GE310 Istituzioni di Geometria Superiore
a.a. 2018-19
Prof. Massimiliano Pontecorvo
Laboratorio a cura del Dr. Valerio Talamanca

AVVISI

il primo compito in itinere si svolgerà
giovedì 8 novembre alle ore 14 in aula B3
per poter partecipare e' necessario prenotarsi sul web-studenti
sul programma: classificazione topologica di curve e superfici. Curve lisce, regolari e loro lunghezza.




Materiale del corso

Quarto foglio di esercizi da consegnare il 9 Gennaio (al secondo esonero)

Terzo foglio di esercizi da consegnare il 19 dicembre, in classe.

Secondo foglio di esercizi da consegnare mercoledì 5 Dicembre, in classe.

Primo foglio di esercizi da consegnare il 31 ottobre.

Programma provvisorio
Calendario dei laboratori
Formule di Frenet

Diario delle lezioni
19 dicembre Theorema Egregium di Gauss. Dimostrazione in coordinate isoterme. Corollario: problema geografico, la sfera non è localmente isometrica al piano. Il teorema Egregium non si inverte, controesempio: il Catenoide e l'imbuto logaritmico hanno stessa curvatura di Gauss pur non essendo localmente isometrici.
17 dicembre Isometrie di superfici. Esempi. L'elicoide e il Catenoide sono localmente isometrici. Isometrie conformi e Teorema di esistenza di coordinate isoterme (senza dimostrazione).
12 dicembreL'applicazione di Gauss è suriettiva, per ogni superficie compatta. Studio della funzione norma la quadrato. Applicazione: ogni superficie compatta in $\mathbb R ^3$ ha punti
10 dicembre Calcolo della curvatura di una superficie in coordinate locali. Caso delle superfici di rotazione. Hessiano di una funzione liscia su superficie, in un suo punto critico. Caso della funzione distanza da un piano affine. Applicazione: posizione del piano tangente e segno della curvatura di Gauss.
5 dicembreLa seconda forma fondamentale di una superficie nello spazio euclideo. Proprietà algebriche e proprietà geometriche: curvatura normale di una curva su una superficie. Sezioni normali.
3 dicembre La curvatura della sfera, la curvatura come operatore sul piano tangente. Richiami di algebra bilineare: operatori autoaggiunti e Teorema Spettrale. La curvatura è un operatore autoaggiunto. Curvature principali, curvatura di Gauss e Media. Punti ellitti, iperbolici, parabolici, e planari.
28 novembre Applicazione di Gauss e non-orietabiltà del nastro di Möbius. Metriche Riemanniane su varietà: esempio la prima forma fondamentale di una superficie in $\mathbb R ^3$. Calcolo della prima forma fondamentale in coordinate locali. Esempi. Curvatura di una superficie in $\mathbbR ^3$.
26 NovembreDerivata in coordinate locali: i punti critice sono punti in cui la matrice Jacobiana non ha rango massimo. Caratterizzazione geometrica dei punti critici della funzione altezza-con-segno. Teorema dell'applicazione inversa: un'applicazione liscia tra superfici è un diffeomorfismo locale se e solo se la sua derivata è un isomorfismo lineare. L'applicazione di Gauss di una superficie $\Sigma\subset \mathbb R ^3$ è sempre liscia ed esiste se e solo se $\Sigma$ è orientabile.
19 novembre Piano tangente a una superficie in un punto. Interpretazione geometrica della derivata di un'applicazione di piu' variabili e dimostrazione che l'insieme dei vettori tangenti coincide con l'immagine della derivata di una carta locale qualunque. Piano tangente algebrico e piano tangente geometrico. Esempi. Il caso delle superfici immagine inversa di un valore regolare: il gradiente è sempre perpendicolare alle curve di livello. Equazione piano tangente a superfici di livello.
15 novembre Superfici come immagine inversa di valori regolari. Applicazioni ed esempi. Superfici di rotazione. Criteri topologici per la caratterizzazione di carte locali.
12 novembre Superfici regolari in ${\mathbb R}^3$. Definizione, commenti e esmpi. Superfici di tipo 'grafico'. Ogni superficie regolare è localmente di tipo grafico. Ogni superficie regolare รจ localmente il grafico di una funzione liscia di due variabili
29 ottobre Curvatura delle curve in ${\mathbb R}^3$, curve biregolari e versore normale. Curve piane, curvatura con segno e dimostrazione del teorema fondametale della geometria locale delle curve piane.
24 ottobreDefinizione di ascissa curvilinea di una curva regolare. Esempi, cerchio, cicolide. Ogni curva regolare può essere riparametrizzata per ascissa curvilinea. Applicazione: le rette sono le geodetiche dello spazio Euclideo.
22 ottobreIntroduzione alla geometria differenziale. Curve lisce e curve regolari. Esempi, controesempi. Il vettore tangente, retta tangente algebrica e ratta tangente geometrica. Lunghezza di una curva.
17 ottobre Teorema di classificazione delle superfici compatte. Dimostrazione usando la caratteristica e orientabilità
15 ottobreOrientazione di un triangolo e di due triangoli con un lato in comnune. Orientabilità di una triangolazione. Raffinamenti di triangolazioni. L'orientabilità è invariante per raffinamenti. Applicazione: l'oreintabiltà è un invariante topologico delle superfici compatte, o più in generale per le superfici che ammettono una triangolazione finita. Con lo stesso procedimento: definizione di caratteristica di Eulero e invarianza topologica della caratteristica di Eulero.
11 ottobre Ogni superficie compatta è omeomorfa alla sfera, oppure alla somma connessa di g Tori oppure alla somma connessa di k piani proiettivi. Dimostrazione, chirurgia topologica.
10 OttobreOgni superficie è omeomorfa a un poligono etichettato. Esempio: sfera, tetraedro, cubo. Somma connessa di varietà topologiche. Esempi di somma connessa di superfici compatte. La somma connessa di due poligoni a identificazione ha come etichetta la giustapposizione delle etichette.
4 Ottobre Complessi simpliciali omeomorfi a varietà topologiche; enunciato Teorema triangolabilità. Applicazione: classificazione delle 1-varieà topologiche (curve).
1 OttobreUlteriori esempi di superfici come poligoni a identificazione e loro etichette: il piano proiettivo e il nastr di Möbius. Le superfici chiuse in $\mathbf{R}^3$ sono orientabili. Complessi simpliciali: il simplesso standard. Proprietà e esempi.
26 settembre Esempi di curve e superfici come spazi topologici quoziente. Il cerchio $S^1$. Coordinate geografiche sulla sfera. $S^2$ è omeomorfo al poligono a identificazione $aa^{-1}$. Il Toro di rotazione è omeomorfo al poligono etichettato $aba^{-1}b^{-1}$.
24 settembre Descrizione del corso, modalita' esame, libri di testo. Didattica interattiva. Verieta' topologiche e topologia quoziente.