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Corso AC310 (Analisi complessa) - a.a. 2014/2015

DIARIO delle LEZIONI

1 (24/09/14). Richiami di numeri complessi: proprietà algebriche e topologiche. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi: coordinate polari e proiezione stereografica.

2 (24/09/14). Funzioni olomorfe. Esempi: polinomi e funzioni razionali. Equazioni di Cauchy-Riemann.

3 (26/09/14). Esempi di funzioni non olomorfe. Serie di potenze. Esempio: la serie geometrica.

4 (26/09/14). Raggio di convergenza di una serie di potenze. Convergenza assoluta e uniforme di una serie di potenze. Olomorficità di una serie di potenze
e formula per la derivata.

5 (01/10/14). L'algebra delle serie di potenze formali. Ordine di una serie di potenze. Esistenza dell'inverso. La composizione di serie di potenze.

6 (01/10/14). Esistenza di un inverso per composizione. Il campo dei quozienti del dominio delle serie formali è il campo delle serie di Laurent.

7 (03/10/14). Derivata di serie formali. Serie di potenze convergenti. Convergenza della somma e del prodotto di una serie di potenze convergenti.

8 (03/10/14). Convergenza della derivata di una serie convergente. Convergenza dell'inverso di una serie convergente.

9-10 (08/10/14). La composizione di serie convergenti è convergente.

11 (10/10/14). L'inverso per composizione di una serie convergente è convergente.

12 (10/10/14). Funzioni analitiche. Sviluppo in serie locale di una funzione analitica. Le funzioni analitiche sono infinitamente derivabili e tutte le loro derivate sono analitiche.

13 (15/10/14). Somma, prodotto, inverso e composizione di funzioni analitiche sono analitiche. Le funzioni analitiche hanno una primitiva analitica locale,
unica a meno di costante.

14 (15/10/14). Una serie convergente definisce una funzione analitica nel suo disco di convergenza. Il teorema della funzione inversa.

15 (17/10/14). Ogni funzione analitica è localmente, a meno di traslazioni e cambio di coordinate, l'elevazione ad una potenza. Il teorema della funzione aperta.

16 (17/10/14). Il teorema del massimo modulo locale e globale. Gli zeri di una funzione analitica sono discreti. Dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra
(usando il teorema del massimo modulo).

17 (20/10/14). L'integrale di una funzione continua complessa lungo una curva C^1 a tratti. Una funzione continua ammette una primitiva se e solo se
il suo integrale è zero lungo una qualsiasi curva chiusa.

18 (20/10/14). L'integrale di successioni e serie uniformemente convergenti. Esempio: l'integrale di una serie di Laurent lungo una circonferenza.

19 (22/10/14). Una funzione olomorfa in un disco ammette una primitiva.

20 (22/10/14). L'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva continua (non necessariamente C^1 a tratti).

21 (24/10/14). L'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva dipende solo dalla classe di omotopia della curva.

22 (24/10/14). Una funzione olomorfa su un aperto semplicemente connesso ammette una primitiva. La formula integrale (o locale) di Cauchy.

23 (27/10/14). Formula di Cauchy per lo sviluppo in serie di una fuzione olomorfa. Corollari: le funzioni olomorfe sono analitiche, formula integrale di Cauchy
per le derivate di una funzione olomorfa, una serie di potenze non è olomorfa in almeno un punto del bordo del disco di convergenza.

24 (27/10/14). Una funzione intera con andamento polinomiale all'infinito è un polinomio. Una funzione intera limitata è costante (teorema di Liouville).
Applicazione: dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra. Esercizio: la funzione esponenziale e le sue proprietà. Le funzioni trigonometriche complesse.

25 (29/10/14). Numero di avvolgimento di una curva intorno ad un punto e sue proprietà.

26 (29/10/14). Curve omologhe a zero in un aperto. La formula globale di Cauchy (solo enunciato).

27 (31/10/14). ESERCIZI: la serie binomiale; il criterio di isomorfismo globale; il criterio di identità per serie convergenti.

28 (31/10/14). ESERCIZI: la definizione e le proprietà del logaritmo su un disco non contenente l'origine.

29 (21/11/14). Catene e cicli. Integrazione lungo una catena. Numero di avvolgimento di un ciclo. Cicli omologhi a zero. Esempi.

30 (21/11/14). Il primo gruppo di omologia (a coefficienti interi) di un aperto. Calcolo del primo gruppo di omologia di un aperto con numero di connettività finita.

31 (24/11/14). La formula globale di Cauchy e il Teorema di Cauchy sull'invarianza omologica: loro equivalenza.

32 (24/11/14). La dimostrazione del Teorema di Cauchy (tratta dal libro di Alfhors).

33 (26/11/14). Successioni (e serie) di funzioni olomorfe uniformemente convergenti sui compatti: olomorficità della funzione limite; la derivata e l'integrale su una catena
si possono scambiare col limite.

34 (26/11/14). Serie di Laurent convergenti e funzioni olomorfe su una corona circolare.

35 (28/11/14). Singolarità isolate: singolarità rimuovibili, poli, singolarità essenziali. Esempi. Funzioni razionali e meromorfe. Il dominio delle funzioni olomorfe vs
il campo delle funzioni meromorfe su un aperto connesso.

36 (28/11/14). I teoremi (di Riemann e Casorati-Weierstrass) di caratterizzazione delle singolarità isolate.

37 (01/12/14). Il teorema dei residui: versione locale e globale.

38 (01/12/14). La derivata logaritmica di una funzione meromorfa. Il principio dell'argomento.

39 (05/12/14). Il teorema della mappa e il teorema di uniformizzazione (senza dimostrazione). Esempi: il disco e il semipiano superiore sono biolomorfi (trasformata di Cayley),
il rivestimento universale di C^* è il piano complesso e la mappa di rivestimento è l'esponenziale.

40 (05/12/14). La retta proiettiva complessa come compattificazione del piano complesso. La retta proiettiva complessa è omeomorfa alla sfera tramite proiezione stereografica.
Il gruppo proiettivo lineare PGL₂ agisce sulla retta proiettiva complessa tramite trasformazioni lineari fratte (o di Moebius).

41 (10/12/14). Il gruppo degli automorfismi del piano complesso.

42 (10/12/14). Il Lemma di Schwarz. Il gruppo degli automorfismi del disco unitario.

43 (12/12/14). La classificazione dei sottogruppi degli automorfismi del piano complesso che agiscono in maniera libera e propriamente discontinua (senza dimostrazione)
e studio dei quozienti.

44 (12/12/14). Elementi di funzione e continuazione analitica. Funzioni analitiche globali. Il logaritmo come funzione analitica globale.

45 (17/12/14). Germi di funzioni olomorfe. Il fascio (dei germi) delle funzioni olomorfe (come spazio topologico). Le sezioni del fascio delle funzioni olomorfe sono funzioni olomorfe.

46 (17/12/14). La superficie di Riemann associata ad una funzione analitica globale. La corrispondenza tra superfici di Riemann e componenti connesse del fascio delle funzioni olomorfe.

47 (19/12/14). Esempi di superfici di Riemann. Funzioni (analitiche globali) algebriche. Il polinomio irriducibile in due variabili associato ad una funzione algebrica.

48 (19/12/14). Richiamo sul risultante di due polinomi. La funzione algebrica associata ad un polinomio irriducibile in due variabili.