Diario delle Esercitazioni del Corso GE110 - Geometria 1
a.a.
2012/2013
1 (28/02): Ogni
matrice si scrive unicamente come somma di una matrice simmetrica e di
una matrice antisimmetrica (in caratteristica diversa da due). Matrici
di permutazione.
2 (12/03):
Risoluzione di sistemi omogenei e non omogenei usando il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan.
3 (12/03):
Calcolo dell'inversa di una matrice usando il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan. L'inverso di una
matrice diagonale. Risoluzione di sistemi lineari col metodo dell'inversa. Scrivere una matrice invertibile
come prodotto di matrici elementari.
4 (14/03):
Determinare se una collezione di vettori sono linearmente indipendenti, un sistema di generatori
oppure una base. Estrarre una base da un sistema di generatori. Completare un sistema linearmente
indipendente ad una base.
5 (14/03):
Esempi di sottoinsiemi dello spazio euclideo che sono o non sono un sottospazio vettoriale.
Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo formano uno spazio vettoriale.
6 (19/03):
Calcolare la dimensione di un sottospazio vettoriale dato in forma parametrica o in forma cartesiana.
Come passare dalla forma cartesiana alla forma parametrica e viceversa.
7 (19/03):
Calcolare la dimensione della somma e dell'intersezione di due sottospazi. Determinare quando uno spazio è somma o
somma diretta di due
sottospazi.
8 (20/03):
Discussione di sistemi lineari dipendenti da parametri. Calcolo del rango di matrici (e di matrici dipendenti da parametri).
9 (20/03):
Matrici ortogonali di ordine 2. Le matrici nilpotenti: le matrici invertibili non sono nilpotenti, le matrici strettamente
triangolari (superiori o inferiori) sono nilpotenti, la somma di matrici nilpotenti che commutano è ancora nilpotente.
10 (21/03):
Sottospazi dipendenti da parametri (in forma parametrica e cartesiana): calcolo della dimensione, della loro somma e della
loro intersezione.
11 (09/04):
Calcolare il rango di una matrice usando l'eliminazione
di Gauss-Jordan. Caratterizzazione delle matrici di rango minore o uguale a 1. Discussione di sistemi lineari (dipendenti da parametri) usando il
teorema di Kronecker-Rouché-Capelli.
12 (09/04):
Il determinante di matrici triangolari (superiori o inferiori). Comportamento del determinante rispetto alle operazioni elementari sulle righe.
Calcolo del determinante usando l'eliminazione di Gauss-Jordan.
13 (11/04):
Metodo del determinante per stabilire quando una matrice è invertibile e calcolo dell'inversa con la matrice cofattore.
Il determinante di Vandermonde.
14 (16/04):
Regola di Cramer per risolvere sistemi lineari con matrice dei coefficienti invertibile.
15 (16/04):
Caratterizzazione del determinante come unica applicazione lineare e alternante sulle colonne (o
sulle righe) e con valore 1 sulla matric identità. Il determinante di una matrice triangolare a blocchi.
16 (18/04):
Calcolo del rango di una matrice usando il principio dei minori orlati.
17 (23/04):
Gli spazi affini come torsori rispetto a spazi vettoriali.
18 (23/04):
Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini e delle loro giaciture.
19 (30/04):
Geometria nel piano affine.
20 (30/04):
Geometria nello spazio affine.
21 (09/05):
Un'applicazione lineare iniettiva manda vettori linearmente indipendenti in vettori linearmente indipendenti.
Lo spazio biduale di uno spazio vettoriale. L'isomorfismo canonico (o mappa di valutazione) di
uno spazio vettoriale di dimensione finita
con il suo biduale.
22 (09/05):
Rette parallele, coplanari o sghembe nello spazio affine.
23 (14/05):
Il duale di un'applicazione lineare. La mappa di valutazione preserva le applicazioni lineari.
L'ortogonale di un sottospazio vettoriale e calcolo della sua dimensione. La mappa di
valutazione manda un sottospazio isomorficamente nel suo doppio ortogonale.
24 (14/05):
Come calcolare la matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto ad una base del dominio
ed una base del codominio. La matrice associata al duale di un'applicazione lineare è la
trasposta della matrice associata all'applicazione.
25 (16/05):
Come scrivere la matrice di un endomorfismo di uno spazio vettoriale rispetto ad una base. Endomorfismi (e matrici)
unipotenti: gli endomorfismi (e le matrici) unipotenti sono invertibili, la composizione di endomorfismi (e di matrici)
unipotenti che commutano è unipotente, una matrice triangolare superiore (o inferiore) con tutti uni sulla diagonale è
unipotente.
26 (16/05):
L'esponenziale di un endormorfismo nilpotente è unipotente. L'esponenziale della somma di due endomorfismi nilpotenti che
commutano è la composizione dei loro esponenziali.
27 (21/05):
Come calcolare il polinomio caratteristico di una matrice, gli autovalori e i loro relativi autospazi.
Dire se una matrice è diagonalizzabile
e, in caso affermativo, calcolare una base diagonalizzante.
28 (21/05):
Gli autovalori possono non esistere sul campo dei numeri reali ma esistono sempre sul campo dei numeri complessi.
Autovalori di matrici triangolari. Autovalori, autospazi e diagonalizzabilità di matrici a blocchi.
29 (23/05):
Calcolo di autovalori e loro molteplicità algebriche e geometriche. Esempi con trasformazioni lineari
dipendenti da parametri.
30 (23/05):
Quando una matrice di ordine due è diagonalizzabile? La diagonalizzazione di matrici simmetriche.
Gli autovalori di una matrice nilpotente.