GE310 Istituzioni di Geometria Superiore
a.a. 2017-18


AVVISI

  • il secondo compito in itinere è riservato a chi ha punteggio superiore a 55/100 al primo compito e avrà luogo il 10 gennaio in aula G dalle 14 alle 16







  • Materiale del corso

    Terzo foglio di esercizi da consegnare il 20 dicembree, in classe.

    Secondo foglio di esercizi da consegnare il 29 novembre, in classe.

    Primo foglio di esercizi da consegnare il 26 ottobre.

    Programma preliminare
    Calendario dei laboratori


    Formule di Frenet
    Diario delle lezioni
    13 dicembreHessiano della funzione norma al quadrato: ogni superficie compatta in $R^3$ ha un punto ellittico. Una superficie con tutti punti ombellicali è contenuta in un piano o in una sfera. Isometrie isometrie locali tra superfici. Esempi, il Catenoide e l'Elicoide. Domanda guida: la sfera e' localmente isometrica al piano ?
    11 dicembre Applicazioni della forma quadratica Hessiano di una funzione in un suo punto critico. La funzione distanza da un piano affine; segno della curvatura di Gauss e posizione del piano tangente. Per ogni superficie compatta l'applicazione di Gauss -- ristretta al chiuso dei punti in cui la curvatura di Gauss è non negativa -- è suriettiva.
    6 dicembre Calcolo della curvatura in coordinate locali. Esempio, la curvature della superfici di rotazione. Hessiano di una funzione liscia su una superficie in un suo punto critico.
    4 dicembre Seconda forma fondamentale di una superficie in ${\mathbb R}^3$. La sua restrizione al cerchio dei versori tangenti è una funzione liscia a valori nell'intervallo $[k_1,k_2]$ e, a meno del segno, coincide, con la curvatura delle sezioni normali alla superficie.
    29 novembre Prima forma fondamentale, esempi. La curvatura di una superficie in ${\mathbb R}^3$ è la derivata dell'applicazione di Gauss che risulta essere un operatore autoaggiunto sul piano tangente e quindi ha due autovalori reali dette curvature principali. Curvatura di Gauss e Madia, punti ombellicali, ellittici, iperbolici, parabolici e planari.
    27 novembre Il versore normale e l'applicazione di Gauss di una superficie in ${\mathbb R}^3$. L'applicazione di Gauss è ben definita se solo se la superficie è orientabile. Esempi di superfici orientabili: superfici di tipo grafico e immagine inversa di valore regolare. Un esempio di superficie non-orientabile: il nastro di Möbius. Ogni superficie chiusa in ${\mathbb R}^3$ è orientabile (solo enunciato): il piano proiettivo, la bottiglia di Klein,... non vivono in ${\mathbb R}^3$. Geometria Riemanniana, la nozione di metrica Riemanniana su varietà lisce e prima forma fondamentale di una superfice in ${\mathbb R}^3$.
    22 NovembreLa nozione di derivata di una funzione su una superficie e di applicazione tra superfici. Significato geometrico e interpretazione in coordinate locali. Il teorema dell'applicazione inversa tra superfici. Esempio: caratterizzazione geometrica della funzione distanza da un piano. Ripasso: il prodotto vettoriale in ${\mathbb R}^3$.
    20 novembre Il piano tangente a una superficie (cioè l'insieme dei vettori tangenti) coincide con l'immagine della derivata di una qualunque carta locale. Equazione piano tangente di una superficie immagine inversa di un valore regolare. Funzioni e applicazioni lisce, diffeomeorfismi tra superfici. Esempi.
    15 novembre Applicazioni e esempi. Superfici di rotazione. Piano tangente a una superficie in un punto. Come immagine della derivata di una carta locale e come insieme dei vettori tangenti alle curve sulla superficie.
    13 novembre Superfici regolari in ${\mathbb R}^3$. Definizione, commenti e esmpi. Superfici di tipo 'grafico'. Ogni superficie regolare è localmente di tipo grafico. Superfici come immagine inversa di valori regolari.
    30 ottobre Curvatura delle curve in ${\mathbb R}^3$ e versore normale. Curve piane, curvatura con segno e dimostarzione del teorema fondametale della geometria locale delle curve piane.
    26 ottobre Correzione in classe degli esercizi per casa.
    25 ottobreLa lunghezza è un invariante geometrico. Ascissa curvilinea. Ogni curva regolare può essere parametrizzata con ascissa curvilinea. Le geodetiche dello spazio Euclideo sono le rette.
    23 ottobreGeometria delle curve lisce nello spazio Euclideo. Curve liscie parametrizzate, traccia di una curva. Esempi di curve, anche iniettive immerse ma non-imbedded. Vettore tangente, retta tangente a una curva regolare in un punto. Lunghezza di una curva.
    18 ottobreCaratteristica di Eulero di una triangolazione finita e di una superficie. Invarianza topologica della caratteristica di Eulero. Esempi, cilindro, sfera, toro con diverse triangolazioni. Teorema di classificazione delle superfici compatte con dimostrazione completa. Calcolo della caratteristica di Eulero e dell'orientabilità di un poligono a identificazione.
    16 ottobreOrientazione e orientabilità delle Superfici. Orientazione di un triangolo e dell'unione di due triangoli con un lato comune. Orientabilità di una triangolazione. Raffinamento di triangolazioni e invarianza topologica dell'orientabilità. Applicazioni: il cilindro non è omeomorfo al nastro di Möbius e la sfera non e' omeomorfa al piano proeittivo.
    11 ottobre Una superficie compatta è omeomorfa alla sfera, alla somma connessa di tori oppure alla somma connessa di piani proiettivi. Dimostrazione completa usando il taglia e cuci.
    9 OttobreOgni superficie è omeomorfa a un poligono etichettato. Esempio: sfera, tetraedro, cubo. Somma connessa definizioni e proprietà. L'etichetta della somma connessa di due superfici è la giustapposizione delle loro etichette. Chirurgia topologica: la bottiglia di Klein è omeomorfa alla somma connessa di due piani proiettivi.
    4 Ottobre Classificazione topologica delle 1-varietà. Lo spazio quoziente di un poligoni con un numero pari di lati identificati a due a due e' una superficie topologica. Esempi di nuove superfici.
    2 Ottobre Esempi non orientabili: piano proiettivo, nastro di Maebius con parametrizzazione e relativi poligoni a identificazione. Complessi simpliciali.
    28 settembre Esempi di curve e superfici come spazio quoziente: Cerchio, Cilindro, Sfera, coordinate geografiche sulla sfera. Toro, parametrizzazione del toro di rotazione e relativi poligoni a identificazione.
    27 settembre Introduzione al corso: prerequisiti, obbiettivi, modalità d'esame. Richiami di topologia: varietà topologiche, topologia quoziente, lemma dell'applicazione chiusa.