Corso AC310 (Analisi complessa) - a.a. 2021/2022 (Secondo Semestre)

DIARIO delle LEZIONI

• 1-2 (21/02/22).  Richiami di numeri complessi : proprieta' algebriche (spazio vettoriale su \(\mathbb{R}\), coniugio complesso, campo algebricamente chiuso) e topologiche (norma, distanza, topologia). La compattificazione ad un punto del campo dei numeri complessi e la sua identificazione con la sfera via proiezione stereografica. Rappresentazione polari dei numeri complessi.
  
• 3-4 (22/02/22).  Funzioni olomorfe. Esempi: polinomi, funzioni razionali, l'esponenziale complesso. Non-esempio: il coniugio complesso. Equazioni di Cauchy-Riemann.
  
• 5-6 (24/02/22).  Teorema di Cauchy-Riemann: una funzione f e' olomorfa in \(z_0=x_0+iy_0\) se e solo se la parte reale \(u(x,y)=\rm{Re}(f)(x+iy)\) e la parte immaginaria \(v(x,y)=\rm{Im}(f)(x+iy)\) sono \(C^1\) in \((x_0,y_0)\) e valgono le equazioni di Cauchy-Riemann \(u_x(x_0,y_0)=v_y(x_0,y_0)\) e \(u_y(x_0,y_0)=-v_x(x_0,y_0)\). Esercizi sulle equazioni di Cauchy-Riemann.
  
• 7-8 (07/03/22).  La \(\mathbb{C}\)-algebra \(\mathbb{C}[[T]]\) delle serie di potenze formali. La funzione ordine di una serie di potenze e' una valutazione discreta. Conseguenze: \(\mathbb{C}[[T]]\) e' un dominio; le unit\'a di \(\mathbb{C}[[T]]\) sono le serie di potenze di ordine zero.
  
• 9 (10/03/22).  Lemmi: ogni serie si scrive come \(f=T^n \cdot u(T)\) con \(n={\rm ord}(f)\) e \(u(T)\) invertibile; gli ideali non-zero sono \((T^n)\) e formano una catena. La composizione di serie di potenze. Una serie \( f\) ammette un inverso sinistro per composizione se e solo se \({\rm ord}(f)=1\).
  
• 10-11 (14/03/22).  Il campo dei quozienti di \(\mathbb{C}[[T]]\) e' il campo \(\mathbb{C}((T))\) delle serie di Laurent. Derivata di serie di potenze e serie di Laurent. Proprieta' algebriche: linearita', regola di Leibniz, regola della catena, formula di Taylor. Proposizione: (A) esiste una succesione esatta \( 0\to \mathbb{C}\to \mathbb{C}[[T]]\xrightarrow{D} \mathbb{C}[[T]]\to 0\); (B) esiste una successione esatta \( 0\to \mathbb{C}\to \mathbb{C}((T))\xrightarrow{D} \mathbb{C}((T))\xrightarrow{\rm{Res}} \mathbb{C}\to 0\), dove \({\rm Res}\) e' la mappa residuo.
  
• 12 (17/03/22).  Convergenza puntuale, uniforme, assoluta e assoluta uniforme di una serie complessa \(\sum_n a_n z^n\): definizioni e relazioni. Esempio: la serie geometrica \(\sum_n z^n\) converge assolutamente uniformemente sui compatti di \(D_1(0)\) a \(1/(z-1)\), e diverge in ogni punto fuori da \(\overline{D_1(0)}\).
  
• 13-14 (21/03/22).  Il teorema di Abel-Hadamard: una serie di potenze \(\sum_n a_n z^n\) converge assolutamente e uniformemente sui compatti del disco \(D_R(0)\) dove \(1/R:= \limsup \sqrt[n]{|a_n|}\), mentre diverge su tutti i punti fuori da \(\overline{D_R(0)}\). Una serie di potenze \(\sum_n a_n z^n\) converge nel disco di convergenza ad una funzione olomorfa la cui derivata e' il limite della serie derivata.
  
• 15-16 (22/03/22).  L'anello \(\mathbb{C}{T}\) delle serie convergenti e sue proprieta': \(\mathbb{C}{T}\) e' una sottoalgebra di \(\mathbb{C}[[T]]\); \(\mathbb{C}{T}\) e' stabile rispetto all'inverso moltiplicativo; \(\mathbb{C}{T}\) e' stabile rispetto alla composizione e all'inversa per composizione; \(\mathbb{C}{T}\) e' stabile rispetto alla derivata. La serie esponenziale \(e^T:=\sum_n \frac{T^n}{n!}\) e sue proprieta': raggio di convergenza infinito; \(e^T\) e' l'unica serie di potenze tale che \(D(e^T)=e^T\) e \(e^0=1\); formule \(e^{z+w}=e^ze^w\) e \(e^{x+iy}=e^x(\cos y+i \sin y)\). Applicazione: il seno e coseno complesso.
  
• 17-18 (24/03/22).  Relazione tra operazioni sulle serie convergenti e operazioni sulle funzioni associate: somma e moltiplicazione; derivata; composizione; inverso moltiplicativo e inverso per composizione.
  
• 19-20 (28/03/22).  Funzioni analitiche e loro proprieta': le funzioni analitiche sono derivabili infinite volte; lo sviluppo in serie \(\sum_n a_n (z-z_0)^n\) di una funzione analitica in \(z_0\) e' unico e vale la formula di Taylor \(a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}\); il prodotto di funzioni analitiche e' analitico; se f e' analitica e diversa da zero, allora \(1/f\) e' analitica; la composizione dei funzioni analitiche e' analitica; una serie di potenze definisce una funzione analitica sul disco di convergenza; una funzione analitica ammette una primitiva locale; una funzione analitica con derivata identicamente nulla in un intorno di \(z_0\) e' localmente costante in \(z_0\). Il teorema della funzione inversa : una funzione analitica f in \(z_0\) con \(f'(z_0)\neq 0\) e' un isomorfismo analitico locale in \(z_0\).
  
• 21-22 (04/04/22).  Forma canonica di una funzione analitica: ogni funzione analitica e' isomorfa, a meno di traslazioni e cambi di coordinate, ad una potenza \(z^n\). Teorema della mappa aperta : una funzione analitica in \(z_0\) e non localmente costante e' aperta in un intorno di \(z_0\). Corollario: una funzione analitica iniettiva e' un isomorfismo analitico.
  
• 23-24 (05/04/22).  Principio del massimo modulo locale : una funzione analitica in \(z_0\) e non localmente costante e' tale che \(|f|\) non ammette un massimo locale in \(z_0\). Proprieta' degli zeri delle funzioni analitiche: se \(z_0\) e' uno zero di una funzione analitica e non localemnte costante in \(z_0\) allora \(z_0\) e' uno zero isolato; gli zeri di una funzione analitica non costante su un aperto connesso sono discreti. Lemma: se una funzione analitica su un aperto connesso e' localmente costante in un punto, allora la funzione e' costante. Principio del massimo modulo globale : una funzione analitica non costante su un aperto connesso e' tale che \(|f|\) non ammette un massimo. Applicazione: la dimostrazione del Teorema fondamentale dell'algebra usando il principio del massimo modulo globale.
  
• 25-26 (26/04/22).  L' integrale di una funzione continua complessa lungo una curva \(C^1\) e lungo un cammino (=curva \(C^1\) a tratti). Esempio: l'integrale di \(z^n\) lungo una circonferenza centrata nell'origine. Lemma: l'integrale lungo un cammino e' invariante per riparametrizzazione. Criterio per l'esistenza di una primitiva: una funzione continua ammette una primitiva se e solo se il suo integrale e' zero lungo una qualsiasi curva chiusa.
  
• 27-28 (28/04/22).  L'integrale di successioni e serie uniformemente convergenti. Esempio: l'integrale di una serie di Laurent convergente lungo una circonferenza e' uguale al residuo moltiplicato per \(2\pi i\). ESERCIZI: il criterio della radice per la convergenza di una serie di numeri non-negativi; caratterizzazioni alternative del raggio di convergenza di una serie.
  
• 29-30 (02/05/22).  Teorema: una funzione olomorfa su un disco ammette una primitiva. Corollario: ogni funzione olomorfa ammette una primitiva localmente. ESERCIZIO: il principio di identita' di serie convergenti.
  
• 31-32 (03/05/22).  Definizione/Teorema: l'integrale di una funzione olomorfa lungo una curva continua. L'omotopia tra curve continue. Il teorema di invarianza omotopica dell'integrale.
  
• 33-34 (09/05/22).  Teorema di esistenza globale di una primitiva: una funzione olomorfa su un aperto semplicemente connesso ammette una primitiva. La formula integrale (o locale) di Cauchy: \(f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma} \frac{f(w)}{w-z}dw\) per ogni circonferenza \(\gamma\) intorno a \(z\) e interamente contenuta, insieme al suo interno, nel dominio di olomorfia di f.
  
• 35-36 (10/05/22).  Formula di Cauchy per lo sviluppo in serie di una fuzione olomorfa: una funzione olomorfa in \(z_0\) ammette un'espansione in serie \(f(z)\sum_n a_n (z-z_0)^n\) in \(z_0\) con \(a_n= \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}dw\) per una circonferenza \(\gamma_r(z_0)\) piccola centrata in \(z_0\). Corollari immediati: le funzioni olomorfe sono analitiche, una serie di potenze non e' olomorfa in almeno un punto del bordo del disco di convergenza. Corollario 1: una funzione intera con andamento polinomiale all'infinito e' un polinomio. Caso speciale: una funzione intera limitata e' costante (teorema di Liouville),
  
• 37-38 (13/05/22).  Applicazione: dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra usando il teorema di Liouville. Corollario 2: formula integrale di Cauchy per le derivate di una funzione olomorfa. Numero di avvolgimento \(W(\gamma,\alpha)\) di una curva chiusa \(\gamma\) intorno ad un punto \(\alpha\): definizione ed esempi. Proprieta' del numero di avvolgimento di una curva chiusa: definizione analitica, costanza nelle componenti connesse del complementare della curva.
  
• 39-40 (16/05/22).  Curve chiuse omologhe a zero in un aperto. Formula globale di Cauchy (con inizio di dimostrazione): \( \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma} \frac{f(w)}{w-z}dw=W(\gamma,z)f(z)\) per ogni funzione olomorfa f su U, curva chiusa \(\gamma\) omologa a zero su U, e \(z\in U\setminus \gamma\).
  
• 41-42 (17/05/22).  Fine dimostraione della formula globale di Cauchy. Catene e cicli: integrazione lungo catene, numero di avvolgimento di cicli, cicli omologhi, formula globale di Cauchy per cicli.
  
• 43-44 (17/05/22).  Il primo gruppo di omologia \(H_1(U)\) di un aperto. Proposizione: se U e' un aperto connesso e \(b\in U\) e' un punto base, esiste un omomorfismo suriettivo di gruppi \(\pi_1(U,b)\to H_1(U)\). Fatto (senza dimostrazione): \(H_1(U)\) e' l'abelianizzato di \(\pi_1(U, b)\). Esempi: il primo gruppo di omologia e il primo gruppo fondamentale di \(\mathbb{C}\setminus \{p_1,\ldots, p_k\}\). Il teorema di invarianza omologica.
  
• 45-46 (19/05/22).  Successioni di funzioni olomorfe uniformemente convergenti sui compatti: olomorficita' della funzione limite; la derivata e l'integrale su una curva \(C^1\) a tratti si possono scambiare col limite.
  
• 47-48 (20/05/22).  Serie di Laurent infinite convergenti e funzioni olomorfe su una corona circolare.
  
• 49-50 (23/05/22).  Singolarita' isolate: singolarita' rimuovibili, poli, singolarita' essenziali. Esempi. Funzioni razionali. I teoremi (di Riemann e Casorati-Weierstrass) di caratterizzazione delle singolarita' isolate.
  
• 51-52 (24/05/22).  Il teorema dei residui: versione locale e globale.
  
• 53-54 (24/05/22).  ESERCIZI sul logaritmo complesso: il logaritmo con serie di potenze; il logaritmo sulle palle di \(\mathbb{C}^*\); il logaritmo su aperti di \(\mathbb{C}^*\) e la sua relazione con le primitive di \(1/z\).
  
• 55-56 (26/05/22).  Funzioni meromorfe e loro proprieta'. La derivata logaritmica delle funzioni meromorfe. Il principio dell'argomento. Caso particolare: numero di zeri e poli all'interno di una circonferenza. Applicazione: dimostrazione del Teorema fondamentale dell'Algebra usando il principio dell'argomento.
  
• 57-58 (27/05/22).  Il problema della classificazione dei domini di \(\mathbb{C}\) a meno di biolomorfismi. Fatto 1 (Teorema della mappa di Riemann, senza dimostrazione): ogni dominio \(U\subsetneq \mathbb{C}\) semplicemente connesso e' biolomorfo al disco \(\mathbb{D}\) unitario. Fatto 2 (Teorema di uniformizzazione di Riemann, senza dimostrazione): il rivestimento universale di un dominio \(U\subseteq {\mathbb C}\) e' biolomorfo a (1) \(\mathbb{C}\) se \(|{\mathbb C}\setminus U|\leq 1\); (2) \(\mathbb{D}\) se \(|{\mathbb C}\setminus U|\geq 2\), e la mappa di rivestimento e' olomorfa. Corollario: ogni dominio di \(\mathbb{C}\) e' bilomorfo ad un quoziente di \(\mathbb{C}\) o \(\mathbb{D}\) per un sottogruppo del gruppo di \({\rm Aut}(\mathbb{C})\) o di \({\rm Aut}(\mathbb{D})\) che agisce in maniera libera e propriamente discontinua. Il gruppo \({\rm Aut}({\mathbb C})\) e le propriet\`a della sua azione.
  
• 59-60 (30/05/22).  Fatto (senza dimostrazione): La classificazione dei sottogruppi degli automorfismi del piano complesso che agiscono in maniera libera e propriamente discontinua e la descrizione dei rispettivi quozienti. Il Lemma di Schwarz. Il gruppo \({\rm Aut}({\mathbb D})\) e le proprieta' della sua azione.
  
• 61-62 (31/05/22).  ESERCIZI: le funzioni polinomiali (risp. razionali) come funzioni f olomorfe (risp. meromorfe) su \(\mathbb{C}\) tale che \(f(1/z)\) ha una singolarita' rimuovibile o polare. Lo sviluppo in serie di Laurent di funzioni razionali. Serie di funzioni meromorfe convergenti.
  
• 63-64 (31/05/22).  Il teormea di Rouche'. Applicazione: dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra usando il teorema di Rouche'. Il semipiano superiore \(\mathbb{H}\). La trasformazione di Cayley \(\mathbb{H}\xrightarrow{\cong} \mathbb{D}\). L'isomorfismo \(\text{PGL}_2^+(\mathbb{R})\cong \text{Aut}(\mathbb{H})\).
  
• 65-66 (03/06/22).  ESERCIZI: una funzione C^1 e' olomorfa se e solo se il suo differenziale e' \(\mathbb{C}\)-lineare; una funzione C^1 f e' olomorfa se e solo se \(f_{\overline{z}}=0\); polinomi in \(z\) e \(\overline{z}\) che sono olomorfi. Il logaritmo su un aperto semplicemente connesso.
  
• 67-68 (06/06/22).  ESERCIZI: una funzione intera non constante ha immagine densa. Fatti (senza dimostrazione): il piccolo e grande Teorema di Picard. Calcolo di integrali usando il teorema dei residui. Calcolo di residui di funzioni con poli semplici. Calcolo di un integrale definito di funzione razionale.