Corso AL210 (Algebra 2) - a.a. 2018/2019

DIARIO delle LEZIONI

• 1-2 (25/09/18).  Semigruppi, Monoidi e Gruppi: definizioni ed esempi. Proposizione: unicita' dell'elemento neutro e dell'inverso; proprieta' dell'inverso. Il gruppo degli elementi invertibili di un monoide. Concetti di base: commutativita' (o abelianita'); ordine; sottosemigruppi/sottomonoidi/sottogruppi; isomorfismi.
  
  
• 3-4 (28/09/18).  Associativita' e Commutativita' generalizzate. Potenze di elementi. Il sottosemigruppo/sottomonoide/sottogruppo generato da un sottoinsieme: unicita' ed esistenza. Il teorema di Cayley per monoidi e gruppi: ogni monoide (risp. gruppo) e' isomorfo ad un sottomonoide (risp. sottogruppo) del monoide (risp. gruppo) delle trasformazioni (risp. delle permutazioni) su se stesso.
  
  
• 5-6 (02/10/18).  Le classi laterali destre e sinistre rispetto un sottogruppo \( H < G\). Proprieta': \( aH=bH \Leftrightarrow a^{-1}b\in H\) (risp. \( Ha=Hb\Leftrightarrow ab^{-1}\in H\)); le classi laterali destre e sinistre formano una partizione del gruppo; la cardinalita' di ogni classe laterale e' uguale alla cardinalita' del sottogruppo; la mappa \( aH\mapsto Ha^{-1}\) definsce una biezione tra classi laterali sinistre e destre. Corollari: l'ordine di un sottogruppo divide l'ordine di un gruppo finito (teorema di Lagrange: \(|G|=|H|[G:H]\)), l'ordine di un elemento divide l'ordine di un gruppo finito. Esempi: le classi laterali sinistre o destre di \( n\mathbb{Z} < \mathbb{Z} \) coincidono con le classi di resto modulo n; le classi laterali destre e sinistre di \( S_{n-1} < S_n \); le classi laterali destre o sinistre di \(\mathrm{SL}_n(K) < \mathrm{GL}_n(K)\). La classificazione dei gruppi ciclici: ogni gruppo ciclico e' isomorfo a \( \mathbb{Z}\) oppure a \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\). I generatori e i sottogruppi di un gruppo ciclico.
  
  
• 7-8 (05/10/18).  La moltiplicativita' dell'indice. Sottogruppi normali: definizione via i sottogruppi coniugati ed esempi. Proprieta' di un sottogruppo normale \( N \): classi laterali sinistre e destre coincidono, e piu' precisamente \(aN=Na\); il prodotto di classi laterali e' una classe laterale, piu' precisamente \(aN\cdot bN=abN\). Il gruppo quoziente \(G/N\) rispetto ad un sottogruppo normale \( N\lhd G\). Le congruenze ed i quozienti a loro associati.
  
  
• 9-10 (08/10/18).  Teorema: esiste una corrispondenza biunivoca tra congruenze e sottogruppi normali, che preserva i rispetti quozienti. Il gruppo diedrale finito \( D_n\): definizione algebrica, presentazione come gruppo delle simmetrie di un poligono regolare con n lati, presentazione come sottogruppo di \( S_n\), presentazione come gruppo generato da due involuzioni. Esercizio: la classificazione dei sottogruppi di \( D_n \), dei sottogruppi normali e dei rispettivi quozienti.
  
  
• 11-12 (09/10/18).  Omomorfismi tra gruppi: definizione ed esempi. Monomorfismi e inclusioni, Epimorfismi e quozienti, Isomorfismi. Il nucleo e l'immagine di un morfismo. Lemma: le fibre non vuote di un morfismo sono le classi laterali del nucleo. La proprieta' universale delle inclusioni e dei quozienti. Il teorema di fattorizzazione (o primo teorema di isomorfismo): ogni morfismo si fattorizza in maniera unica come composizione di un quoziente, di un isomorfismo e di un'inclusione. Casi particolari: un monomorfismo e' la composizione di un isomorfismo con un'inclusione, un epimorfismo e' la composizione di un quoziente con un isomorfismo.
  
  
• 13-14 (12/10/18).  Il teorema dei due sottogruppi (o secondo teorema di isomorfismo): dati \( H < G\) e \( N\lhd G\), esiste un isomorfismo canonico \(H/N\cap H \cong H N/N\). Il teorema di corrispondenza (o terzo teorema di isomorfismo): dato un epimorfismo \( f: G \to \overline{G}\), le immagini dirette e inverse danno una corrispondenza biunivoca tra i sottogruppi di \(\overline{G}\) e i sottogruppi di \( G\) che contengono \( {\mathrm ker}(f)\); tale corrispondenza preserva le inclusioni e gli indici, e anche la normalita' e i quozienti. Caso particolare: i sottogruppi di \( G/N\) sono isomorfi a \( H/N\) per un unico sottogruppo \( H < G \) che contiene \(N\) e se \(H\) e' anch'esso normale allora vale che \(G/H\cong (G/N)/(H/N)\).
  
  
• 15-16 (16/10/18).  La realizzazione del gruppo simmetrico \(S_n\) come operatori/matrici di trasposizione. La funzione segno \({\mathrm sgn}:S_n\to \{\pm \} \) come il determinante delle matrici di permutazione. Caratterizzazione equivalenti in termini di decomposizione in cicli, di decomposizione come prodotto di trasposizioni, di parita' delle inversioni. Teorema: la funzione segno e' l'unico omomorfismo suriettivo da \(S_n\) a \(\{\pm 1\}\). Il gruppo alterno \( A_n:={\mathrm ker}({\mathrm sgn}) \). Lemma: \(A_n\) e' l'unico sottogruppo (normale) di indice 2 di \(S_n\). Teorema (senza dimostrazione): \(A_n\) e' un gruppo semplice (per \(n\neq 4\)), cioe' non ha sottogruppi normali non banali. Corollario: l'unico sottogruppo normale di \(S_n\) (per \(n\neq 4\)) e' \(A_n\).
  
  
• 17-18 (19/10/18).  Il monoide libero \(MX\) su insieme X: definizione e proprieta' universale. Il gruppo libero \(FX\) su insieme X: definizione (via la riduzione a forme ridotte) e proprieta' universale. Il gruppo \(\langle X|R\rangle\) con generatori X e relazioni R . Corollario: ogni gruppo ammette una presentazione come \(\langle X|R\rangle\).
  
  
• 19-20 (23/10/18).  La proprieta' universale di \( \langle X\vert R\rangle \). Gruppi finitamente generati e gruppi finitamente presentati: qualche esempio. Il prodotto diretto di una collezione di gruppi: definizione e proprieta' universale. Prodotto diretto interno di due sottogruppi. Il prodotto libero di una collezione di gruppi: definizione e proprieta' universale.
  
  
• 21-22 (26/10/18).  Il gruppo degli automorfismi \( \mathrm{Aut}(G)\) di un gruppo. La mappa di coniugio \( I: G\to \mathrm{Aut}(G)\) che manda un elemento \( g \in G\) nell'automorfismo \(I_g \in \mathrm{Aut}(G) \) dato dal coniugio per \( g\). Il sottogruppo \(\mathrm{Inn}(G)\) degli automorfismi interni e il quoziente \( \mathrm{Out}(G)\) degli automorfismi esterni. Esempio: il gruppo degli automorfismi di \(\mathbb{Z}_n\) e' \(\mathbb{Z}_n^*\) e sua struttura. Il prodotto semidiretto \(N\rtimes_{\theta} Q\) di N e Q rispetto a \( \theta:Q\to \mathrm{Aut}(N)\). Prodotto semidiretto interno di due sottogruppi.
  
  
• 23-24 (26/10/18).  Esercizi su sottogruppi caratteristici vs normali, e il gruppo \(S_4\).
  
  
• 25-26 (16/11/18).  Estensioni di gruppi ed estensioni che spezzano. Proposizione: un gruppo G e' un'estensione di Q tramite N che spezza se e solo se \(G=N\rtimes Q\). Il prodotto diretto debole di una collezione di gruppi: definizione e relazione col prodotto diretto e il prodotto libero. La somma diretta di una collezione di gruppi abeliani e la sua proprieta' universale.
  
  
• 27-28 (20/11/18).  Il gruppo abeliano libero \(\mathbb{Z}^X \) su un insieme X. La base canonica di \({\mathbb Z}^X \). La proprieta' universale dei gruppi abeliani liberi. Proposizione: un gruppo abeliano ammette una base X se e solo se e' isomorfo a \({\mathbb Z}^X \). Teorema: \({\mathbb Z}^X\cong {\mathbb Z}^Y \) se e solo se X e Y hanno la stessa cardinalita' (dimostrazione solo nel caso di cardinalita' finita). Corollario: il rango \({\rm rk}({\mathbb Z}^X)=|X|\) e' ben definito; due gruppi abeliani liberi sono isomorfi se e solo se hanno lo stesso rango; due basi di un gruppo abeliano libero hanno la stessa cardinalita'. Teorema di struttura dei sottogruppi di un gruppo abeliano libero di rango finito : dato \( F\cong {\mathbb Z}^n\) e un sottogruppo \(G < F\), esiste un (unico) intero \(0\leq r\leq n\), degli (unici) interi positivi \(d_1\vert d_2\vert \ldots \vert d_r\), chiamati fattori invarianti di \( H\), ed una base \(\{x_1,\ldots, x_n\}\) di F tale che \( \{d_1x_1,\ldots, d_rx_r\}\) e' una base di G.
  
  
• 29-30 (23/11/18).  Teorema di classificazione dei gruppi abeliani finitamente generati : ogni gruppo abeliano finitamente generato e' somma diretta finita di gruppi ciclici. Il numero di copie dei gruppi ciclici infiniti e' una invariante del gruppo, detto rango. I fattori cicli finiti si possono organizzare in due maniere uniche tramite i fattori invarianti o i divisori elementari. Alcuni sottogruppi notevoli di un gruppo abeliano: il sottogruppo dei multipli di m, il sottogruppo di torsione, il sottogruppo di m-torsione, il p-sottogruppo. Esempi ed esercizi.
  
  
• 31-32 (27/11/18).  Anelli: definizione e prime proprieta' (distributivita' generalizzata, teorema binomiale per elementi che commutano). Divisori dello zero ed elementi invertibili. Classi speciali di anelli: domini/domini integrali, corpi/campi. Esempi: anelli numerici, anello delle classi di resto modulo n, anello degli endormorfismi di uno spazio vettoriale ed anello delle matrici di ordine n, anello degli endormorfismi di un gruppo abeliano, il corpo dei quaternioni.
  
  
• 33-34 (30/11/18).  Altri esempi di anelli: l'anello gruppale \(R(G)\) associato ad un gruppo \(G\) su un anello \(R\), l'anello booleano sull'insieme delle parti di un insieme, l'anello delle funzioni \(R^S\) da un insieme S ad un anello R con l'addizione e la moltiplicazione componente per componente, l'anello opposto \(R^{\rm opp}\) di un anello R, l'anello dei polinomi \( R[x_1,\ldots, x_n]\) e l'anello delle serie di potenze \(R[[x_1,\ldots, x_n]]\). Gli omomorfismi di anelli: definizione ed esempi. La caratteristica \({\rm car}(R)\) di un anello R: definizione e caratterizzazione nel caso di anelli con identita'. Proposizione: ogni anello R e' un sottoanello di un anello S con \({\rm car}(S)=0\) oppure \({\rm car}(S)={\rm car}(R)\).
  
  
• 35-36 (03/12/18).  Sottoanelli e ideali destri, sinistri, bilateri: definizione ed esempi. Ideali generati da un sottoinsieme: ideali finitamente generati e principali. Il quoziente \( R/I\) di un anello R rispetto ad un ideale \( I\lhd R\) e sua proprieta' universale. Il teorema di fattorizzazione : ogni morfismo si fattorizza in maniera unica come composizione di un quoziente, di un isomorfismo e di un'inclusione. Corollario (primo teorema di isomorfismo): dato un omomorfismo di anelli \( f:R\to S\) si ha un isomorfismo \(R/{\rm ker}(f)\cong {\rm Im}(f)\). Il teorema dell'ideale e del sottoanello (o secondo teorema di isomorfismo): dati un sottoanello S e un ideale I di R, esiste un isomorfismo canonico \(S/(S\cap I) \cong (S+I)/I\). Il teorema di corrispondenza : dato un epimorfismo \( f: R \to S\), le immagini dirette e inverse danno una corrispondenza biunivoca tra i sottoanelli/ideali di S e i sottoanelli/ideali di R che contengono \( {\rm ker}(f)\); tale corrispondenza preserva le inclusioni e i quozienti. Corollario (terzo teorema di isomorfismo): dati due ideali I e J di R con \(I\subseteq J\), vale che \(R/J\cong (R/I)/(J/I) \). Operazioni su sottoinsiemi ed ideali di una anello: somma e prodotto.
  
  
• 37-38 (07/12/18).  Ideali primi e ideali massimali. Proposizione: un ideale I di un anello R con \(1\neq 0\) tale che R/I e' un dominio (risp. un corpo) diverso da 0 e' primo (risp. massimale); vale il viceversa se R e' commutativo (ma e' falso in generale nel caso non commutativo). Proposizione: in un anello R tale che \( R^2=R\) ogni ideale massimale e' primo. Digressione: il lemma di Zorn.
  
  
• 39-40 (11/12/18).  Proposizione: in un anello con identita' ogni ideale e' contenuto in un ideale massimale. Il campo dei quozienti \(Q(D)\) di un dominio integrale \( D\).
  
  
• 41-42 (11/12/18).  Il monomorfismo unitario canonico \( i: D\hookrightarrow Q(D) \) e la sua proprieta' universale. Teoria della divisibilita' in anelli commutativi con identita': la relazione di divisibilita' e la relazione di essere associati, loro caratterizzazione in termini degli ideali principali associati. Elementi irriducibili e primi: loro caratterizzazione in termini degli ideali principali associati.
  
  
• 43-44 (14/12/18).  Un elemento irriducibile non ha fattori propri e vale il viceversa in un dominio integrale. In un dominio integrale, ogni elemento primo e' irriducibile. Domini a fattorizzazione unica (=UFD): definizione. Proprieta' di un UFD: fattorizzazione di fattori, la condizione della catena discendente di fattori (o equivalentemente della catena ascendente di ideali principali), ogni elemento irriducibile e' primo, due elementi \(a,b\in R\) ammettono un massimo comun divisore \({\rm mcd}(a,b)\) e un minimo comune multiplo \({\rm mcm}(a,b)\). Teorema 1: se un dominio R verifica la condizione ascendente sugli ideali principali allora R e' un dominio a fattorizzazione (non necessariamente unica).
  
  
• 45-46 (17/12/18).  Teorema 2: dato un dominio D, in D esistono massimo comun divisori \( \Rightarrow \) in D ogni elemento irriducibile e' primo \( \Rightarrow \) in D la fattorizzazione in irriducibili (quando esiste) e' unica. Corollario (criterio per un UFD): un dominio D e' UFD se e solo se D soddisfa la proprieta' della catena ascendente di ideali principali e in D esistono massimi comun divisori oppure in D ogni elemento irriducibile e' primo. Classi notevoli di domini: domini a ideali principali (=PID) e domini euclidei . Teorema: R e' dominio euclideo \( \Rightarrow\) R e' PID \( \Rightarrow\) R e' UFD. Anelli di polinomi \( R[x_1,\ldots, x_n] \) in n variabili a coefficienti in un anello commutativo R con 1. Anello di polinomi in una variabile: grado, coefficiente direttore, e proprieta' moltiplicativa del grado. Proposizione: se R e' un dominio allora \( R[x_1,\ldots, x_n]\) e' un dominio tale che le sue unita' sono le unita' di R. L'algoritmo di divisione di Euclide in \( R[x]\). Corollario: se K e' un campo allora K[x] e' un anello euclideo.
  
  
• 47-48-49 (19/12/18).  Teorema: se \( D \) e' un UFD allora \( D[x]\) e' un UFD. Esercizi in preparazione al secondo esonero: l'anello degli interi Gaussiani.