Corso avanzato di algebra commutativa noetheriana e omologica
Programma
Il corso di comporrà di 8 lezioni da 2 ore ciascuna. È un corso di
approfondimento in continuità con il corso di AL410
(Algebra
commutativa) tenuto dalla professoressa Tartarone.
Saranno affrontati argomenti avanzati relativi alla teoria degli anelli
noetheriani, anche con l'ausilio di tecniche omologiche. In
particolare, verranno affrontati i seguenti temi:
- lemma di normalizzazione di Noether;
- completamenti;
- anelli regolari, di Gorenstein, di Cohen-Macaulay;
- teorema dell'ideale principale;
- elementi di algebra omologica (ideali proiettivi e iniettivi,
risoluzioni, funtori Tor e Ext).
Variazioni del programma saranno possibili su richiesta degli studenti.
Calendario delle lezioni
Calendario di massima.
- Lezione 1: mercoledì 24 aprile, 11-13 (aula M6)
k-algebre finitamente generate: catenarietà,
lemma di normalizzazione
di Noether, finitezza della chiusura integrale.
Riferimenti: Eisenbud, capitolo 13; Clark, capitolo 14.
- Lezione 2: giovedì 2 maggio, 14-16 (aula M4)
Completamenti: successioni di Cauchy, sistemi inversi, esempi. Blowup
algebra e lemma di Artin-Rees.
Riferimenti: Atiyah, capitolo 10; Eisenbud, capitolo 7.
- Lezione 3: mercoledì 8 maggio, 16-18 (aula M6)
Completamenti
(2): anello graduato associato ad un completamento; lemma di Hensel ed
henselianizzazione; teorema di struttura di Cohen.
Riferimenti: Atiyah, capitolo 10; Eisenbud, capitolo 7.
- Lezione 4: mercoledì 15 maggio, 16-18 (aula M6)
Completamenti (3): completamento di un dominio locale noetheriano con
normalizzazione finita.
Teorema dell'ideale principale e Hauptidealsatz.
Riferimenti: Kaplansky, capitolo 3, sezione 2.
- Lezione 5: mercoledì 22 maggio, 16-18 (aula 009)
Introduzione agli anelli regolari. Funtori. Moduli proiettivi e
iniettivi.
Riferimenti: Kaplansky, capitolo 3, sezione 3; Clark, capitolo 3.
- Lezione 6: mercoledì 29 maggio, 16-18 (aula 009)
Caratterizzazione dei moduli proiettivi e iniettivi. Relazione tra
moduli liberi, proiettivi e piatti.
Riferimenti: Clark, capitolo 3; Weibel, capitoli 1 e 2.
- Lezione 7: mercoledì 5 giugno, 16-18 (aula 009)
Omologia: complessi, morfismi di complessi, lemma fondamentale
dell'algebra omologica. Risoluzioni proiettive e iniettive. Funtori
derivati. Funtore Tor.
Riferimenti: Clark, capitolo 3; Weibel, capitoli 1 e 2.
- Lezione 8: martedì 11 giugno, 11-13 (aula 009)
Dimensioni
omologiche (dimensione proiettiva, iniettiva, globale). Funtore Ext.
Esempi di calcolo di Ext e Tor. Profondità di un modulo rispetto ad un
ideale. Caratterizzazione degli anelli locali regolari come gli anelli
di dimensione globale finita.
Riferimenti: Weibel, capitolo 4.
Testi consigliati
- M.F. Atiyah, I.G. MacDonald, Introduction
to Commutative Algebra
- D. Eisenbud, Commutative
Algebra with a View Toward Algebraic Geometry
- I. Kaplansky, Commutative Rings
- H. Matsumura, Commutative Ring Theory
- C.A. Weibel, An introduction to Homological Algebra
- P.L. Clark, Commutative Algebra (note online)
- The
Stacks Project (in particolare il Capitolo 10)