Corso GE1110 (Geometria e Algebra Lineare 1) - a.a. 2019/2020

DIARIO delle LEZIONI

• 1-2 (24/02/20).  Richiami di Campi: definizioni ed esempi. Campi algebricamente chiusi: definizione ed esempi. Spazi vettoriali su un campo F: definizione e prime proprieta'. Esempi: lo spazio vettoriale nullo; lo spazio vettoriale standard (o numerico) \( F^n\).
  
  
• 3-4 (26/02/20).  Esempi di spazi vettoriali: gli spazi numerici infiniti \( F^{\infty}\) e \(F^{\infty\infty}\), lo spazio dei polinomi \(F[x]\) e dei polinomi \(F[x]_{\leq n}\) di grado al piu' n, lo spazio delle funzioni \(F^S\) da un insieme S al campo F, lo spazio \(F^{(S)}\) delle funzioni a supporto finito da insieme S ad un campo F, lo spazio delle funzioni continue \(C^0({\mathbb R},{\mathbb R})\). Spazi vettoriali isomorfi: definizione ed esempi. Sottospazi vettoriali: definizione tramite la non vuotezza, la chiusura per addizione vettoriale e moltiplicazione scalare. Lemma: Un sottospazio vettoriale \(S\leq V\) contiene il vettore nullo e diventa uno spazio vettoriale rispetto alla restrizione delle operazioni su V. Esempi di sottospazi vettoriali: \(F^n\leq F^{n+1}\leq \ldots \leq F^{\infty}\leq F^{\infty\infty}\), \(F[x]_{\leq n}\leq F[X]\), \(F^{(S)}\leq F^S\), \(C^0({\mathbb R},{\mathbb R})\leq \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\).
  
  
• 5-6 (28/02/20).  Lemma: un sottoinsieme di uno spazio vettoriale e' un sottospazio vettoriale se e solo se e' non vuoto ed e' stabile rispetto alle combinazioni lineari. Il sottoinsieme \(\mathcal{S}(V)\) dei sottospazi di uno spazio vettoriale V come insieme parzialmente ordinato. I sottospazi banali di V: \(\{0\}\) e V. L'intersezione e la somma di sottospazi. Proposizione: l'intersezione e' il minimo in \(\mathcal{S}(V)\) e la somma e' il massimo in \(\mathcal{S}(V)\). Esempio: se \(F\leq K\) e' un'estensione di campi allora K e' un F-spazio vettoriale. Sistemi lineari omogenei: il sistema lineare omogeneo \(\rm{Sis}_A\) associato ad una matrice \( A\in M_{m,n}(F)\) e il suo insieme di soluzioni \({\rm Sol}_A\) come sottospazio vettoriale di \(F^n\).
  
  
• 7-8 (02/03/20).  Prodotto diretto \(\prod_{i\in I}V_i \) e somma diretta esterna \( \bigoplus_{i\in I}^{\rm est} V_i \) di una collezione di F-spazi vettoriali \( \{V_i\}_{i\in I}\). Famiglie indipendenti \( \{S_i\leq V\}_{i\in I} \) di sottospazi di un F-spazio vettoriale V: definizione e caratterizzazione tramite l'unicita' della somma. La somma diretta interna \( \bigoplus_{i\in I}^{\rm int} S_i\) di una famiglia indipendente \( \{S_i\leq V\}_{i\in I} \) di sottospazi di un F-spazio vettoriale V. Proposizione: data una famiglia indipendente di sottospazi \( \{S_i\leq V\}_{i\in I} \), si ha che \( \bigoplus_{i\in I}^{\rm int} S_i\cong \bigoplus_{i\in I}^{\rm est} S_i \).
  
  
• 9-10 (04/03/20).  Proposizione: data una famiglia di F-spazi vettoriali \( \{V_i\}_{i\in I}\), esiste una famiglia \( \{\widetilde{V}_i\}_{i\in I}\) di sottospazi linearmente indipendenti di \( \bigoplus_{i\in I}^{\rm est} V_i \) tale che \( \widetilde{V}_i \cong V_i\) e \( \bigoplus_{i\in I}^{\rm int} \widetilde{V}_i=\bigoplus_{i\in I}^{\rm est} V_i\). Esempi di somme dirette: \(F^{n+m}\) come somma diretta esterna o interna di \(F^n\) e \(F^m\). Il sottospazio generato \(\langle C\rangle\) da un sottoinsieme C di uno spazio vettoriale V. Lemma: \(\langle C\rangle \) e' il piu' piccolo sottospazio che contiene C. Sottoinsiemi generanti di V. Esempio: l'insieme generante canonico \(\{e_1,\ldots, e_n\}\) di \(F^n\).
  
  
• 11-12 (14/03/20 ONLINE).  Combinazioni lineari: vuote, banali, nulle, ridotte, non ridontanti. Sottoinsiemi linearmente indipendenti di V Proposizione: C e' linearmente indipendente se e solo se ogni vettore in \(\langle C\rangle\) si scrive in maniera unica come combinazione lineare ridotta di vettori di C se e solo se nessun vettore di C si scrive come combinazione lineare degli altri vettori di C se e solo se \( \{\langle v\rangle\}_{v\in C}\) e' una collezione indipendente di sottospazi. Corollario 1: se C e' linearmente indipendente allora \( C\cup \{v\}\) e' linearmente indipendente se e solo se \( v\not \in \langle C\rangle\). Corollario 2: \( C=\{v_1,\ldots, v_n\}\) e' linearmente indipendente se e solo se \( \{0\}\subsetneq \langle v_1\rangle \subsetneq \langle v_1,v_2\rangle \subsetneq \langle v_1,v_2,v_3\rangle \subsetneq \ldots \subsetneq \langle v_1,\ldots, v_n\rangle\).
  
  
• 13-14 (16/03/20 ONLINE).  Basi di V. Proposizione: B e' una base di V se e solo se ogni vettore di V si scrive in maniera unica come combinazione lineare ridotta di vettori di B se e solo se \(V=\oplus^{int}_{v\in B}\langle v\rangle\) se e solo se B e' un insieme generante minimale se e solo se B e' un insieme linearemente indipendente massimale. Esempi: la base canonica di \(F^n\); basi di \(F[X]\); la base canonica \( \{\chi_s\}_{s\in S}\) di \(F^{(S)}\) fatta dalle funzioni caratteristiche. Proposizione: dati due insiemi \(I\subseteq S\) con I linearmente indipendente e S generante, allora esiste una base B tale che \(I\subseteq B\subseteq S\). Corollario: ogni spazio vettoriale ammette una base, ogni insieme linearmente indipendente e' contenuto in una base, ogni insieme generante contiene una base.
  
  
• 15-16-17 (19/03/20 ONLINE).  Teorema dell'invarianza della cardinalita' delle basi (con dimostrazione solo nel caso di dimensione finita): due basi di uno spazio vettoriale hanno la stessa cardinalita'. Lemma dello scambio di Steiniz. La dimensione \({\rm dim}(V)\) di uno spazio vettoriale V. Corollario: dato uno spazio vettoriale di dimensione n, un insieme di cardinalita' n e' una base se e solo se e' linearmente indipendente se e solo se e' generante. Esempi di dimensione. Lemma: dati due spazi vettoriali \( V_1\) e \(V_2\) con rispettive basi \(B_1\) e \(B_2\) della stessa cardinalita', ogni biezione \(f:B_1\to B_2\) si estende in maniera unica ad un isomorfismo \(\Phi_f:V_1\to V_2\). Teorema di classificazione degli spazi vettoriali : ogni spazio vettoriale e' isomorfo a \(F^{(S)}\) con \(|S|={\rm dim}(V)\). Corollario: due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione. Esempi di spazi vettoriali con la stessa dimensione. Il vettore delle coordinate \([v]_{\mathcal B}\) di \(v\in V\) rispetto ad una base ordinata \({\mathcal B} \) di V. Proposizione: dato un F-spazio vettoriale V dimensione n, esiste una corrispondenza biunova tra le basi ordinate di V e gli isomorfismi lineari \( V\xrightarrow{\cong}F^n\), mandando una base ordinata \({\mathcal B}\) nell'isomorfismo \(\Phi_{\mathcal B}:=[-]_{\mathcal B}:V\xrightarrow{\cong} F^n\) e un isomorfismo \(\Phi:V\xrightarrow{\cong} F^n\) nella base ordinata \(\mathcal{B}_{\Phi}=\{\Phi^{-1}(e_1),\ldots, \Phi^{-1}(e_n)\}\).
  
  
• 18-19 (20/03/20 ONLINE).  Dimensione dei sottospazi di uno spazio vettoriale: se \(S\leq V\) allora \(\mathrm{dim}(S)\leq \mathrm{dim}(V)\) e, nel caso di dimensione finita, vale che \(\mathrm{dim}(S)=\mathrm{dim}(V)\) solo nel caso \(S=V\). Proposizione (somma diretta interna e basi): se \(B=B_1\coprod B_2\) e' una base di V allora \(V=\langle B_1\rangle \oplus^{\rm int} \langle B_1\rangle\); se \(V=S\bigoplus^{\rm int} T\) e \(B_1\) e' una base di S e \( B_2\) e' una base di T allora \(B_1\) e \(B_2\) sono disgiunte e \( B_1\coprod B_2\) e' una base di V. Formula di Grassmann: dati due sottospazi \(S, T\) di \(V\) vale che \( {\rm dim}(S)+{\rm dim}(T)={\rm dim}(S\cap T)+{\rm dim}(S+T)\). Corollario: dati due sottospazi \(S,T\) di uno spazio vettoriale V di dimensione finita, vale che \(V=S\oplus^{\rm int}T\) se e solo se \(\mathrm{dim}(V)=\mathrm{dim}(S)+\mathrm{dim}(T)\) e \(S\cap T=\{0\}\) oppure \(S+T=V\).
  
  
• 20-21 (24/03/20 ONLINE).  Esercizi di ricapitolazione: i sottospazi di \(F^n\) dati in forma parametrica e cartesiana e come passare da una all'altra; come calcolare la somma e l'intersezione di due sottospazi di \( F^n\); come mostrare che un sottoinsieme \(I\subseteq F^n \) e' linearmente indipendente o come estrarre da I un sottoinsieme linearmente indipendente massimale; come mostrare che un sottoinsieme \(S\subseteq F^n\) e' generante o come completare S ad un sottoinsieme generante minimale; dati I sottoinsieme linearmente indipendente e S sottoinsieme generante tali che \(I\subseteq S\), come trovare una base B tale che \(I\subseteq B\subseteq S\).
  
  
• 22-23 (04/04/20 ONLINE).  Applicazioni lineari (o omomorfismi lineari) tra spazi vettoriali e operatori lineari (o endomorfismi): definizione e prime proprieta'. Esempi: l'inclusione \( i: S\hookrightarrow V\) di un sottospazio, la proiezione \( p_i:\oplus^{\rm est} V_i \twoheadrightarrow V_i\), la derivata e la primitiva su \( F[X]\), una matrice \( A\in M_{m,n}(F)\) definisce un'applicazione lineare \( \Phi_A:F^n\to F^m\) tramite \( \Phi_A(v)=A\cdot v\), dove \( A\cdot v\) e' il prodotto della matrice A con il vettore v. Lemma 1: un'applicazione lineare da V a W e' univocamente determinata dai suoi valori su una base \( {\mathcal B} \) di V e ogni funzione da \( {\mathcal B} \) a W si puo' estendere per linearita' ad un'applicazione lineare da V a W. Lemma 2: un'applicazione lineare da V a W e' iniettiva/suriettiva/biettiva se e solo manda una base \( {\mathcal B} \) di V in un insieme linearmente indipendente/generante/base di W. Proprieta' algebriche delle applicazioni lineari: \( {\rm Hom}(V,W)\) e' uno spazio vettoriale, la composizione \( \circ: {\rm Hom}(V,W)\times {\rm Hom}(W, U)\to {\rm Hom}(V,U)\) e' associativa e bilineare, data un'applicazione lineare biettiva \(\Phi\) l'inverso e' un'applicazione lineare biettiva. Corollario: \(\mathrm{End}(V)\) e' un anello rispetto alla somma e alla composizione; il gruppo \(\mathrm{GL}(V)\) degli automorfismi lineari di V.
  
  
• 24 (05/04/20 ONLINE).  Il nucleo \( {\rm Ker}(\Phi)\) e l' immagine \( {\rm Im}(\Phi)\) di un'applicazione lineare: la nullita' \({\rm null}(\Phi)={\rm dim}({\rm Ker}(\Phi))\) e il rango \({\rm rg}(\Phi)={\rm dim}({\rm Im}(\Phi))\). Il Teorema di rango-nullita': ogni complementare di \({\rm ker}(\Phi)\) si mappa isomorficamente su \({\rm Im}(\Phi)\) tramite la restrizione di \(\Phi\); \({\rm null}(\Phi)+{\rm rg}(\Phi)\) e' uguale alla dimensione del dominio. Criterio di isomorfismo: un'applicazione lineare tra spazi vettoriali della stessa dimensione finita e' un isomorfismo se e solo se e' iniettivo se e solo se e' suriettivo.
  
  
• 25-26 (07/04/20 ONLINE).  Lo spazio \({\rm Hom}(F^n, F^m) \) : ogni applicazione \(\Phi\in {\rm Hom}(F^n, F^m) \) e' della forma \( \Phi_A\) per un'unica matrice \( A=M(\Phi)\in M_{m,n}(F)\) chiamata matrice (canonica) associata a \(\Phi\). Proposizione: il nucleo di \( \Phi_A\) e' l'insieme delle soluzioni \( {\rm Sol}_A\) associate al sistema lineare omogeneo con matrice associata A, l'immagine di \(\Phi_A\) e' lo span \({\rm Span}_A\) delle colonne di A. La moltiplicazione di matrici e le sue proprieta': associativita', bilinearita', elemento neutro. Proposizione: \(\Phi_A\circ \Phi_B=\Phi_{A\cdot B}.\) Corollario: l'applicazione \(A\mapsto \Phi_A\) induce un isomorfismo unitario di anelli \( M_{n,n}(F) \cong {\rm End}(F^n)\). Proposizione: \(\Phi_A\) e' un isomorfismo (o equivalentemente e' invertibile) se e solo se \(A\) e' invertibilie. Corollario: l'applicazione \(A\mapsto \Phi_A\) induce un isomorfismo tra il gruppo delle matrici invertibili \({\rm GL}_n(F)\) e il gruppo degli endomorfismi invertibili \({\rm GL}(F^n)\).
  
  
• 27-28 (10/04/20 ONLINE).  Il rango \({\rm rg}(A)\) di una matrice A e' uguale al numero di pivots di una matrice a scalini ottenuta da A facendo un'eliminazione di Gauss per righe o per colonne. Algoritmo di Gauss-Jordan per righe o per colonne e riduzione a matrici a scalino ridotte per righe o per colonne. Matrici elementari per righe o per colonne. Lemma: l'inverso si matrici elementari, effettuare operazioni elementari sulle righe (risp. sulle colonne) equivale a moltiplicare a sinistra (risp. a destra) per matrici elementari per righe (risp. per colonne). Proposizione (criterio di invertibilita'): una matrice \(A\in M_{n,n}(F)\) e' invertibile se e solo se \({\rm rg}(A)=n\), se e solo se puo' essere traformata in una matrice triangolare superiore (risp. inferiore) con 1 sulla diagonale tramite un'eliminazione di Gauss per righe (risp. per colonne), se e solo se puo' essere trasformata nella matrice identita' tramite un'eliminazione di Gauss-Jordan per righe (risp. per colonne), se e solo se \(A\) e' prodotto di matrici elementari per righe (risp. per colonne). Metodo di calcolo dell' inversa di una matrice A: trasformare \( (A|I_n) \) in \((I_n|A^{-1}) \) tramite operazioni elementari sulle righe o sulle colonne.
  
  
• 29-30 (13/04/20 ONLINE).  Matrice \(M_{\mathcal C, \mathcal B}(\Phi)\) associata ad un'applicazione lineare \(\Phi:V\to W\) rispetto ad una base \({\mathcal B}\) del dominio e una base \({\mathcal C}\) del codominio. Formula: \([\Phi(v)]_{\mathcal C}=M_{\mathcal C, \mathcal B}(\Phi)\cdot [v]_{\mathcal B}\). Le matrici di cambiamento base \(M_{\mathcal C,\mathcal B}\) e loro proprieta'. Proprieta' delle matrici associate alle applicazioni lineari: la mappa \( \Phi\to M_{\mathcal C, \mathcal B}(\Phi)\) definisce un isomorfismo lineare tra \( {\rm Hom}(V,W)\) e \(M_{m,n}(F)\); formula di composizione \(M_{\mathcal C, \mathcal A}(\Psi\circ \Phi)=M_{\mathcal C, \mathcal B}(\Psi)\cdot M_{\mathcal B, \mathcal A}(\Phi)\); formula di cambiamento base \(M_{\mathcal C', \mathcal B'}(\Phi)=M_{\mathcal C', \mathcal C}\cdot M_{\mathcal C, \mathcal B}(\Phi)\cdot M_{\mathcal B, \mathcal B'}\); il rango di un'applicazione lineare \(\Phi\) e' uguale al rango di una qualsiasi matrice \(M_{\mathcal C, \mathcal B}(\Phi)\) che la rappresenta.
  
  
• 31-32-33 (16/04/20 ONLINE).  Matrici equivalenti : \( A\sim_{\rm eq} B \) se e solo se \(A=P\cdot B \cdot Q\) con \( P, Q\) invertibili o, equivalentemente, se e solo se A puo' essere ottenuta da B facendo operazioni elementari sulle righe o sulle colonne. Teorema di classificazione delle matrici equivalenti: due matrici sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango e ogni matrice e' equivalente ad una matrice in forma canonica \( \begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \). Applicazioni lineari equivalenti: quattro definizioni equivalenti. Lemma 1: matrici invertibili come matrici di cambiamento di base. Lemma 2: matrici invertibili come matrici di automorfismi. Teorema di classificazione delle applicazioni lineari equivalenti: due applicazioni lineari sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango e ogni applicazione si puo' scrivere, rispetto ad oppurtune basi ordinate del dominio e del codominio, in forma canonica \( \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \)
  
  
• 34-35 (27/04/19 ONLINE).  Il quoziente \(V/S\) di uno spazio vettoriale \(V\) rispetto ad un suo sottospazio \(S\leq V\). La proiezione canonica \( \pi_S:V\twoheadrightarrow V/S\) e la sua proprieta' universale. Il teorema di corrispondenza: esiste una biezione canonica tra i sottogruppi di \(V/S\) e i sottogruppi di \(V\) contenenti \(S\). Teorema: ogni complementare di \( S\leq V\) e' canonicamente isomorfo a \(V/S\) tramite la restrizione di \(\pi_S\). La codimensione \( {\rm codim}(S)\) di un sottospazio \(S\leq V\) e la formula \({\rm dim}(V)={\rm dim}(S)+{\rm codim}(S)\).
  
  
• 36-37 (28/04/20 ONLINE).  I Teorema di isomorfismo: \(V/{\rm ker}(\Phi)\cong {\rm Im}(\Phi)\). Corollari: una dimostrazione alternativa del Teorema di rangi-nullita'; la fattorizzazione canonica di un'applicazione lineare come composizione di un quoziente, di un isomorfismo e di un'iniezione; i monomorfismi si scrivono canonicamente come composizione di un isomorfismo e di un'iniezione; gli epimorfismi si scrivono canonicamente come composizione di un quoziente e di un isomorfismo; dato \(S\leq T\leq V\) esiste un isomorfismo canonico \(T/S\xrightarrow{\cong} \pi_S(T)\). II Teorema di isomorfismo: per ogni \(S,T\leq V\) esiste un isomorfismo canonico \(S/(S\cap T)\xrightarrow{\cong} (S+T)/T\). III Teorema di isomorfismo: per ogni \(S\leq T\leq V\) esiste un isomorfismo canonico \(V/T\xrightarrow{\cong} (V/S)/(T/S)\).
  
  
• 38-39-40 (03/05/20 ONLINE).  I funzionali lineari e le loro proprieta'. Lo spazio vettoriale duale \(\hat{V}\) di uno spazio vettoriale \(V\). Proposizione: il duale di \(F^n\) e' canonicamente isomorfo a \(F^n\); il duale di \( F^{(X)}\) e' canonicamente isomorfo a \(F^X\). L'insieme duale \( \hat{{\mathcal B}}\) di una base \( {\mathcal B}\) di \(V\). Teorema: data una base \({\mathcal B}\) di \(V\), l'insieme duale \( \hat{{\mathcal B}}\) e' linearmente indipendente ed e' una base (chiamata base duale) se \(V\) ha dimensione finita. Corollario: se \(V\) ha dimensione finita, allora \(V\) e \(\hat{V}\) sono isomorfi (ma non canonicamente). Fatto (senza dimostrazione): se \(V\) ha dimensione infinita allora \( {\rm dim}(V)<{\rm dim}(\hat{V})\), e dunque \(V\) e \(\hat{V}\) non sono isomorfi. Lo spazio vettoriale biduale (o doppio duale) \( \hat{\hat{V}}\) di \(V\) e la mappa canonica \(\tau(=\tau_V): V\to \hat{\hat{V}}\) che manda \(v\in V\) nella valutazione \(\tau_v=\overline v\in \hat{\hat{V}}\) dei funzionali in \(v\in V\). Teorema: la mappa canonica \(\tau: V\to \hat{\hat{V}}\) e' iniettiva ed e' un isomorfismo se (e solo se) \(V\) ha dimensione finita.
  
  
• 41-42 (05/05/20 ONLINE).  L'applicazioni lineare duale \(\hat{\Phi}:{\rm Hom}(\hat{W},\hat{V})\) di un'applicazione lineare \(\Phi\in {\rm Hom}(V,W)\). Proprieta': la mappa di dualita' \(\hat{(-)}:{\rm Hom}(V,W)\to {\rm Hom}(\hat{W},\hat{V})\) e' un'applicazione lineare iniettiva ed un isomorfismo in dimensione finita; \(\widehat{(\Psi\circ \Phi)}=\hat{\Phi}\circ \hat{\Psi}\); se \(\Phi\in {\rm End}(V)\) e' invertibile allora \(\Phi^*\) e' invertibile e vale che \((\hat{\Phi})^{-1}=\widehat{(\Phi^{-1})}\); se \(\Phi\in {\rm Hom}(V,W)\) allora vale che \(\hat{\hat{\Phi}}\circ \tau_V=\tau_W\circ \Phi\). La trasposta di matrici e sue proprieta' algebriche: \((A^t)^t=A\), la mappa di trasposizione \((-)^t:M_{n,m}(F) \to M_{m,n}(F)\) e' un isomorfismo di F-spazi vettoriali; \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\); se \(A\) e' invertibile allora \(A^t\) e' invertibile e \((A^t)^{-1}=(A^{-1})^t\); \(\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^t)\). Teorema: per ogni \(\Phi\in {\rm Hom}(V,W)\) e basi ordinate \({\mathcal B}\) e \({\mathcal C}\) degli spazi vettoriali di dimensione finita \(V\) e \(W\), vale che \(M_{\hat{{\mathcal B}},\hat{{\mathcal C}}}(\hat{\Phi})=M_{{\mathcal C},{\mathcal B}}(\Phi)^t\). Corollario: per ogni \(\Phi\in {\rm Hom}(F^n,F^m)\), usando gli isomorfismi canonici \(\hat{(F^n)}\cong F^n\) e \(\hat{(F^m)}\cong F^m\), si ha che \(M(\hat{\Phi})=M(\Phi)^t\). Corollario: \({\rm rg}(\hat{\Phi})={\rm rg}(\Phi)\). Corollario: \(\Phi\) e' iniettiva (risp. suriettiva) se e solo se \(\hat{\Phi}\) e' suriettiva (risp. iniettiva).
  
  
• 43-44 (09/05/20 ONLINE).  L' annullatore \({\rm Ann}(S)\leq \hat{V}\) di \(S\leq V\) e il luogo degli zeri \(Z(H)\leq V\) di \(H\leq \hat{V}\). Teorema: \({\rm Ann}\) e \(Z\) rovesciano le inclusioni; \(Z({\rm Ann}(S)=S\) per ogni \(S\leq V\); \({\rm Ann}(Z(H)\supseteq H\) per ogni \(H\leq \hat{V}\) con uguaglianza se \(V\) ha dimensione finita; \(\tau_V^{-1}({\rm Ann}(H))=Z(H)\) per ogni \(H\leq \hat{V}\) che implica che \(\tau_V(Z(H))\subseteq {\rm Ann}(H)\) con uguaglianza se \(V\) ha dimensione finita; \({\rm Ann}(S)\cong \widehat{V/S}\) per ogni \(S\leq V\); \(Z(H)\hookrightarrow \widehat{\hat{V}/H}\) per ogni \(H\leq \hat{V}\) con uguaglianza se \(V\) ha dimensione finita. Corollario: se \(V\) ha dimensione finita, allora \({\rm Ann}\) e \(Z\) sono due biezioni, una inversa dell'altra, tra i sottospazi di \(V\) e i sottospazi di \(V^*\) che inoltre rovesciano le inclusioni (e dunque scambiano intersezione e somma) e scambiano sottospazi e quozienti (e dunque scambiano dimensione e codimensione). Teorema: \( \ker(\hat{\Phi})={\rm Ann}({\rm Im}(\Phi))\) e \(Z(\ker(\hat{\Phi}))={\rm Im}(\Phi)\); \({\rm Im}(\hat{\Phi})={\rm Ann}(\ker(\Phi))\) e \(Z({\rm Im}(\hat{\Phi})=\ker(\Phi)\). L' annullatore numerico \({\rm Ann}_{F^n}\) in \(F^n\) come auto-trasformazione di \({\mathcal S}(F^n)\) idempotente, cioe' \({\rm Ann}_{F^n}\circ {\rm Ann}_{F^n}={\rm id}\), che rovescia le inclusioni (e dunque scambia intersezione e somma) e scambia sottospazi e duali dei quozienti (e dunque scambia dimensione e codimensione). Lemma: \({\rm Ann}_{F^n}({\rm Sol_A})={\rm Span}_{A^t}\) e \({\rm Ann}_{F^n}({\rm Span}_A)={\rm Sol}_{A^t}\).
  
  
• 45-46-47 (26/05/20 ONLINE).  La similitudine di matrici e operatori lineari. Lemma: la similitudine di operatori lineari in termini di matrici associate. Il determinante di una matrice quadrata: formula di Leibniz. Esempi: matrici di ordine 2 e 3; matrici triangolari inferiori o superiori. Lemma: \({\rm det}(A^t)={\rm det}(A)\). Teorema: il determinante e' multilineare e alterno come funzione sulle righe (risp. colonne). Corollario: il comportamento del determinante rispetto alle operazioni elementari sulle righe (risp. colonne). Corollario: il determinante e' l'unica funzione \( M_n(F)\to F\) che e' multilineare e alterno sulle righe (risp. colonne) e soddisfa \({\rm det}(I_n)=1\). Corollario: una matrice A e' invertibile se e solo se \({\rm det}(A)\neq 0\). Teorema (moltiplicativita' del determinante): \({\rm det}(A\cdot B)={\rm det}(A)\cdot {\rm det}(B)\). In particolare, \({\rm det}(A^{-1})={\rm det}(A)^{-1}\) se A e' invertibile. Corollario: se A e B sono simili allora \({\rm det}(A)={\rm det}(B)\). Definizione: il determinante di un operatore lineare come il determinante di una sua qualsiasi matrice associata. Teorema: sviluppo di Leibniz lungo una riga o una colonna. Corollario: \( A\cdot {\rm cof}(A)^t={\rm det}(A)\cdot I_n\) dove \( {\rm cof}(A)\) e' la matrice dei cofattori di \(A\). Caso particolare: se \(A\) e' invertibile, allora \(A^{-1}=1/{\rm det}(A) \cdot {\rm cof}(A)^t\).
  
  
• 48-49 (27/05/20 ONLINE).  Digressione sulle permutazioni . Il gruppo (simmetrico) \(S_n\) delle permutazioni su n lettere. Teorema: ogni permutazione si decompone in maniera unica come prodotto di cicli disgiunti. Teorema: ogni permutazione e' prodotto di trasposizioni (in maniera non unica) e la parita' del numero di trasposizioni e' ben definita. Il segno delle trasposizioni come omomorfismo \({\rm sgn}:S_n\to \{\pm 1\}\).
  
  
• 50-51 (28/05/20 ONLINE).  Richiami sull'anello dei polinomi \( F[X]\) a coefficienti in un campo \(F\): la divisione di Euclide, il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo, l'identita' di Bezout per il massimo comun divisore, la fattorizzazione unica in polinomi irriducibili, ogni ideale e' principale, l'identita' \((f,g)=({\rm mcd}\{f,g\})\), polinomi irriducibili in \( \mathbb{C}[X] \) e in \( \mathbb{R}[X]\). Il polinomio caratteristico \(\chi_A\) di una matrice quadrata \(A\) e \(\chi_{\Phi}\) di un operatore lineare \( \Phi\in {\rm End}(V)\): loro invarianza per similitudine, vale la formula \(\chi_{\Phi}=\chi_{M_{\mathcal B}(V)}\) per ogni base ordinata di \(V\), i coefficienti di \(\chi\) sono gli unici invarianti polinomiali per similitudine (senza dimostrazione), il termine noto di \( \chi\) e' \((-1)^n{\rm det}\) e il termine subdirettore e' l'opposto della traccia \({\rm tr}\). Polinomi applicati a operatori lineari e matrici quadrate. Il polinomio minimo \(\mu_A\) di una matrice quadrata \(A\) e \(\mu_{\Phi}\) di un operatore lineare \( \Phi\in {\rm End}(V)\): loro invarianza per similitudine; vale che \(\mu_{\Phi}=\mu_{M_{\mathcal B}(V)}\) per ogni base ordinata di \(V\). Fatto (senza dimostrazione): il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico (formula di Cayley-Hamilton) e hanno gli stessi fattori irriducibili. Esempio: il polinomio caratteristico di una matrice triangolare superiore; la matrice compagna \(C[p(x)]\) associata ad un polinomio \(p(x)\in F[x]\) soddisfa \(\chi_{J_m(\lambda)}(x)=\mu_{J_m(\lambda)}(x)=p(x)\); il blocco di Jordan \(J_m(\lambda)\) di ordine \(m\geq 1\) e autovalore \(\lambda\in F\) soddisfa \(\chi_{J_m(\lambda)}(x)=\mu_{J_m(\lambda)}(x)=(x-\lambda)^m\).
  
  
• 52 (29/05/20 ONLINE).  Sottospazi \(\Phi\)-invarianti \(W\leq V\): operatore di restrizione \(\Phi_{|W}\), operatore quoziente \(\overline{\Phi}_{V/W}\) e complementari \(\Phi\)-invarianti. Interpretazione in termini di matrici triangolari o diagonali a blocchi. Proposizione: \(\chi_{\Phi}=\chi_{\Phi_{|W}}\cdot \chi_{\overline{\Phi}_{V/W}}\); \({\rm mcm}(\mu_{\Phi_{|W}}, \mu_{\overline{\Phi}_{V/W}})\vert \mu_{\Phi}\) e vale l'uguale se \(W\leq V\) ammette un complementare \(\Phi\)-invariante. Esempio: il multiblocco di Jordan \( J_{\underline{m}}(\lambda)\) con autovalore \(\lambda \in F\) e multiordine \(\underline{m}=(m_1\geq \ldots\geq m_r\geq 1)\) ha polinomio caratteristico uguale a \((x-\lambda)^{\sum m_i}\) e polinomio minimo \( (x-\lambda)^{m_1}\).
  
  
• 53-54-55 (30/05/20 ONLINE).  Decomposizione primaria di \(\Phi\in {\rm End}(V)\): se il polinomio minimo si fattorizza come \(\mu_{\Phi}(x)=\prod_i p_i(x)^{e_i}\) allora \(V\) si fattorizza nei sottospazi primari \(V=\oplus_i V(p_i):={\rm Ker}(p_i^{e_i}(\Phi))\) e vale che \(\mu_{\Phi_{|V(p_i)}}(x)=p_i(x)^{e_i}\). Autovalori di un operatore lineare \( \Phi\in {\rm End}(V)\) (o di una matrice quadrata \( A\in M_n(F)\)) come radice del polinomio caratteristico. Lemma: \(\lambda\in F\) e' un autovalore di \(\Phi\) se e solo se \(\Phi\) ammette autovettori non nulli associati a \(\lambda\). L'autospazio \({\mathcal E}_{\lambda}(\Phi)\) associato ad un autovalore \(\lambda \in F\) di \(\Phi\), l'autospazio generalizzato \({\mathcal E}^k_{\lambda}(\Phi)\) di indice \(k\geq 1\), l'autospazio generalizzato infinito \({\mathcal E}_{\lambda}^{\infty}(\Phi)\). Alcuni invarianti associati ad un autovalore: la molteplicita' algebrica \({\rm algmolt}(\lambda):={\rm molt}_{\lambda}(\chi_{\Phi}(x))\), la molteplicita' geometrica \({\rm geomolt}(\lambda):={\rm dim}({\mathcal E}_{\lambda}(\Phi))\), la molteplicita' geometrica k-esima \({\rm geomolt}^k(\lambda):={\rm dim}({\mathcal E}^k_{\lambda}(\Phi))\), la molteplicita' geometrica infinita \({\rm geomolt}^{\infty}(\lambda):={\rm dim}({\mathcal E}^{\infty}_{\lambda}(\Phi))\), l'indice \({\rm ind}(\lambda)\) come il piu' piccolo intero tale che \({\mathcal E}^n_{\lambda}(\Phi)= {\mathcal E}^{\infty}_{\lambda}(\Phi)\) per ogni \(n\geq {\rm ind}(\lambda)\). Esempio: gli autospazi generalizzati rispetto a \(\lambda\) del multiblocco di Jordan \(J_{\underline{m}}(\lambda)\). Teorema: \({\rm algmolt}(\lambda)={\rm geomolt}^{\infty}(\lambda)\); \({\rm ind}(\lambda)={\rm molt}_{\lambda}(\mu_{\Phi}(x))\); \({\mathcal E}_{\lambda}^{\infty}(\Phi)\) e' il sottospazio primario \(V_{\Phi}(x-\lambda)\) associato al fattore irriducibile \(x-\lambda\); \({\rm ind}(\lambda)\leq {\rm algmolt}(\lambda)\). Corollario: \(\lambda \) e' un autovalore di \(\Phi\) se e solo se \(\lambda\) e' una radice di \(\mu_{\Phi}(x)\) e vale che \({\rm molt}_{\lambda}(\mu_{\Phi}(x))\leq {\rm molt}_{\lambda}(\chi_{\Phi}(x))\).
  
  
• 56-57 (31/05/20 ONLINE).  Sottospazi \(\Phi\)-cicli: il sottospazio \(\Phi\)-ciclico \(\langle \Phi, v\rangle\) generato da \(v\in V\) e il polinomio minimo \(\mu_{\Phi,v}\) di \(\Phi\) rispetto a \(v\in V\). Proposizione: \(\langle \Phi, v\rangle\) e' il piu' piccolo sottospazio \(\Phi\)-invariante che contiene \(v\); \(\mu_{\Phi, v}=\mu_{\Phi|\langle \Phi, v\rangle}=\chi_{\Phi|\langle \Phi, v\rangle}\); \({\rm dim}(\langle \Phi, v\rangle={\rm deg}(\mu_{\Phi, v})\). Operatori ciclici: \(\Phi\) e' ciclico se esiste un vettore \(v\in V\) (chiamato generatore) tale che \(V=\langle \Phi, v\rangle\). Proposizione: \(\Phi\) e' ciclico se e solo se esiste una base ordinata \({\mathcal B}\) di \(V\) tale che \(M_{\mathcal B}(\Phi)=C[p(x)]\) e in tal caso \(p(x)=\mu_{\Phi}=\chi_{\Phi}=\mu_{\Phi, v}\) dove \(v\) e' un generatore. Corollario: due operatori ciclici sono simili se e solo se hanno lo stesso polinomio caratteristico (risp. minimo). Proposizione: dato un operatore ciclico \(\Phi\in {\rm End}(V)\), esiste una biezione tra i divisori di \(\mu_{\Phi}=\chi_{\Phi}\) e i sottospazi \(\Phi\)-invarianti, ottenuta mandando \(g\vert \mu_{\Phi}\) in \(\displaystyle \left\langle \Phi, \left(\frac{\mu_{\Phi}}{g}\right)(\Phi)(v)\right\rangle\) e \(W\leq V\) in \(\mu_{\Phi\vert W}\vert \mu_{\Phi}\). Corollario: ogni operatore ciclico si decompone in maniera canonica come somma diretta di operatori ciclici primari.
  
  
• 58-59-60 (03/06/20 ONLINE).  Teorema (senza dimostrazione) di decomposizione ciclica primaria: ogni operatore e' somma diretta di operatori ciclici primari che sono indecomponibili; i fattori ciclici primari sono unici a meno di similitudine. I divisori elementari \({\rm ElemDiv}(\Phi)\) di un operatore. Teorema (senza dimostrazione) di classificazione degli operatori a meno di similitudine : due operatori sono simili se e solo se hanno gli stessi divisori elementari. Corollario: il polinomio caratteristico e' il prodotto dei divisori elementari, il polinomio minimo e' il minimo comune multiplo dei divisori elementari. In particolare, \(\mu_{\Phi}\) divide \(\chi_{\Phi}\) e hanno gli stessi fattori irriducibili. Corollario: un operatore \(\Phi\in {\rm End}(V)\) e' ciclico se e solo se \(\chi_{\Phi}=\mu_{\Phi}\) se e solo se i suoi divisori elementari sono a due a due coprimi se e solo se i suoi sottospazi primari sono ciclici. Corollario: dato un operatore \(\Phi\in {\rm End}(V)\), esiste una base ordinata \({\mathcal B}\) di \(V\) tale che \(M_{\mathcal B}(\Phi)\) e' una matrice diagonale a blocchi con blocchi dati dalle matrici compagne associate ai suoi divisori elementari. Digressione: l'analogia tra gli operatori lineari \(\Phi\in {\rm End}(V)\) e i gruppi abeliani finiti. Teorema di triangolarizzabilita' : un operatore \(\Phi\) e' triangolarizzabile (superioremente o inferiormente) se e solo se \(\chi_{\Phi}\) (o equivalentemente \(\mu_{\Phi}\)) ha solo fattori irriducibili lineari. Teorema sulla forma canonica di Jordan : dato un operatore \(\Phi\in {\rm End}(V)\) tale che \(\chi_{\Phi}\) ha solo fattori irriducibili lineari, allora esiste una base ordinata \({\mathcal B}\) di \(V\) tale che \(M_{\mathcal B}(\Phi)={\rm diag}(J_{\underline{m}(\lambda_1)}(\lambda_1), \ldots, J_{\underline{m}(\lambda_r)}(\lambda_r)) \), dove \(\{\lambda_1,\ldots, \lambda_r\}\) sono gli autovalori di \(\Phi\) e \(\underline{m}(\lambda_i)\) e' una partizione. Due operatori i cui polinomi caratteristici hanno solo fattori irriducibili lineari sono simili se e solo se hanno la stessa forma canonica di Jordan. Teorema di diagonalizzabilita' : un operatore \(\Phi\in {\rm End}(V)\) con autovalori \(\{\lambda_1,\ldots, \lambda_r\}\) e' diagonalizzabile se e solo esiste una base di V fatta di autovettori per \(\Phi\) se e solo se \(V={\mathcal E}_{\lambda_1}(\Phi)\oplus \ldots \oplus {\mathcal E}_{\lambda_r}(\Phi)\) se e solo se \(\chi_{\Phi}\) ha solo fattori lineari e \({\mathcal E}_{\lambda_i}(\Phi)={\mathcal E}_{\lambda_i}^{\infty}(\Phi)\) (o equivalentemente \({\rm geomolt}(\lambda_i)={\rm algmolt}(\lambda_i)\)) se e solo se \(\sum_{i=1}^r {\rm geomolt}(\lambda_i)= {\rm dim}(V)\) se e solo se \( \mu_{\Phi}\) e' prodotto di fattori lineari distinti.