio lineare generato dalle colonne di una matrice A e quello generato dalle righe hanno la stessa dimensione, uguale al rango di A. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi di R^n: come ottenere una base per il sottospazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo.
19. (03/12/20). Equazioni parametriche e cartesiane: come ottenere equazioni cartesiane per un sottospazio dato da un insieme di generatori. Coordinate di vettori in uno spazio vettoriale relativamente a una base: definizione, unicità, esempi. La mappa da un spazio vettoriale di dimensione n in R^n definita attraverso le coordinate relativamente a una base fissata.
20. (10/12/20). Proprietà della mappa delle coordinate di un vettore relativamente a una base. Esempi. Matrice di cambiamento di base e proprietà. Esempi. Applicazioni lineari: definizione e esempi.
21. (14/12/20). Applicazioni lineari: unicità di un'applicazione lineare datte le immagine di elementi di una base. Nucleo e immagine di un'applicazione lineare. Esempi e proprietà. Applicazioni lineari iniettive preservano indipendenza lineare e mandano basi in basi dell'immagine. Data un'applicazione lineare f tra V e W, la dimensione di V è uguale alla dimensione del nucleo di f più la dimensione dell'immagine di f. La matrice associata a un'applicazione lineare relativamente a basi fissate nel dominio e nello spazio di arrivo.
22. (17/12/20). Matrice associata a una applicazione lineare: esempi e proprietà. Applicazione al calcolo dell'immagine inversa di un vettore nell'immagine e alla determinazione di basi per il nucleo e per l'immagine di una applicazione. Un'applicazione lineare è un isomorfismo se e solo se la matrice a lei associata è invertibile.
23. (21/12/20). Operazioni tra applicazioni lineari: somma, molteplicazione per uno scalare e composizione; operazioni matriciali corrispondenti. Matrici associate a applicazioni lineari relativamente a basi diverse. Operatori lineari. Operatori lineari diagonalizzabili. Autovettori e autovalori di un operatore lineare.
24. (07/01/21). Diagonalizzabilità di operatori lineari e la relazione di similitudine tra matrici. Esempi. Ricerca degli autovalori e degli autovettori di un operatore lineare. Il polinomio caratteristico di una matrice. Autospazio associato ad un autovalore e molteplicità geometrica di un autovalore. Esempi. Enunciato del primo criterio di diagonalizzabilità.
25. (11/01/21). Dimostrazione del primo criterio di diagonalizzabilità. Esempi. Radici del polinomio caratteristico e molteplicità algebrica di un autovalore. Polinomi totalmente riducibili e no. Esempi. Secondo criterio di diagonalizzabilità.
26. (14/01/21). Prodotto scalare di vettori in R^n. Definizione, proprità e esempi. Vettori ortogonali e basi ortogonali e ortonormate. Procedura di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Matrici ortogonali e il teorema spettrale sulla diagonalizzabilità di matrici simmetriche.
27. (18/01/21). Procedura di diagonalizzazione di matrici simmetriche, esempi. Esercizi del foglio 9.
28. (21/01/21). Risoluzione della prova di autovalutazione.