Corso Geometria (L-Z) - a.a. 2021/2022

DIARIO delle LEZIONI

1 (27/09/21). Introduzione al corso. Richiami su nozioni basiche: insiemi, insiemi di numeri, proprietà basiche. Richiami su equazioni lineari a coefficienti reali su n indeterminate. Esempi e interpretazione geometrica delle soluzioni.
2 (30/09/21). Sistemi di equazioni lineari a coefficienti reali e loro soluzioni. Esempi e interpretazione geometrica dei risultati. Sistema omogeneo associato a un sistema completo. Le soluzioni di un sistema completo si ottengono sommando le soluzioni del sistema omogeneo associato con una soluzione particolare del sistema completo.
3 (04/10/21). Matrici associate a sistemi di equazioni lineari. L'insieme delle matrici: nozione basiche, proprietà e esempi. Matrici diagonali, triangolari, simmetriche, antisimmetriche, a scala, etc. Soluzioni di un sistema lineare con matrice completa associata a scala.
4 (07/10/21). Sistemi a scala: pivot e rango. Un sistema a scala è compatibile se e solo se il rango della matrice dei coefficienti associata è uguale al rango della matrice completa associata. Algoritmo per trovare tutte le soluzioni di un sistema lineare a scala. Esempi.
5 (11/10/21). L'algoritmo di eliminazione di Gauss: ogni sistema è equivalente a un sistema a scala. Esempi.
6 (14/10/21). Matrici: somma, prodotto per scalare e proprità. Prodotto di matrici, matrice identità e invertibilità. Esempi.
7 (20/10/21). Proprietà del prodotto di matrici. Invertibilità di matrici: esempi e alcune proprietà. Esercitazione: foglio di esercizi 2.
8 (25/10/21). (3 ore) Sistemi lineari con matrice dei coefficienti invertibile. Una matrice B ottenuta attraverso una seguenza di modificazioni elementari delle righe di una matrice A differisce da A per il prodotto di una matrice invertibile. Risoluzione di esercizi dei fogli 1, 2 e 3.
9 (28/10/21). Una matrice quadrata di ordine n a scala si riduce attraverso trasformazioni elementari nella matrice identità di ordine n. Algoritmo di Gauss-Jordan per trovare l'innversa di unna matrice. Esempi. Rango di una matrice: definizione e esempi.
10 (03/11/21). Rango di una matrice: definizione, esempi e proprieta'. Il rango di una matrice a scala e' uguale al numero dei suoi pivot. Due matrici ottenute l'una dall'altra effettuando operazioni elementari sulle righe hanno lo stesso rango. Il rango di una matrice e' uguale al numero dei pivot di una
sua riduzione a scala. Teorema di Rouche'-Capelli. Determinante: definizione tramite lo sviluppo di Laplace. Teorema di Laplace (senza dimostrazione). Esempi.
11 (08/11/21). (3 ore) Il determinante di una matrice coincide con quello della sua trasposta. Il determinante di una matrice triangolare e' il prodotto degli elementi sulla sua diagonale principale. Proprieta' del determinante. Calcolo del determinante tramite la riduzione a scala. Una matrice e' invertibile se e solo se il suo determinante e' non nullo. Teorema di Binet (senza dimostrazione) e determinante della matrice inversa. Ora aggiuntiva di esercitazione.
12 (11/11/21). L'inversa di una matrice è ottenuta dalla aggiunta moltiplicando per l'inverso del determinante (se non nullo). Regola di Cramer. Esempi.
13 (15/10/21). Spazi vettoriali. Definizioni e esempi. Sottospazi vettoriali. Esempi e proprietà.
14. (18/11/21). Esempi di sottospazi vettoriali. Somma e intersezione di sottospazi. Esempi. Combinazioni lineari e vettori linearmenti indipendenti.
15. (22/11/21). (3 ore) Proprietà di vettori linearmenti dipendenti e no. Esempi. Spazio lineare generato da un insieme di vettori. Esercizi dei fogli 5 e 6.
16. (25/11/21). Spazi finitamente generati e proprietà degli insiemi di generatori. Esempi. Basi. Esempi e prime proprietà.
17. (29/11/21). (3 ore) Teorema di esistenza di base per spazzi vettoriali finitamente generati. Tutte le basi hanno la stessa cardinalità. Dimensione di uno spazio vettoriale. Proprietà e esempi. Esercizi dei fogli 6 e 7.
18. (30/11/20). Formula di Grassmann e esempi di applicazioni. Teorema di completamento di base e esempi. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi di R^n: come ottenere una base per il sottospazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo.
19. (03/12/20). (3 ore) Equazioni parametriche e cartesiane: come ottenere equazioni cartesiane per un sottospazio dato da un insieme di generatori. Basi di sottospazi di R^n. Lo spazio lineare generato dalle colonne di una matrice A e quello generato dalle righe hanno la stessa dimensione, uguale al rango di A. Coordinate di vettori in uno spazio vettoriale relativamente a una base: definizione, unicità, esempi.
20. (09/12/21). Proprietà della mappa delle coordinate di un vettore relativamente a una base. Esempi. Matrice di cambiamento di base e proprietà. Esempi. Applicazioni lineari: definizione e esempi. La mappa da un spazio vettoriale di dimensione n in R^n definita attraverso le coordinate relativamente a una base fissata.
21. (13/12/21). (3 ore) Applicazioni lineari: unicità di un'applicazione lineare datte le immagine di elementi di una base. Nucleo e immagine di un'applicazione lineare. Esempi e proprietà. Applicazioni lineari iniettive preservano indipendenza lineare e mandano basi in basi dell'immagine. Data un'applicazione lineare f tra V e W, la dimensione di V è uguale alla dimensione del nucleo di f più la dimensione dell'immagine di f.
22. (16/12/21). La matrice associata a un'applicazione lineare relativamente a basi fissate nel dominio e nello spazio di arrivo: esempi e proprietà. Applicazione al calcolo dell'immagine inversa di un vettore nell'immagine.
23. (20/12/21). Un'applicazione lineare è un isomorfismo se e solo se la matrice a lei associata è invertibile. Operazioni tra applicazioni lineari: somma, molteplicazione per uno scalare e composizione; operazioni matriciali corrispondenti. Matrici associate a applicazioni lineari relativamente a basi diverse. Operatori lineari. Operatori lineari diagonalizzabili. Autovettori e autovalori di un operatore lineare. Diagonalizzabilità di operatori lineari e la relazione di similitudine tra matrici. Esempi. Ricerca degli autovalori e degli autovettori di un operatore lineare.
24. (10/01/22). (3 ore) Il polinomio caratteristico di una matrice. Autospazio associato ad un autovalore e molteplicità geometrica di un autovalore. Esempi. Enunciato e dmostrazione del primo criterio di diagonalizzabilità. Esempi.
25. (13/01/22). Radici del polinomio caratteristico e molteplicità algebrica di un autovalore. Polinomi totalmente riducibili e no. Esempi. Secondo criterio di diagonalizzabilità. Prodotto scalare di vettori in R^n. Definizione, proprità e esempi. Vettori ortogonali e basi ortogonali e ortonormate. Procedura di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Matrici ortogonali e il teorema spettrale sulla diagonalizzabilità di matrici simmetriche.
26. (17/01/22). (3 ore) Esercizi di revisione su diagonalizzazione. Risoluzione di esercizi di Appelli precedenti.
27. (20/01/22). Risoluzione di esercizi di revisione su tutto il programma svolto.