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Diario delle lezioni |
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19 dicembre | Theorema Egregium di Gauss. Dimostrazione in coordinate isoterme. Corollario: problema
geografico, la sfera non è localmente isometrica al piano. Il teorema Egregium non si inverte,
controesempio: il Catenoide e l'imbuto logaritmico hanno stessa curvatura di Gauss pur non
essendo localmente isometrici.
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17 dicembre | Isometrie di superfici. Esempi. L'elicoide e il Catenoide sono localmente isometrici.
Isometrie conformi e Teorema di esistenza di coordinate isoterme (senza dimostrazione).
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| 12 dicembre | L'applicazione di Gauss è suriettiva, per ogni superficie compatta. Studio della funzione
norma la quadrato. Applicazione: ogni superficie compatta in $\mathbb R ^3$ ha punti
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| 10 dicembre |
Calcolo della curvatura di una superficie in coordinate locali. Caso delle superfici
di rotazione. Hessiano di una funzione liscia su superficie, in un suo punto critico.
Caso della funzione distanza da un piano affine. Applicazione: posizione del piano
tangente e segno della curvatura di Gauss.
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| 5 dicembre | La seconda forma fondamentale di una superficie nello spazio euclideo. Proprietà algebriche
e proprietà geometriche: curvatura normale di una curva su una superficie. Sezioni normali.
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| 3 dicembre |
La curvatura della sfera, la curvatura come operatore sul piano tangente. Richiami di algebra
bilineare: operatori autoaggiunti e Teorema Spettrale. La curvatura è un operatore autoaggiunto.
Curvature principali, curvatura di Gauss e Media. Punti ellitti, iperbolici, parabolici, e
planari. |
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28 novembre |
Applicazione di Gauss e non-orietabiltà del nastro di Möbius. Metriche Riemanniane su
varietà: esempio la prima forma fondamentale di una superficie in $\mathbb R ^3$. Calcolo della
prima forma fondamentale in coordinate locali. Esempi. Curvatura di una superficie in $\mathbbR ^3$.
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| 26 Novembre | Derivata in coordinate locali: i punti critice sono punti in cui la matrice Jacobiana non ha
rango massimo. Caratterizzazione geometrica dei punti critici della funzione altezza-con-segno.
Teorema dell'applicazione inversa: un'applicazione liscia tra superfici è un diffeomorfismo
locale se e solo se la sua derivata è un isomorfismo lineare. L'applicazione di Gauss di una
superficie $\Sigma\subset \mathbb R ^3$ è sempre liscia ed esiste se e solo se $\Sigma$ è
orientabile.
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19 novembre | Piano tangente a una superficie in un punto. Interpretazione geometrica della derivata di
un'applicazione di piu' variabili e dimostrazione che l'insieme dei vettori tangenti coincide con l'immagine della derivata di una carta locale qualunque.
Piano tangente algebrico e piano tangente geometrico. Esempi. Il caso delle superfici immagine inversa di un valore regolare: il gradiente è
sempre perpendicolare alle curve di livello. Equazione piano tangente a superfici di livello.
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15 novembre | Superfici come immagine inversa di valori regolari. Applicazioni ed esempi. Superfici di rotazione.
Criteri topologici per la caratterizzazione di carte locali.
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| 12 novembre | Superfici regolari in ${\mathbb R}^3$. Definizione, commenti e esmpi. Superfici di tipo 'grafico'.
Ogni superficie regolare è localmente di tipo grafico. Ogni superficie regolare รจ localmente il grafico di una funzione liscia di due variabili
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| 29 ottobre | Curvatura delle curve in ${\mathbb R}^3$, curve biregolari e versore normale. Curve piane, curvatura con segno e
dimostrazione del teorema fondametale della geometria locale delle curve piane.
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| 24 ottobre | Definizione di ascissa curvilinea di una curva regolare. Esempi, cerchio, cicolide. Ogni curva regolare
può essere riparametrizzata per ascissa curvilinea. Applicazione: le rette sono le geodetiche dello spazio Euclideo.
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| 22 ottobre | Introduzione alla geometria differenziale. Curve lisce e curve regolari. Esempi, controesempi.
Il vettore tangente, retta tangente algebrica e ratta tangente geometrica. Lunghezza di una curva.
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| 17 ottobre |
Teorema di classificazione delle superfici compatte. Dimostrazione usando
la caratteristica e orientabilità
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| 15 ottobre | Orientazione di un triangolo e di due triangoli con un lato in comnune.
Orientabilità di una triangolazione. Raffinamenti di triangolazioni.
L'orientabilità è invariante per raffinamenti. Applicazione: l'oreintabiltà è un invariante
topologico delle superfici compatte, o più in generale per le superfici che ammettono una
triangolazione finita. Con lo stesso procedimento: definizione di caratteristica di Eulero
e invarianza topologica della caratteristica di Eulero.
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| 11 ottobre |
Ogni superficie compatta è omeomorfa alla sfera, oppure alla somma connessa di g Tori oppure alla somma connessa di
k piani proiettivi. Dimostrazione, chirurgia topologica.
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| 10 Ottobre | Ogni superficie è omeomorfa a un poligono etichettato. Esempio: sfera, tetraedro, cubo.
Somma connessa di varietà topologiche. Esempi di somma connessa di superfici compatte.
La somma connessa di due poligoni a identificazione ha come etichetta la giustapposizione
delle etichette.
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| 4 Ottobre | Complessi simpliciali omeomorfi a varietà topologiche; enunciato Teorema triangolabilità.
Applicazione: classificazione delle 1-varieà topologiche (curve).
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| 1 Ottobre | Ulteriori esempi di superfici come poligoni a identificazione e loro etichette:
il piano proiettivo e il nastr di Möbius. Le superfici chiuse in $\mathbf{R}^3$ sono orientabili.
Complessi simpliciali: il simplesso standard. Proprietà e esempi.
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| 26 settembre | Esempi di curve e superfici come spazi topologici quoziente. Il cerchio $S^1$.
Coordinate geografiche sulla sfera. $S^2$ è omeomorfo al poligono a identificazione
$aa^{-1}$. Il Toro di rotazione è omeomorfo al poligono etichettato $aba^{-1}b^{-1}$.
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| 24 settembre | Descrizione del corso, modalita' esame, libri di testo. Didattica interattiva.
Verieta' topologiche e topologia quoziente.
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