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Diario delle lezioni |
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20 dicembre | Calcolo della curvatura di Gauss in coordinate isoterme e ortogonali: fine della dimostrazione. La curvatura di Gauss è invariante per isometrie.
Esempi, controesempi e applicazioni del Teorema di Gauss.
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18 dicembre | Isometrie conformi locali. Enunciato teorema esistenza di coordinate isoterme. Applicazioni: Ogni superficie orientata è una superficie di Riemann e viceversa.
Theorema Egregium di Gauss, inizio della dimostrazione in coordinate isoterme.
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| 13 dicembre | Hessiano della funzione norma al quadrato: ogni superficie compatta in $R^3$ ha un punto ellittico.
Una superficie con tutti punti ombellicali è contenuta in un piano o in una sfera.
Isometrie isometrie locali tra superfici. Esempi, il Catenoide e l'Elicoide. Domanda guida: la
sfera e' localmente isometrica al piano ?
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| 11 dicembre |
Applicazioni della forma quadratica Hessiano di una funzione in un suo punto critico. La
funzione distanza da un piano affine; segno della curvatura di Gauss e posizione del piano
tangente. Per ogni superficie compatta l'applicazione di Gauss -- ristretta al chiuso dei punti
in cui la curvatura di Gauss è non negativa -- è suriettiva.
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| 6 dicembre | Calcolo della curvatura in coordinate locali. Esempio, la curvature della superfici di rotazione.
Hessiano di una funzione liscia su una superficie in un suo punto critico.
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| 4 dicembre | Seconda forma fondamentale di una superficie in ${\mathbb R}^3$. La sua restrizione al cerchio dei versori
tangenti è una funzione liscia a valori nell'intervallo $[k_1,k_2]$ e, a meno del segno,
coincide, con la curvatura delle sezioni normali alla superficie.
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29 novembre | Prima forma fondamentale, esempi. La curvatura di una superficie in ${\mathbb R}^3$ è la derivata
dell'applicazione di Gauss che risulta essere un operatore autoaggiunto sul piano tangente e
quindi ha due autovalori reali dette curvature principali. Curvatura di Gauss e Madia, punti
ombellicali, ellittici, iperbolici, parabolici e planari.
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27 novembre | Il versore normale e l'applicazione di Gauss di una superficie in ${\mathbb R}^3$.
L'applicazione di Gauss è ben definita se solo se la superficie è orientabile.
Esempi di superfici orientabili: superfici di tipo grafico e immagine inversa di valore
regolare. Un esempio di superficie non-orientabile: il nastro di Möbius.
Ogni superficie chiusa in ${\mathbb R}^3$ è orientabile (solo enunciato): il piano proiettivo,
la bottiglia di Klein,... non vivono in ${\mathbb R}^3$. Geometria Riemanniana, la nozione di metrica
Riemanniana su varietà lisce e prima forma fondamentale di una superfice in ${\mathbb R}^3$.
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| 22 Novembre | La nozione di derivata di una funzione su una superficie e di applicazione tra superfici.
Significato geometrico e interpretazione in coordinate locali. Il teorema dell'applicazione
inversa tra superfici. Esempio: caratterizzazione geometrica della funzione distanza da un piano.
Ripasso: il prodotto vettoriale in ${\mathbb R}^3$.
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20 novembre | Il piano tangente a una superficie (cioè l'insieme dei vettori tangenti) coincide
con l'immagine della derivata di una qualunque carta locale. Equazione piano tangente
di una superficie immagine inversa di un valore regolare. Funzioni e applicazioni lisce,
diffeomeorfismi tra superfici. Esempi.
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15 novembre | Applicazioni e esempi. Superfici di rotazione. Piano tangente a una superficie in un punto.
Come immagine della derivata di una carta locale e come insieme dei vettori tangenti
alle curve sulla superficie.
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| 13 novembre | Superfici regolari in ${\mathbb R}^3$. Definizione, commenti e esmpi. Superfici di tipo 'grafico'.
Ogni superficie regolare è localmente di tipo grafico. Superfici come immagine inversa
di valori regolari.
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| 30 ottobre | Curvatura delle curve in ${\mathbb R}^3$ e versore normale. Curve piane, curvatura con segno e dimostarzione
del teorema fondametale della geometria locale delle curve piane.
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| 26 ottobre | Correzione in classe degli esercizi per casa. |
| 25 ottobre | La lunghezza è un invariante geometrico. Ascissa curvilinea. Ogni curva regolare
può essere parametrizzata con ascissa curvilinea. Le geodetiche dello spazio Euclideo
sono le rette.
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| 23 ottobre | Geometria delle curve lisce nello spazio Euclideo. Curve liscie parametrizzate,
traccia di una curva. Esempi di curve, anche iniettive immerse ma non-imbedded.
Vettore tangente, retta tangente a una curva regolare in un punto. Lunghezza di
una curva.
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| 18 ottobre | Caratteristica di Eulero di una triangolazione finita e di una superficie. Invarianza topologica della
caratteristica di Eulero. Esempi, cilindro, sfera, toro con diverse triangolazioni.
Teorema di classificazione delle superfici compatte con dimostrazione completa.
Calcolo della caratteristica di Eulero e dell'orientabilità di un poligono a identificazione.
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| 16 ottobre | Orientazione e orientabilità delle Superfici. Orientazione di un triangolo e dell'unione
di due triangoli con un lato comune. Orientabilità di una triangolazione. Raffinamento di
triangolazioni e invarianza topologica dell'orientabilità. Applicazioni: il cilindro
non è omeomorfo al nastro di Möbius e la sfera non e' omeomorfa al piano proeittivo.
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| 11 ottobre |
Una superficie compatta è omeomorfa alla sfera, alla somma connessa di tori oppure alla somma connessa di piani proiettivi. Dimostrazione completa usando il taglia e cuci.
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| 9 Ottobre | Ogni superficie è omeomorfa a un poligono etichettato. Esempio: sfera, tetraedro, cubo.
Somma connessa definizioni e proprietà. L'etichetta della somma connessa di due superfici
è la giustapposizione delle loro etichette. Chirurgia topologica: la bottiglia di Klein è
omeomorfa alla somma connessa di due piani proiettivi.
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| 4 Ottobre | Classificazione topologica delle 1-varietà. Lo spazio quoziente di un poligoni con un numero pari
di lati identificati a due a due e' una superficie topologica. Esempi di nuove superfici.
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| 2 Ottobre | Esempi non orientabili: piano proiettivo, nastro di Maebius con parametrizzazione
e relativi poligoni a identificazione. Complessi simpliciali.
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| 28 settembre | Esempi di curve e superfici come spazio quoziente: Cerchio, Cilindro, Sfera, coordinate geografiche sulla sfera. Toro, parametrizzazione del toro di rotazione
e relativi poligoni a identificazione.
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| 27 settembre | Introduzione al corso: prerequisiti, obbiettivi, modalità d'esame. Richiami di topologia:
varietà topologiche, topologia quoziente, lemma dell'applicazione chiusa.
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