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Diario delle lezioni |
| 21 dicembre | Calcola della curvatura di Gauss in coordinate isoterme e ortogonali: fine della dimostrazione.
La curvatura di Gauss è invariante per isometrie. Esempi, controesempi e applicazioni del
Teorema di Gauss.
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| 19 dicembre | Isometrie conformi locali. Enunciato teorema esistenza di coordinate isoterme. Applicazioni:
Ogni superficie orientata è una superficie di Riemann e viceversa. Theorema Egregium di Gauss,
inizio della dimostrazione in coordinate isoterme.
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| 16 dicembre | Isometrie tra superfici: conservano la lunghezza delle curve e la distanza. Esempi. Isometrie
locali: stessa I forma fondamentale. Problema della cartografia: la sfera è localmente isometrica al
piano? |
| 14 dicembre | L'applicazione di Gauss su una superficie compatta è suriettiva. Dimostrazione. Studio della
funzione ''norma al quadrato'': Hessiano nei punti critici. Ogni superficie compatta in $\mathbb R ^3$
ammette punti ellittici. Una superficie con solo punti ombellicali è contenuta in un piano o in una
sfera. |
| 12 dicembre | Significato geometrico del segno della curvatura di Gauss per le superfici di rotazione.
Hessiano di una funzione liscia in un suo punto critico. Prima applicazione: studio della
funzione distanza da un piano affine. Il caso del piano tangente affine: segno della
curvatura di Gauss e posizione del piano tangente. |
| 5 dicembre | Significato geometrico dell seconda forma fondamentale, curvatura normale di una curva su
una superficie in ${\mathbb R}^3$.Esempi. Teorema di Meusnieur. Sezioni normali. Curvatura
in coordinate locali. Esempio delle superfici di rotazione. |
| 30 novembre | Punti ombellicali, ellittici, iperbolici, parabolici e planari.
Seconda forma fondamentale di una superficie in ${\mathbb R}^3$. Proprietà algebriche:
direzioni principali e direzioni asintotiche.
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| 28 novembre | Metriche Riemanniane su varietà lisce. Esempio, la prima forma fondamentale di una superficie nello spazio Euclideo.
Calcolo in coordinate locali, esempi. Curvatura come derivata dell'applicazione di Gauss misura come varia il piano tangente.
Richiami sugli operatori autoaggiunti e teorema spettrale. La curvatura è un operatore autoaggiunto. I suoi autovalori, sempre reali,
si dicono curvature principali, il determinante è
detto curvatura di Gauss e la sua traccia è la curvatura Media.
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| 23 novembre | Prodotto vettoriale in ${\mathbb R}^3$. Versore normale a una superficie. L'applicazione di Gauss $N:\Sigma \rightarrow S^2$ è
globalmente definita se e solo se $\Sigma$ è orientabile. Esempi di superfici orientabili: superfici di tipo grafico,
immagine inversa di valore regolare. Il nastro di Möbius è non-orientabile. Ogni superficie chiusa in ${\mathbb R}^3$ è orientabile.
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| 21 novembre | Applicazioni liscie su superfici e loro derivata. Punti critici di applicazioni liscie, esempi.
Diffeomomorfismi e diffeomorfismi locali, teorema della funzione inversa. Esempi e corollari.
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| 16 novembre | Il piano tangente a una superficie in un punto come spazio dei vettori tangenti alle curve.
Base del piano tangente in coordinate locali, equazione Cartesiana del piano tangente a una
superficie immagine inversa di valore regolare. Esempi.
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| 14 novembre | Superfici come immagine inversa di valori regolari. Applicazioni ed esempi.
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| 2 novembre | Superfici regolari in $\mathbb R ^3$. Introduzione, carte locali e atlanti.
Esempi e controesempi. Superfici di tipo grafico; ogni superficie regolare è
localmente di tipo grafico. |
| 30 ottobre | Esercitazione
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| 27 ottobre | Versore tangente; curve la cui traccia non ammette parametrizzazione
regolare. Curve piane regolari: definizione del versore normale, curvatura con segno e suo
significato geometrico. Teorema fondamentale della geometria locale delle curve piane. |
| 26 ottobre | Esempi di calcolo della lunghezza. Curve regolari a tratti. Versore normale e binormale
curvatura di una curva regolare in $\mathbb{R}^3$, significato geometrico. |
| 24 ottobre | Curve liscia in $\mathbb{R}^3$. Esempi. Curve regolari, il problema della lunghezza di una curva,
ascissa curvilinea. Ogni curva regolare può' essere riparametrizzata per ascissa curvilinea.
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| 19 ottobre |
Caratteristica di Eulero di una triangolazione finita. Invarianza per raffinamenti.
La caratteristica di Eulero e' un invariante topologico. Calcolo della caratteristica
di Eulero di ciascuna superficie compatta. Dimostrazione del teorema
di classificazione delle superfici compatte. Orientabilita' e caratteristica di Eulero
sono invarianti topologici completi per le superfici compatte. Cenni a dimensione piu' alta.
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| 17 Ottobre | Orientazione di un triangolo e dell'unione di due triangoli con un lato comune.
Orientabilita' di una triangolazione e invarianza per raffinamenti.
L'orientabilita' e' un invariante topologico. La sfera non e' omeomorfa al piano proiettivo.
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| 12 Ottobre |
Ogni superficie compatta è omeomorfa alla sfera o alla somma connessa di tori
oppure alla somma connessa di piani proiettivi. Dimostrazione: chirurgia topologica.
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| 10 Ottobre |
Il quoziente topologico di un poligono piano tramite una relazione di equivalenza
(etichetta) che identifica lati a due a due, è omeomorfo a una superficie.
Viceversa ogni superficie compatta è omeomorfa a un poligono convesso compatto
con un numero pari di lati identificati a due a due. Dimostrazione con le triangolazioni.
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| 5 Ottobre | Esempi di 1-complessi simpliciali e dimostrazione del teorema di classificazione delle curve
cioè delle 1-varietà topologiche, compatte e non. |
| 3 Ottobre | Nastro di Moebius e Piano Proiettivo come spazi quoziente e poligoni a identificazione.
Simplessi standard e complessi simpliciali: esempi e controesempi. Triangolazioni di una superficie.
Ogni superficie è triangolabile . Cenni su dimensione più alta e varietà liscie.
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| 28 settembre | Esempi di curve e superfici come spazio quoziente: Cerchio, Cilindro, Sfera e Toro.
Rappresentazione mediante poligoni a identificazione.
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| 26 settembre | Introduzione al corso: I parte topologia delle superfici compatte.
II parte geometria di curve e superfici nello spazio Euclideo.
Valutazione: 80% Esame scritto con prova di valutazione in itinere nel periodo 7-11 novembre. 10% compiti a casa da consegnare.
10% prova sul laboratorio Mathematica.
Richiami: Varietà topologiche, topologia quoziente, closed map lemma. |