Corso GE1110 (Geometria e Algebra Lineare 1) - a.a. 2018/2019

DIARIO delle LEZIONI

• 1-2 (27/02/19).  Richiami di Campi: definizioni ed esempi. Sottocampi ed estensione di campi. Campi algebricamente chiusi: definizione ed esempi. Spazi vettoriali su un campo F: definizione e prime proprieta'. Esempi: lo spazio vettoriale standard (o numerico) \( F^n\).
  
  
• 3 (28/02/19).  Esempi di spazi vettoriali: gli spazi numerici infiniti \( F^{\infty}\) e \(F^{\infty\infty}\), lo spazio dei polinomi \(F[x]\), lo spazio delle funzioni \(F^S\) da un insieme S al campo F, lo spazio delle funzioni continue \(C^0({\mathbb R},{\mathbb R})\), se \(F\leq K\) e' un'estensione di campi allora K e' un F-spazio vettoriale, lo spazio \(M_{n,m}(F)\) delle matrici \(n\times m\) a coefficienti in F.
  
  
• 4-5 (29/02/19).  Sottospazi vettoriali: definizione e caratterizzazione tramite la non vuotezza, la chiusura per addizione vettoriale e moltiplicazione scalare. Il sottoinsieme \(\mathcal{S}(V)\) dei sottospazi di uno spazio vettoriale V come insieme parzialmente ordinato. L'intersezione e la somma di sottospazio. Proposizione: l'intersezione e' il minimo in \(\mathcal{S}(V)\) e la somma e' il massimo in \(\mathcal{S}(V)\). Esempi di sottospazi vettoriali. Sistemi lineari omogenei: il sistema lineare omogeneo \(\rm{Sis}_A\) associato ad una matrice \( A\in M_{m,n}(F)\) e il suo insieme di soluzioni \({\rm Sol}_A\) come sottospazio vettoriale di \(F^n\).
  
  
• 6-7 (06/03/19).  Prodotto diretto \(\prod_{i\in I}V_i \) e somma diretta esterna \( \bigoplus_{i\in I}^{\rm est} V_i \) di una collezione di F-spazi vettoriali \( \{V_i\}_{i\in I}\). Famiglie indipendenti \( \{S_i\leq V\}_{i\in I} \) di sottospazi di un F-spazio vettoriale V: definizione e caratterizzazione tramite l'unicita' della somma. La somma diretta interna \( \bigoplus_{i\in I}^{\rm int} S_i\) di una famiglia indipendente \( \{S_i\leq V\}_{i\in I} \) di sottospazi di un F-spazio vettoriale V. Spazi vettoriali isomorfi.
  
  
• 8-9 (08/03/19).  Riepilogo di somma diretta esterna, somma e somma diretta interna per due (sotto)spazi vettoriali. Esempi in \( F^n\). Proposizione: data una famiglia indipendente di sottospazi \( \{S_i\leq V\}_{i\in I} \), si ha che \( \bigoplus_{i\in I}^{\rm int} S_i\cong \bigoplus_{i\in I}^{\rm est} S_i \).
  
  
• 10-11 (11/03/19).  Proposizione: data una famiglia di F-spazi vettoriali \( \{V_i\}_{i\in I}\), esiste una famiglia \( \{\widetilde{V}_i\}\) di sottospazi linearmente indipendenti di \( \bigoplus_{i\in I}^{\rm est} V_i \) tale che \( \widetilde{V}_i \cong V_i\) e \( \bigoplus_{i\in I}^{\rm int} \widetilde{V}_i=\bigoplus_{i\in I}^{\rm est} V_i\). Combinazioni lineari: ridotte, vuote, banali, nulle. Il sottospazio generato \(\langle C\rangle\) da un sottoinsieme C di uno spazio vettoriale V. Lemma: \(\langle C\rangle \) e' il piu' piccolo sottospazio che contiene C. Sottoinsiemi generanti di V. Sottoinsiemi linearmente indipendenti di V.
  
  
• 12-13 (13/03/19).  Proposizione: C e' linearmente indipendente se e solo se ogni vettore in \(\langle C\rangle\) si scrive in maniera unica come combinazione lineare ridotta di vettori di C se e solo se nessun vettore di C si scrive come combinazione lineare degli altri vettori di C se e solo se \( \{\langle v\rangle\}_{v\in C}\) e' una collezione indipendente di sottospazi. Corollario 1: se C e' linearmente indipendente allora \( C\cup \{v\}\) e' linearmente indipendente se e solo se \( v\not \in \langle C\rangle\). Corollario 2: \( C=\{v_1,\ldots, v_n\}\) e' linearmente indipendente se e solo se \( \{0\}\subsetneq \langle v_1\rangle \subsetneq \langle v_1,v_2\rangle \subsetneq \langle v_1,v_2,v_3\rangle \subsetneq \ldots \subsetneq \langle v_1,\ldots, v_n\rangle\). Basi di V. Esempio: la base canonica di \( F^n\).
  
  
• 14 (14/03/19).  Proposizione: B e' una base di V se e solo se ogni vettore di V si scrive in maniera unica come combinazione lineare ridotta di vettori di B se e solo se \(V=\bigoplus^{\rm int}_{b\in B}\langle b\rangle\) se e solo se B e' un insieme generante minimale se e solo se B e' un insieme linearemente indipendente massimale.
  
  
• 15/16 (15/03/19).  Esempi di basi in \(F^n\) e \(F[X]\). Esempio: lo spazio vettoriale \(F^{(S)}\leq F^S\) delle funzioni a supporto finito e la sua base canonica \( \{\chi_s\}_{s\in S}\) fatta dalle funzioni caratteristiche. Proposizione: dati due insiemi \(I\subseteq S\) con I linearmente indipendente e S generante, allora esiste una base B tale che \(I\subseteq B\subseteq S\) (dimostrazione solo nel caso S finito). Corollario: ogni spazio vettoriale ammette una base, ogni insieme linearmente indipendente e' contenuto in una base, ogni insieme generante contiene una base. Esercizio: come passare da un sottospazio di \( F^n\) dato in forma cartesiana ad una sua forma parametrica e come trovare una sua base.
  
  
• 17/18 (18/03/19).  Teorema dell'invarianza della cardinalita' delle basi (senza dimostrazione): due basi di uno spazio vettoriale hanno la stessa cardinalita'. La dimensione \({\rm dim}(V)\) di uno spazio vettoriale V. Lemma: dati due spazi vettoriali \( V_1\) e \(V_2\) con rispettive basi \(B_1\) e \(B_2\) della stessa cardinalita', ogni biezione \(f:B_1\to B_2\) si estende in maniera unica ad un isomorfismo \(\Phi_f:V_1\to V_2\). Teorema di classificazione degli spazi vettoriali : ogni spazio vettoriale e' isomorfo a \(F^{(S)}\) con \(|S|={\rm dim}(V)\). Corollario: due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione. Esercizi: come passare da un sottospazio di \( F^n\) dato in forma parametrica ad una sua forma cartesiana; come calcolare la somma e l'intersezione di due sottospazi di \( F^n\); come mostrare che un sottoinsieme \(I\subseteq F^n \) e' linearmente indipendente e come estendere I ad una base; come mostrare che un sottoinsieme \(S\subseteq F^n\) e' generante e come estrarre una base.
  
  
• 19/20 (20/03/19).  Dimostrazione del teorema dell'invarianza della cardinalita' delle basi solo nel caso di dimensione finita. Dimensione dei sottospazi di uno spazio vettoriale. Proposizione (somma diretta interna e basi): se \(B=B_1\coprod B_2\) e' una base di V allora \(V=\langle B_1\rangle \oplus^{\rm int} \langle B_1\rangle\); se \(V=S\bigoplus^{\rm int} T\) e \(B_1\) e' una base di S e \( B_2\) e' una base di T allora \(B_1\) e \(B_2\) sono disgiunte e \( B_1\coprod B_2\) e' una base di V. Formula di Grassmann: dati due sottospazi \(S, T\) di \(V\) vale che \( {\rm dim}(S)+{\rm dim}(T)={\rm dim}(S\cap T)+{\rm dim}(S+T)\).
  
  
• 21 (27/03/19).  Applicazioni lineari (o omomorfismi lineari) tra spazi vettoriali: monomorfismi, epimorfisimi, isomorfismi, operatori lineari (o endormorfismi). Esempi: l'inclusione \( i: S\hookrightarrow V\) di un sottospazio, la proiezione \( p_i:\oplus^{\rm est} V_i \twoheadrightarrow V_i\), la derivata e la primitiva su \( F[X]\), una matrice\( A\in M_{m,n}(F)\) definisce un'applicazione lineare \( \Phi_A:F^n\to F^m\) tramite \( \Phi_A(v)=A\cdot v\), dove \( A\cdot v\) e' il prodotto della matrice A con il vettore v.
  
  
• 22-23 (01/04/19).  Proprieta' algebriche delle applicazioni lineari: \( {\rm Hom}(V,W)\) e' uno spazio vettoriale, la composizione \( \circ: {\rm Hom}(V,W)\times {\rm Hom}(W, U)\to {\rm Hom}(V,U)\) e' associativa e bilineare, data un'applicazione lineare biettiva \(\Phi\) l'inverso e' un'applicazione lineare biettiva. Proposizione: un'applicazione lineare da V a W e' univocamente determinata dai suoi valori su una base \( {\mathcal B} \) di V e ogni funzione da \( {\mathcal B} \) a W si puo' estendere per linearita' ad un'applicazione lineare da V a W. Il nucleo \( {\rm Ker}(\Phi)\) e l' immagine \( {\rm Im}(\Phi)\) di un'applicazione lineare: la nullita' \({\rm null}(\Phi)={\rm dim}({\rm Ker}(\Phi))\) e il rango \({\rm rg}(\Phi)={\rm dim}({\rm Im}(\Phi))\). Lo spazio \({\rm Hom}(F^n, F^m) \) : ogni applicazione \(\Phi\in {\rm Hom}(F^n, F^m) \) e' della forma \( \Phi_A\) per un'unica matrice \( A=M(\Phi)\in M_{m,n}(F)\) chiamata matrice (canonica) associata a \(\Phi\). Proposizione: il nucleo di \( \Phi_A\) e' l'insieme delle soluzioni \( {\rm Sol}_A\) associate al sistema lineare omogeneo con matrice associata A, l'immagine di \(\Phi_A\) e' lo span delle colonne di A.
  
  
• 24-25 (03/04/19).  La moltiplicazione di matrici e le sue proprieta': associativita', bilinearita', elemento neutro. Proposizione: \(\Phi_A\circ \Phi_B=\Phi_{A\cdot B}.\) Corollario: l'applicazione \(A\mapsto \Phi_A\) induce un isomorfismo unitario di anelli \( M_{n,n}(F) \cong {\rm End}(F^n)\) e un isomorfismo tra i rispettivi gruppi degli elementi invertibili \({\rm GL}_n(F)\cong {\rm GL}(F^n)\). Il rango \({\rm rg}(A)\) di una matrice A: il rango per colonne coincide con il rango per righe. Proposizione (criterio di invertibilita'): una matrice \(A\in M_{n,n}(F)\) e' invertibile se e solo se \({\rm rg}(A)=n\) se e solo se puo' essere traformata nella matrice identita' tramite operazioni elementari sulle righe o sulle colonne. Metodo di calcolo dell' inversa di una matrice A: trasformare \( (A|I_n) \) in \((I_n|A^{-1}) \) tramite operazioni elementari sulle righe o sulle colonne.
  
  
• 26-27 (05/04/19).  Il Teorema di rango-nullita'. Criterio di isomorfismo: un'applicazione lineare tra spazi vettoriali della stessa dimensione finita e' un isomorfismo se e solo se e' iniettivo se e solo se e' suriettivo. Matrici elementari per righe e per colonne. Formula per la loro inversa. Lemma: effettuare operazioni elementari sulle righe (risp. sulle colonne) equivale a moltiplicare a sinistra (risp. a destra) per matrici elementari per righe (risp. per colonne). Corollario: una matrice e' invertibile se e solo se e' prodotto di matrici elementari per righe o per colonne. Matrici equivalenti : \( A\sim_{\rm eq} B \) se e solo se \(A=P\cdot B \cdot Q\) con \( P, Q\) invertibili o, equivalentemente, se e solo se A puo' essere ottenuta da B facendo operazioni elementari sulle righe o sulle colonne. Teorema di classificazione delle matrici equivalenti: due matrici sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango e ogni matrice e' equivalente ad una matrice in forma canonica \( \begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \).
  
  
• 28-30 (11/04/19).  Primo Esonero.
  
  
• 31-32 (15/04/19).  Il vettore delle coordinate \([v]_{\mathcal B}\) di \(v\in V\) rispetto ad una base ordinata \({\mathcal B} \) di V. Lemma: dato un F-spazio vettoriale V dimensione n, esiste una corrispondenza biunova tra le basi ordinate di V e gli isomorfismi lineari \( V\xrightarrow{\cong}F^n\), mandando una base ordinata \({\mathcal B}\) nell'isomorfismo \([-]_{\mathcal B}:V\xrightarrow{\cong} F^n\). Matrice \(M_{\mathcal C, \mathcal B}(\Phi)\) associata ad un'applicazione lineare \(\Phi:V\to W\) rispetto ad una base \({\mathcal B}\) del dominio e una base \({\mathcal C}\) del codominio. Formula: \([\Phi(v)]_{\mathcal C}=M_{\mathcal C, \mathcal B}(\Phi)\cdot [v]_{\mathcal B}\). Le matrici di cambiamento base \(M_{\mathcal C,\mathcal B}\) e la formula \(M_{\mathcal C,\mathcal B}^{-1}=M_{\mathcal B,\mathcal C}\). Proprieta' delle matrici associate alle applicazioni lineari: la mappa \( \Phi\to M_{\mathcal C, \mathcal B}(\Phi)\) definisce un isomorfismo lineare tra \( {\rm Hom}(V,W)\) e \(M_{m,n}(F)\); formula di composizione \(M_{\mathcal C, \mathcal A}(\Psi\circ \Phi)=M_{\mathcal C, \mathcal B}(\Psi)\cdot M_{\mathcal B, \mathcal A}(\Phi)\); formula di cambiamento base \(M_{\mathcal C', \mathcal B'}(\Phi)=M_{\mathcal C', \mathcal C}\cdot M_{\mathcal C, \mathcal B}(\Phi)\cdot M_{\mathcal B, \mathcal B'}\). Corollario: il rango di un'applicazione lineare e' uguale al rango di una qualsiasi matrice che la rappresenta.
  
  
• 33-34 (29/04/19).  Applicazioni lineari equivalenti: tre definizioni equivalenti. Teorema di classificazione delle applicazioni lineari equivalenti: due applicazioni lineari sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango e ogni applicazione si puo' scrivere, rispetto ad oppurtune basi ordinate del dominio e del codominio, in forma canonica \( \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \)
  
  
• 35 (02/05/19).  Il quoziente \(V/S\) di uno spazio vettoriale \(V\) rispetto ad un suo sottospazio \(S\leq V\). La proiezione canonica \( \pi_S:V\twoheadrightarrow V/S\) e la sua proprieta' universale. Il teorema di corrispondenza: esiste una biezione canonica tra i sottogruppi di \(V/S\) e i sottogruppi di \(V\) contenenti \(S\).
  
  
• 36-37 (03/05/19).  Teorema: ogni complementare di \( S\leq V\) e' canonicamente isomorfo a \(V/S\). La codimensione \( {\rm codim}(S)\) di un sottospazio \(S\leq V\) e la formula \({\rm dim}(V)={\rm dim}(S)+{\rm codim}(S)\). I Teorema di isomorfismo: \(V/{\rm ker}(\Phi)\cong {\rm Im}(\Phi)\). Corollari: una dimostrazione alternativa del Teorema di rangi-nullita'; la fattorizzazione canonica di un'applicazione lineare come composizione di un quoziente, di un isomorfismo e di un'iniezione; i monomorfismi si scrivono canonicamente come composizione di un isomorfismo e di un'iniezione; gli epimorfismi si scrivono canonicamente come composizione di un quoziente e di un isomorfismo; dato \(S\leq T\leq V\) esiste un isomorfismo canonico \(T/S\xrightarrow{\cong} \pi_S(T)\). II Teorema di isomorfismo: per ogni \(S,T\leq V\) esiste un isomorfismo canonico \(S/(S\cap T)\xrightarrow{\cong} (S+T)/T\). III Teorema di isomorfismo: per ogni \(S\leq T\leq V\) esiste un isomorfismo canonico \(V/T\xrightarrow{\cong} (V/S)/(T/S)\). La trasposta di matrici e sue proprieta' algebriche: \((A^t)^t=A\), la mappa di trasposizione \((-)^t:M_{n,m}(F) \to M_{m,n}(F)\) e' un isomorfismo di F-spazi vettoriali, \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\), se \(A\) e' invertibile allora \(A^t\) e' invertibile e \((A^t)^{-1}=(A^{-1})^t\).
  
  
• 38-39 (06/05/19).  I funzionali lineari e le loro proprieta'. Lo spazio vettoriale duale \(V^*\) di uno spazio vettoriale \(V\). Lemma: il duale di \(F^n\) e' canonicamente isomorfo a \(F^n\); il duale di \( F^{(X)}\) e' canonicamente isomorfo a \(F^X\). L'insieme duale \( {\mathcal B}^*\) di una base \( {\mathcal B}\) di \(V\). Teorema: data una base \({\mathcal B}\) di \(V\), l'insieme duale \( {\mathcal B}^*\) e' linearmente indipendente ed e' una base (chiamata base duale) se \(V\) ha dimensione finita. Corollario: se \(V\) ha dimensione finita, allora \(V\) e \(V^*\) sono isomorfi (ma non canonicamente). Fatto (senza dimostrazione): se \(V\) ha dimensione infinita allora \( {\rm dim}(V)<{\rm dim}(V^*)\), e dunque \(V\) e \(V^*\) non sono isomorfi. Lo spazio vettoriale biduale (o doppio duale) \( V^{**}\) di \(V\) e la mappa canonica \({\rm ev}=\tau: V\to V^{**}\) che manda \(v\in V\) nella valutazione \({\rm ev}_v=\overline v\in V^{**}\) dei funzionali in \(v\in V\). Teorema: la mappa canonica \({\rm ev}=\tau: V\to V^{**}\) e' iniettiva ed e' un isomorfismo se (e solo se) \(V\) ha dimensione finita.
  
  
• 40-41 (08/05/19).  Gli annullatori \({\rm Ann}^*(U)\leq V^*\) di \(U\leq V\) e \({\rm Ann}(S)\leq V\) di \(S\leq V^*\). Teorema: gli annullatori rovesciano le inclusioni; \({\rm Ann}({\rm Ann}^*(U)=U\) per ogni \(U\leq V\); \({\rm Ann}^*({\rm Ann}(S)\supseteq S\) per ogni \(S\leq V^*\) con uguaglianza se \(V\) ha dimensione finita [dimostrazione facoltativa all'orale]; \(\tau^{-1}({\rm Ann^*(S)})={\rm Ann}(S)\) per ogni \(S\leq V^*\) che implica che \(\tau({\rm Ann(S)})\subseteq {\rm Ann}^*(S)\) con uguaglianza se \(V\) ha dimensione finita; \({\rm Ann}^*(U)\cong (V/U)^*\) per ogni \(U\leq V\); \({\rm Ann}(S)\hookrightarrow (V^*/S)^*\) per ogni \(S\leq V^*\) con uguaglianza se \(V\) ha dimensione finita. Corollario: se \(V\) ha dimensione finita, allora \({\rm Ann}^*\) e \({\rm Ann}\) sono due biezioni, una inversa dell'altra, tra i sottospazi di \(V\) e i sottospazi di \(V^*\) che inoltre rovesciano le inclusioni (e dunque scambiano intersezione e somma) e scambiano sottospazi e quozienti (e dunque scambiano dimensione e codimensione). L'applicazioni lineare duale \(\Phi^*:{\rm Hom}(W^*,V^*)\) di un'applicazione lineare \(\Phi\in {\rm Hom}(V,W)\). Proprieta': la mappa di dualita' \((-)^*:{\rm Hom}(V,W)\to {\rm Hom}(W^*,V^*)\) e' un'applicazione lineare; \((\Psi\circ \Phi)^*=\Phi^*\circ \Psi^*\); se \(\Phi\in {\rm End}(V)\) e' invertibile allora \(\Phi^*\) e' invertibile e vale che \((\Phi^*)^{-1}=(\Phi^{-1})^*\); se \(\Phi\in {\rm Hom}(V,W)\) allora vale che \(\Phi^{**}\circ \tau_V=\tau_W\circ \Phi\).
  
  
• 42 (09/05/19).  Gli annullatori in \(F^n\): tramite l'identificazione canonica \( (F^n)^*\cong F^n\), l'annullatore \({\rm Ann}\) e' una auto-trasformazione di \({\mathcal S}(V)\) idempotente, cioe' \({\rm Ann}\circ {\rm Ann}={\rm id}\), che rovescia le inclusioni (e dunque scambia intersezione e somma) e scambia sottospazi e quozienti (e dunque scambia dimensione e codimensione). Lemma: \({\rm Ann}({\rm Sol_A})={\rm Span}_{A^t}\) e \({\rm Ann}({\rm Span}_A)={\rm Sol}_{A^t}\).
  
  
• 43-44 (10/05/19).  Teorema: \( \ker(\Phi^*)={\rm Ann}^*({\rm Im}(\Phi))\) e \( {\rm Im}(\Phi^*)={\rm Ann}^*(\ker(\Phi))\). Corollario: \(\Phi\) e' iniettiva (risp. suriettiva) se e solo se \(\Phi^*\) e' suriettiva (risp. iniettiva). Corollario: \({\rm rg}(\Phi^*)={\rm rg}(\Phi)\). Teorema: per ogni \(\Phi\in {\rm Hom}(V,W)\) e basi ordinate \({\mathcal B}\) e \({\mathcal C}\) degli spazi vettoriali di dimensione finita \(V\) e \(W\), vale che \(M_{{\mathcal B}^*,{\mathcal C}^*}(\Phi^*)=M_{{\mathcal C},{\mathcal B}}(\Phi)^t\). Corollario: per ogni \(\Phi\in {\rm Hom}(F^n,F^m)\), usando gli isomorfismi canonici \((F^n)^*\cong F^n\) e \((F^m)^*\cong F^m\), si ha che \(M(\Phi^*)=M(\Phi)^t\). La similitudine di matrici e operatori lineari. Lemma: la similitudine di operatori lineari in termini di matrici associate.
  
  
• 45-46 (13/05/19).  Il determinante di una matrice quadrata: formula di Leibniz. Esempi: matrici di ordine 2 e 3; matrici triangolari inferiori o superiori. Lemma: \({\rm det}(A^t)={\rm det}(A)\). Teorema: il determinante e' multilineare e alterno come funzione sulle righe (risp. colonne). Corollario: il comportamento del determinante rispetto all'eliminazione di Gauss-Jordan per righe (risp. colonne). Corollario: il determinante e' l'unica funzione \( M_n(F)\to F\) che e' multilineare e alterno sulle righe (risp. colonne) e soddisfa \({\rm det}(I_n)=1\). Corollario: una matrice A e' invertibile se e solo se \({\rm det}(A)\neq 0\). Teorema (moltiplicativita' del determinante): \({\rm det}(A\cdot B)={\rm det}(A)\cdot {\rm det}(B)\). In particolare, \({\rm det}(A^{-1})={\rm det}(A)^{-1}\) se A e' invertibile. Corollario: se A e B sono simili allora \({\rm det}(A)={\rm det}(B)\).
  
  
• 47-48 (15/05/19).  Teorema (senza dimostrazione): sviluppo di Leibniz lungo una riga o una colonna. Corollario: \( A\cdot {\rm cof}(A)^t={\rm det}(A)\cdot I_n\) dove \( {\rm cof}(A)\) e' la matrice dei cofattori di \(A\). Caso particolare: se \(A\) e' invertibile, allora \(A^{-1}=1/{\rm det}(A) \cdot {\rm cof}(A)^t\). Richiami sull'anello dei polinomi \( F[X]\) a coefficienti in un campo \(F\): la divisione di Euclide, il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo, l'identita' di Bezout per il massimo comun divisore, la fattorizzazione unica in polinomi irriducibili, ogni ideale e' principale, l'identita' \((f,g)=({\rm mcd}\{f,g\})\), polinomi irriducibili in \( \mathbb{C}[X] \) e in \( \mathbb{R}[X]\). Un aggiunta: la biezione naturale tra \({\rm End}(V)/\sim_{\rm sim} \) e \(M_n(F)/\sim_{\rm sim}\) dove \({\rm dim}_F(V)=n\). Il polinomio caratteristico \(\chi_A\) di una matrice quadrata \(A\) e \(\chi_{\Phi}\) di un operatore lineare \( \Phi\in {\rm End}(V)\): loro invarianza per similitudine, i coefficienti di \(\chi\) sono gli unici invarianti polinomiali per similitudine (senza dimostrazione), il termine noto di \( \chi\) e' \((-1)^n{\rm det}\) e il termine subdirettore e' l'opposto della traccia \({\rm tr}\).
  
  
• 49 (16/05/19).  Polinomi applicati a operatori lineari e matrici quadrate. Il polinomio minimo \(\mu_A\) di una matrice quadrata \(A\) e \(\mu_{\Phi}\) di un operatore lineare \( \Phi\in {\rm End}(V)\): loro invarianza per similitudine; vale che \(\mu_{\Phi}=\mu_{M_{\mathcal B}(V)}\) per ogni base ordinata di \(V\). Teorema (senza dimostrazione): il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico (formula di Cayley-Hamilton) e hanno gli stessi fattori irriducibili. Esempio: per il blocco di Jordan \(J_m(\lambda)\) di ordine \(m\geq 1\) e autovalore \(\lambda\in F\) vale che \(\chi_{J_m(\lambda)}(x)=\mu_{J_m(\lambda)}(x)=(x-\lambda)^m\).
  
  
• 50 (16/05/19).  Esercizi di riepilogo su applicazioni lineari duali e annullatori.
  
  
• 51-52 (17/05/19).  Sottospazi \(\Phi\)-invarianti: applicazione quoziente e complementari \(\Phi\)-invarianti. Interpretazione in termini di matrici triangolari o diagonali a blocchi. Proposizione: il comportamento di \(\chi\) e \(\mu\) rispetto ai sottospazi \(\Phi\)-invarianti. Esempio: il multiblocco di Jordan \( J_{\underline{m}}(\lambda)\) con autovalore \(\lambda \in F\) e multiordine \(\underline{m}=(m_1\geq \ldots\geq m_r\geq 1)\) ha polinomio caratteristico uguale a \((x-\lambda)^{\sum m_i}\) e polinomio minimo \( (x-\lambda)^{m_1}\). Esempio: la matrice compagna \(C[p(x)]\) associata ad un polinomio \(p(x)\in F[x]\) ha polinomio caratteristico uguale a \(p(x)\). Decomposizione primaria di \(\Phi\in {\rm End}(V)\): se il polinomio minimo si fattorizza come \(\mu_{\Phi}(x)=\prod_i p_i(x)^{e_i}\) allora \(V\) si fattorizza nei sottospazi primari \(V=\oplus_i V(p_i):={\rm Ker}(p_i^{e_i}(\Phi))\) e vale che \(\mu_{\Phi_{|V(p_i)}}(x)=p_i(x)^{e_i}\).
  
  
• 53-54 (20/05/19).  Autovalori di un operatore lineare \( \Phi\in {\rm End}(V)\) (o di una matrice quadrata \( A\in M_n(F)\)) come radice del polinomio caratteristico. Lemma: \(\lambda\in F\) e' un autovalore di \(\Phi\) se e solo se \(\Phi\) ammette autovettori non nulli associati a \(\lambda\). L'autospazio \({\mathcal E}_{\lambda}(\Phi)\) associato ad un autovalore \(\lambda \in F\) di \(\Phi\), l'autospazio generalizzato \({\mathcal E}^k_{\lambda}(\Phi)\) di indice \(k\geq 1\), l'autospazio generalizzato infinito \({\mathcal E}_{\lambda}^{\infty}(\Phi)\). Alcuni invarianti associati ad un autovalore: la molteplicita' algebrica \({\rm algmolt}(\lambda):={\rm molt}_{\lambda}(\chi_{\Phi}(x))\), la molteplicita' geometrica \({\rm geomolt}(\lambda):={\rm dim}({\mathcal E}_{\lambda}(\Phi))\), la molteplicita' geometrica k-esima \({\rm geomolt}^k(\lambda):={\rm dim}({\mathcal E}^k_{\lambda}(\Phi))\), la molteplicita' geometrica infinita \({\rm geomolt}^{\infty}(\lambda):={\rm dim}({\mathcal E}^{\infty}_{\lambda}(\Phi))\), l'indice \({\rm ind}(\lambda)\) come il piu' piccolo intero tale che \({\mathcal E}^n_{\lambda}(\Phi)= {\mathcal E}^{\infty}_{\lambda}(\Phi)\) per ogni \(n\geq {\rm ind}(\lambda)\). Esempio: gli autospazi generalizzati rispetto a \(\lambda\) del multiblocco di Jordan \(J_{\underline{m}}(\lambda)\). Teorema: \({\rm algmolt}(\lambda)={\rm geomolt}^{\infty}(\lambda)\); \({\rm ind}(\lambda)={\rm molt}_{\lambda}(\mu_{\Phi}(x))\); \({\mathcal E}_{\lambda}^{\infty}(\Phi)\) e' il sottospazio primario \(V_{\Phi}(x-\lambda)\) associato al fattore irriducibile \(x-\lambda\); \({\rm ind}(\lambda)\leq {\rm algmolt}(\lambda)\). Corollario: \(\lambda \) e' un autovalore di \(\Phi\) se e solo se \(\lambda\) e' una radice di \(\mu_{\Phi}(x)\) e vale che \({\rm molt}_{\lambda}(\mu_{\Phi}(x))\leq {\rm molt}_{\lambda}(\chi_{\Phi}(x))\).
  
  
• 55-56 (22/05/19).  Digressione: l'analogia tra gli operatori lineari \(\Phi\in {\rm End}(V)\) e i gruppi abeliani finiti. (Sotto-)spazi \(\Phi\)-cicli: il sottospazio \(\Phi\)-ciclico \(\langle \Phi, v\rangle\) generato da \(v\in V\) e il polinomio minimo \(\mu_{\Phi,v}\) di \(\Phi\) rispetto a \(v\in V\). Proposizione: \(\langle \Phi, v\rangle\) e' il piu' piccolo sottospazio \(\Phi\)-invariante che contiene \(v\); \(\mu_{\Phi, v}=\mu_{\Phi|\langle \Phi, v\rangle}= \chi_{\Phi|\langle \Phi, v\rangle}\); \({\rm dim}(\langle \Phi, v\rangle={\rm deg}(\mu_{\Phi, v})\). Operatori ciclici: \(\Phi\) e' ciclico se esiste un vettore \(v\in V\) (chiamato generatore) tale che \(V=\langle \Phi, v\rangle\). Proposizione: \(\Phi\) e' ciclico se e solo se esiste una base ordinata \({\mathcal B}\) di \(V\) tale che \(M_{\mathcal B}(\Phi)=C[p(x)]\) e in tal caso \(p(x)=\mu_{\Phi}=\chi_{\Phi}=\mu_{\Phi, v}\) dove \(v\) e' un generatore. Corollario: due operatori ciclici sono simili se e solo se hanno lo stesso polinomio caratteristico (risp. minimo). Proposizione: dato un operatore ciclico \(\Phi\in {\rm End}(V)\), esiste una biezione tra i divisori di \(\mu_{\Phi}=\chi_{\Phi}\) e i sottospazi \(\Phi\)-invarianti, ottenuta mandando \(g\vert \mu_{\Phi}\) in \(\displaystyle \left\langle \Phi, \left(\frac{\mu_{\Phi}}{g}\right)(\Phi)(v)\right\rangle\) e \(W\leq V\) in \(\mu_{\Phi\vert W}\vert \mu_{\Phi}\).
  
  
• 57-58 (27/05/19).  Gli operatori ciclici primari. Corollario: ogni operatore ciclico si decompone in maniera canonica come somma diretta di operatori ciclici primari. Teorema (senza dimostrazione) di decomposizione ciclica primaria: ogni operatore e' somma diretta di operatori ciclici primari che sono indecomponibili; i fattori ciclici primari sono unici a meno di similitudine. I divisori elementari \({\rm ElemDiv}(\Phi)\) di un operatore. Teorema (senza dimostrazione) di classificazione degli operatori a meno di similitudine : due operatori sono simili se e solo se hanno gli stessi divisori elementari. Corollario: il polinomio caratteristico e' il prodotto dei divisori elementari, il polinomio minimo e' il minimo comune multiplo dei divisori elementari. In particolare, \(\mu_{\Phi}\) divide \(\chi_{\Phi}\) e hanno gli stessi fattori irriducibili. Corollario: un operatore \(\Phi\in {\rm End}(V)\) e' ciclico se e solo se \(\chi_{\Phi}=\mu_{\Phi}\) se e solo se i suoi divisori elementari sono a due a due coprimi se e solo se i suoi sottospazi primari sono ciclici. Corollario: dato un operatore \(\Phi\in {\rm End}(V)\), esiste una base ordinata \({\mathcal B}\) di \(V\) tale che \(M_{\mathcal B}(\Phi)\) e' una matrice diagonale a blocchi con blocchi dati dalle matrici compagne associate ai suoi divisori elementari. Teorema di triangolarizzabilita' : un operatore \(\Phi\) e' triangolarizzabile (superioremente o inferiormente) se e solo se \(\chi_{\Phi}\) (o equivalentemente \(\mu_{\Phi}\)) ha solo fattori irriducibili lineari. Teorema sulla forma canonica di Jordan : dato un operatore \(\Phi\in {\rm End}(V)\) tale che \(\chi_{\Phi}\) ha solo fattori irriducibili lineari, allora esiste una base ordinata \({\mathcal B}\) di \(V\) tale che \(M_{\mathcal B}(\Phi)={\rm diag}(J_{\underline{m}(\lambda_1)}(\lambda_1), \ldots, J_{\underline{m}(\lambda_r)}(\lambda_r)) \), dove \(\{\lambda_1,\ldots, \lambda_r\}\) sono gli autovalori di \(\Phi\) e \(\underline{m}(\lambda_i)\) e' una partizione. Due operatori i cui polinomi caratteristici hanno solo fattori irriducibili lineari sono simili se e solo se hanno la stessa forma canonica di Jordan. Teorema di diagonalizzabilita' : un operatore \(\Phi\in {\rm End}(V)\) con autovalori \(\{\lambda_1,\ldots, \lambda_r\}\) e' diagonalizzabile se e solo esiste una base di V fatta di autovettori per \(\Phi\) se e solo se \(V={\mathcal E}_{\lambda_1}(\Phi)\oplus \ldots \oplus {\mathcal E}_{\lambda_r}(\Phi)\) se e solo se \(\chi_{\Phi}\) ha solo fattori lineari e \({\mathcal E}_{\lambda_i}(\Phi)={\mathcal E}_{\lambda_i}^{\infty}(\Phi)\) (o equivalentemente \({\rm geomolt}(\lambda_i)={\rm algmolt}(\lambda_i)\)) se e solo se \(\sum_{i=1}^r {\rm geomolt}(\lambda_i)= {\rm dim}(V)\) se e solo se \( \mu_{\Phi}\) e' prodotto di fattori lineari distinti.
  
  
• 59-60 (28/05/19).  Esercizi di preparazione al secondo esonero.
  
  
• 61-63 (03/06/19).  Secondo esonero.