| Diario delle lezioni
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| Data | Argomenti |
| 22 feb. | Introduzione al corso. Spazi metrici: dischi, insiemi aperti e applicazioni continue.
Equivalenza con la usuale nozione di applicazione continua che conosciamo dall'analisi. |
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24 febbraio | Spazi topologici. Esempi: spazi metrici, topologia grossolana, topologia discreta.
Topologie piu' fini e meno fini. In generale due topologie diverse non sono confrontabili.
Base per una topologia. Criterio per caratterizzare le basi.
La topologia dei rettangoli e' equivalente alla topologia dei dischi (o naturale) in ${\mathbb R}^n$. |
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25 febbraio | Intorni (sono sempre aperti). Successioni convergenti. Continuita'.
Esempi, la composizione di apllicazioni continue e' continua.
La continuita' e' una proporieta' locale. |
| 29 febbraio | Omeomorfismi, applicazioni aperte, omeomorfismi locali.
Esempio l'applicazione esponenziale $exp:{\mathbb R} \rightarrow S^1$
e anche la sua restrizione all'intervallo $[0, 2\pi)$.
I sottoinsiemi Chiusi di uno spazio topologico.
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| 2 marzo | Applicazioni chiuse. Interiore, Esteriore, Bordo, Insieme dei punti limite,
sottoinsiemi densi. Varieta' topologiche. Spazi di Hausdorff e a base numerabile.
In uno spazio ${\rm T}_2$ ogni punto e' chiuso e ogni successione convergente ha un solo punto limite. |
| 7 marzo | Ogni ricoprimento aperto di uno spazio ${\rm N}_2$ ammette un sottoricoprimento numerabile,
ogni spazio metrico e' ${\rm N}_1$ ; e infatti ${\rm N}_2$ se e solo se ha un sotto insieme denso numerabile,
fine capitolo 2.
Capitolo 3: new spaces from old. Topologia di sottospazio. Embedding topologico.
$ exp:[0,2\pi) \rightarrow {\mathbb R}^2$ non e' un emmbedding topologico. Proprieta' universale della topologia
di sottospazio. |
| 9 marzo |
Un sottospazio di uno spazio di Hausdorff ${\rm N}_2 $ e' di Hausdorff ${\rm N}_2$ .
Applicazioni definite a tratti. Topologia prodotto di un numero finito di spazi topologici.
I rettangoli aperti sono base naturale della topologia prodotto.
Le proiezioni sono continue e aperte. Il grafico di un'applicazione e' omeomorfo al dominio.
Applicazione: la sfera $S^n$ e' una varieta' topologica.
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| 14 marzo | Proprieta' universale topologia prodotto. Il prodotto di due varieta' topologiche
e' una varieta' topologica. Esempio il Toro = $S^1\times S^1$.
Topologia quoziente. Applicazioni quoziente. Esempi. Relazione di equivalenza, fibre
e sottoinsiemi saturi. |
| 16 marzo | Proprietà caratterizzante appl. quoziente: continua, suriettiva, manda aperti saturi in aperti.
Proprietà Universale e passaggio al quoziente. Esempio $ exp:{\mathbb R} \rightarrow S^1$. Quindi $S^1 \simeq {\mathbb R}/{\mathbb Z}$.
Corrispondenza tra: {funzioni continue sul cerchio} $\leftrightarrow$ {funzioni continue e periodiche su ${\mathbb R}$
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| 21 marzo | Gruppi topologici definizione, ${\mathbb R}$, ${\mathbb R}\setminus \{0\}$ e il gruppo delle matrici invertibili sono gruppi topologici.
Sottogruppi e prodotti diretti di un numero finito di gruppi topologici sono a loro volta gruppi topologici.
Azione di un gruppo topologico su uno spazio topologico: azioni transitive ed azioni libere, orbite, spazio quoziente.
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| 23 marzo | Spazi connessi definizione ed esempi di spazi sconessi. L'immagine di uno spazio connesso attraverso
un applicazione continua e' connessa, conseguenze.
Un sottoinsieme di R e' connesso se e solo se e' un intervallo. Teorema del valor medio. Connessione per archi. Uno spazio
spazio connesso per archi e' connesso.
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| 4 aprile | Componenti connesse. Le componenti connesse sono sempre chiuse. Seno del topologo. |
| 6 aprile | Componenti connesse per archi. Spazi localmente connessi e spazi localmente
connessi per archi. Curva connessa seno del topologo. Le varieta' topologiche
sono connesse se e solo se sono arco-connesse. |
| 18 aprile | Compattezza, ${\mathbb R}$ non e' compatto, la comapttezza e' una proprieta' topologica.
Sottospazi chiusi e sottospazi compatti.
Il prodotto finito di compatti e' compatto. Teorema di Tychonoff (solo enunciato).
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| 19 aprile | Teorema di Heine Borel: i compatti di ${\mathbb R}^n$ sono i chiusi limitati. Teorema di minimax.
Ogni ricoprimento aperto di una spazio metrico compatto ammette numero di Lebesgue.
Uno psazio metrico o una varieta' topologica e' compatta se e solo se e'
punto-limite compatta, se e solo se e' compatta per successioni.
Uno spazio metrico compatto e' anche completo. |
| 27 aprile | Closed map lemma; applicazione un sottoinsieme compatto e convesso di ${\mathbb R}^n$
e' omeomorfo alla palla standard se ha interiore non-vuoto. L'omeomorfismo si
restringe a un omeomorfismo dal bordo alla sfera standard.
Correzione e valutazione del compito in classe del 12 aprile.
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2 maggio | Introduzione alla topologia algebrica. Invarianti topologici, applicazioni.
La famiglia dei lacci chiusi di punto base $x_0$ su $X$, o applicazioni continue dal cerchio.
Riparametrizzazione di un laccio e traccia. Il laccio costante e il laccio inverso.
Moltiplicazione di lacci. Definizione di omotopia (deformazione) tra due lacci. |
| 4 maggio | L'omotopia e' una relazione di equivalenza tra cappi. L'omotopia e' compatibile con
l'operazione di comporre cappi. Il gruppo fondamentale e' lo spazio quoziente di tutti i lacci
modulo omotopia e dotato dell'operazione di composizione. Dipendenza dal punto base.
Spazi topologici semplicemente connessi: ${\mathbb R}^n$, sottoinsiemi convessi o stellati.
Prop.7.13. Un laccio $f:S^1 \rightarrow X$ e' contraibile se e solo se si estende a un'applicazione
continua dal disco in $X$.
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| 9 maggio | Invarianza topologica del gruppo fondamentale: Omomorfismo indotto da un'applicazione continua.
L'omomorfismo indotto dalla composizione di applicazioni continue coincide con
la composizione degli omomorfismi indotti. Conseguenza: due spazi omeomorfi hanno
gruppi fondamentali isomorfi. Il gruppo fondamentale del prodotto di due spazi topologici
e' isomorfo al prodotto dei gruppi fondamentali. Il gruppo fondalentale come funtore tra
la categoria TOP e la categoria GRP.
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| 11 maggio | Definizione di retratto e estensione di applicazioni continue.
L'omomorfismo indotto sui gruppi fondamentali e' iniettivo. Essempi e controesempi.
Equivalenza omotopica: esempi, retratto di deformazione. Spazi contraibili, esempi.
Il gruppo fondamentale e' invariante per equivalenza omotopica.
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| 16 maggio | Teorema di Van Kampen debole. Le sfere di dimensione $\geq 2$ sono semplicemente connesse.
${\mathbb R}^2$ omeomeorfo a ${\mathbb R}^n \Rightarrow n=2$.
Rivestimenti, definizione e prime proprieta'. Esempi.
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| 18 maggio |
Ogni rivestimento e' localmente banale. L'elica circolare infinita come rivestimento $Exp: R \rightarrow S^1$.
Rivestimenti di grado n del cerchio $S^1$. Il problema del sollevamento. Unicita' del sollevamento.
Sollevamento di archi e delle loro omotopie. Il punto finale dipende solo dalla classe di omotopia.
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| 23 maggio | Azione di monodromia del rivestimento $p:E \rightarrow X$. Il gruppo fondamentale $\pi_1(X,x_0)$
agisce transitivamente sulla fibra $p^{-1}(x_0)$ con stabilizzatore $p_*(\pi_1(E,e_0)).$
Rivestimento universale. La monodromia definisce una biiezione tra la fibra $p^{-1}(x_0)$
del rivestimento universale $E$ e il gruppo fondamentale di $X$. Applicazioni: il gruppo
fondamentale del cerchio; il gruppo fondamentale del toro e la sua azione su $R^2$.
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| 25 maggio |
Classificazione di rivestimenti. Al variare di $e{\in} p^{-1}(x_0)$ i sottogruppi
$ p_*(\pi_1(E,e))$ descrivono tutta una classe di sottogruppi coniugati di $\pi_1(x_0)$.
In particolare la cardinalita' della fibra e' quindi uguale all'indice del sottogruppo.
Rivestimenti equivalente sono in corrispondenza biunivoca con sottogruppi coniugati.
Esistenza di rivestimenti. Spazi (semi-)localmente semplicemente connessi: esempi e controesempi.
Cenno della dimostrazione che esiste un rivestimento per ogni sottogruppo. Analogia con la teoria
di Galois. Applicazioni: tutti i rivestimenti del cerchio; gruppo fondamentale degli spazi
proiettivi reali.
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