Corso GE210 (Geometria 2) - a.a. 2017/2018

DIARIO delle LEZIONI

• 1-2 (28/09/17).  Forme bilineari su un K-spazio vettoriale V. Le forme bilineari su V formano uno spazio vettoriale Bil(V). Forme bilieari speciali: simmetriche, antisimmetriche, alterne. Teorema di caratterizzazione di forme bilineari speciali: in caratteristica 2, alterno implica (strettamente) antisimmetrico che equivale a simmetrico; in caratteristica diversa da 2, alterno equivale a antisimmetrico e ogni forma bilineare e' somma di una forma simmetrica e una forma antisimmetrica. Le due applicazioni lineari \(L_B\) e \(R_B\) associate ad una forma bilineare B: Bil(V) e' isomorfo a \(\mathrm{Hom}_K(V,V^*)\). Il radicale sinistro \(\mathrm{rad}^L B\) e il radicale destro \( \mathrm{rad}^R B\) di una forma bilineare B.
  


• 3-4 (29/09/17).  Forme bilineari e matrici rispetto ad una base fissata \( \mathcal{E}=\{e_1,\ldots, e_n\}\) di V: la matrice \( M_{\mathcal{E}}(B)=(B(e_i,e_j)_{i,j}\) associata ad una forma bilineare B e la forma bilineare \( B_M(x,y)=[x]_{\mathcal{E}}^t \cdot M \cdot [y]_{\mathcal{E}} \) associata ad una matrice M. La caraterrizzazione di forme bilineari speciali in termini di matrici. Matrici associate a \( L_B\) e \(R_B \): \(M_{\mathcal{E}^*,\mathcal{E}}(L_B)=M_{\mathcal{E}}(B)^t\) e \(M_{\mathcal{E}^*,\mathcal{E}}(R_B)=M_{\mathcal{E}}(B)\), dove \(\mathcal{E}^*\) e' la base duale di \(\mathcal{E}\). Formula di cambiamento di matrice rispetto ad un'altra base \(\mathcal{F}\): \(M_{\mathcal{E}}(B)=M_{\mathcal{F},\mathcal{E}}^tM_{\mathcal F}(B)M_{\mathcal{F},\mathcal{E}}\), dove \(M_{\mathcal{F},\mathcal{E}}\) e' la matrice di cambiamento di base da \(\mathcal{E}\) a \(\mathcal{F}\). Invarianti di forme bilineari: il rango \(\mathrm{rk}(B)\) e il discriminante \(\Delta(B)\in \{0\}\cup K^*/(K^*)^2\). Forme bilineari non-degeneri e loro caratterizzazioni in termini di \(L_B\) e \(R_B\), e in termini di radicali sinistro e destro. La relazione \(\perp_B\) di ortogonalita' rispetto a B tra due elementi di V. Teorema: \(\perp_B\) e' simmetrica se e solo se B e' simmetrica o alterna (o equivalentemente se e solo se B e' simmetrica o antisimmetrica).


• 5-6 (05/10/17).  L'ortogonale sinistro \(\perp_L\) e destro \(\perp_R\) di un sottoinsieme di V rispetto ad una forma bilineare B e sue proprieta'. Richiamo: i sottospazi di uno spazio vettoriale con la relazione di inclusione formano sono un poset con meet (=intersezione), join (=somma), massimo (=V), minimo (=(0)), funzione di graduazione (=\(\mathrm{dim}\)). Teorema: se B e' non-degenere su V allora le operazioni di ortogonale destro e sinistro sono anti-isomorfismi, uno l'inverso dell'altro, del poset dei sottospazi di V; dunque scambiano intersezione e somma, V e (0), dimensione e codimensione. La relazione di ortogonalita' tra sottospazi vettoriali e somme dirette ortogonali \(\oplus^{\perp}\). Teorema: se la restrizione di B ad un sottospazio U di V e' non-degenere allora \( V=U\oplus^{\perp} U^{\perp_R}=U^{\perp_L}\oplus^{\perp} U\).


• 7-8 (06/10/17).  Isometrie di spazi vettoriali metrici (=spazi vettoriali muniti di una forma bilineare) e il gruppo \({\rm Isom}(V,B)\subset {\rm GL}(V)\) delle autoisometrie di uno spazio vettoriale metrico \((V,B)\). Forme bilineari equivalenti su uno spazio vettoriale. Teorema: i sottogruppi di \( {\rm GL}(V)\) di autoisometrie di due forme bilineari equivalenti sono coniugati. L' aggiunto di un operatore lineare \( T:(V_1,B_1)\to (V_2,B_2)\) (con \( B_1\) non-degenere) come l'unico operatore lineare \(T^{\rm adj}:V_2\to V_1\) tale che \(B_2(T(x_1),x_2)=B_1(x_1, T^{\rm adj}(x_2))\). Formula \(T^{\rm adj}=R_{B_1}^{-1}\circ T^* \circ R_{B_2}\), dove \( T^*\) e' l'operatore duale di \( T\).


• 9-10 (12/10/17).  Proprieta' dell'aggiunto: linearita', associativita', idempotenza (nel caso simmetrico o antisimmetrico). Richiami su spazi vettoriali: l'isomorfismo canonico \( \delta:V\to V^{**} \) tra uno spazio vettoriale \( V \) e il suo doppio duale \( V^{**} \); il doppio duale \( T^{**}\) di un endomorfismo \( T: V\to V \) si identifica a T (tramite l'isomorfismo \(\delta\)). Teorema: un'automorfismo lineare \( T:V\to V \) e' un isometria rispetto ad una forma bilineare B non-degenere se e solo se \( T^{-1}=T^{\rm adj}\). Forme bilineari alterne. Teorema di classificazione: ogni forma bilineare alterna ammette una base simplettica.


• 11-12 (13/10/17).  Proposizione: ogni spazio vettoriale metrico \( (V,B)\) in cui \({\rm rad}^L(B)={\rm rad}^R(B)\) si puo' scrivere come somma diretta ortogonale del radicale \( {\rm rad}(B)\) e dello spazio vettoriale metrico non-degenere \(V/{\rm rad}(B) \) con la forma bilineare quoziente. Coppie iperboliche e piano iperbolico simplettico. Riformulazione del Teorema di Classificazione: ogni spazio vettoriale simplettico e' somma diretta ortogonale del suo radicale e di piani iperbolici simplettici. Corollari: gli unici invarianti degli vettoriale simplettici (o equivalentemente di una matrice alterna a meno di congruenza) sono la dimensione e il rango; il determinante di una matrice alterna A e' un quadrato ed ammette una radice canonica, lo Pfaffiano \( {\rm Pf}(A)\). Lo spazio vettoriale simplettico standard e il gruppo simplettico standard \( {\rm Sp}_n(K) \): sua descrizione esplicita.


• 13-14 (19/10/17).  Il gruppo simplettico \( {\rm Sp}(V,B) \) associato ad uno spazio simplettico non-degenere \( (V,B) \). Le trasvezioni simplettiche \( \tau_{v,a}(x)=x+aB(x,v)v \) e le loro proprieta'. Lemma: due coppie simplettiche sono mandate l'una nell'altra dal prodotto di (al piu' 4) trasvezioni simplettiche.


• 15-16 (20/10/17).  Teorema: il gruppo simplettico \( {\rm Sp}(V,B)\) e' generato da trasvezioni simplettiche; piu' precisamente, ogni trasformazione simplettica e' il prodotto di al piu' \( 2\cdot {\rm dim}(V) \) trasvezioni simplettiche. Forme quadratiche: definizione e caretterizzazione. La forma quadratica \( Q_B(x):=B(x,x)\) associata ad una forma bilineare \( B\). La forma bilineare polare \( B_Q(x,y):=Q(x+y)-Q(x)-Q(y) \) di una forma quadratica \( Q\). Relazioni: \( Q_{B_Q}=2 Q\) e \(B_{Q_B}=B^s\) dove \(B^s(x,y)=B(x,y)+B(y,x)\) e' la simmetrizzazione di \(B \). Consequenza: se \( {\rm char}(K)\neq 2\) allora le mappe di cui sopra definiscono due isomorfi tra lo spazio vettoriale \( {\rm Quad}(V)\) delle forme quadratice su \( V \) e lo spazio vettoriale \( {\rm Bil}^s(V) \) delle forme bilineari simmetriche su \( V\). Teorema di diagonalizzazione: se \( {\rm char}(K)\neq 2\) allora ogni forma bilineare simmetrica ammette una base ortogonale, o equivalentemente ogni forma quadratica si puo' esprimenere come polinomio omogeneo di grado 2 senza monomi misti.


• 17-18 (24/10/17).  La riduzione di forme bilineari simmetriche a forma canonica su campi speciali: campi in cui ogni elemento ammette una radice quadrata (esempio: \( {\mathbb C}\)), \( {\mathbb R}\) (Legge di inerzia di Sylvester), campi finiti (solo enunciato, senza dimostrazione). Il gruppo ortogonale \( {\rm O}(V,B) \) associato ad uno spazio ortogonale non-degenere \( (V,B) \). La decomposizione \( {\rm O}(V,B)={\rm O}^+(V,B)\coprod {\rm O}^-(V,B)\) in rotazioni (\({\rm det}=1\)) e riflessioni (\({\rm det}=-1\)). Le simmetrie \( \sigma_{u}(x)=x-2\frac{B(x,u)}{B(u,u)}u \) (con \( u\) anisotropo) e le loro proprieta'. Lemma: due vettori anisotropi con la stessa norma sono mandati l'uno in piu' o meno l'altro da una simmetria.


• 19-20 (27/10/17).  Teorema: il gruppo ortogonale \( O(V,B)\) e' generato da simmetrie: piu' precisamente, ogni trasformazione ortogonale si puo' scrivere come prodotto di al piu' \( 2\cdot {\rm dim}(V) \) simmetrie. Coppie iperboliche, piani iperbolici e spazi iperbolici ortogonali. Le estensioni iperboliche \( \overline{U} \) di un sottospazio \( U \) di uno spazio ortogonale \(V, B\) non-degenere. Proprieta' delle estensioni iperboliche: minimalita' e unicita'.


• 21-22 (30/10/17).  I due teoremi di Witt : il teorema di cancellazione e il teorema di estensione. Proposizione: tutti i sottospazi totalmente degeneri massimali di uno spazio ortogonale \( (V, B)\) non-degenere hanno la stessa dimensione, chiamata indice di Witt \( w(B)\) di \( B \). Proposizione: tutti i sottospazi iperbolici massimali di uno spazio ortogonale \( (V, B)\) non-degenere hanno dimensione uguale a \( 2\cdot w(B) \). La decomposizione anisotropa di uno spazio ortogonale \((V,B)\) come somma diretta ortogonale di uno spazio totalmente degenere \(\mathcal{N}\) (uguale al suo radicale), di uno spazio iperbolico \(\mathcal{H}\) e di uno spazio anisotropo \(\mathcal{A}\).


• 23-24 (31/10/17).  Unicita' dei tre blocchi della decomposizione anisotropa. La decomposizione anisotropa per spazi ortogonali su \(K={\mathbb C}\) e \(K={\mathbb R}\). Esercizi su piani iperbolici simplettici e ortogonali.


• 25-26 (03/11/17).  Esercizi di preparazione all'esonero: piani iperbolici simplettici e ortogonali e loro isometrie.


• 27-28 (06/11/17).  Esercizi di preparazione all'esonero: decomposizione anisotropica su \( {\mathbb R } \) e sui campi finiti. Digressione: le forme anisotropiche e la decomposizione anisotropica per forme bilineari simmetriche su campi finiti (senza dimostrazione).


• 29-30 (14/11/17).  Forme sesquilineari su spazi vettoriali complessi. Proprieta' delle forme sesquilineari (analoghe a quelle delle forme bilineari). Il teorema di classificazione di forme sesquilineari Hermitiane e anti-Hermitiane. I prodotti scalari \( <-,-> \) reali (spazi euclidei) e complessi (spazi unitari). Basi ortonormali e prodotti scalari standard.


• 31-32 (16/11/17).  La norma associata ad un prodotto scalare e la distanza associata ad una norma. La disuguaglianza di Chaucy-Schwarz. La norma associata ad un prodotto scalare soddisfa la legge del parallelogramma e il prodotto scalare si esprime in termini della norma tramite le identita' di polarizzazione. Teorema: una norma viene da un (unico) prodotto scalare se e solo se soddisfa la legge del parallelogramma (con dimostrazione solo nel caso reale). L' ortogonale di un sottospazio vettoriale di \( (V,\langle-,-\rangle )\). Teorema: l' operazione di ortogonalita' e' un anti-isomorfismo involutivo del poset dei sottospazi di V (dunque scambia intersezione e somma, V e (0), dimensione e codimensione); dato un sottospazio \( W\) si ha la somma diretta ortogonale \( V=W\oplus^{\perp} W^{\perp}\). La proiezione ortogonale \( P_W\) su un sottospazio \(W\) e sue proprieta' algebriche.


• 33-34 (17/11/17).  Proprieta' geometriche delle proiezioni ortogonali: disuaglianza di Bessel \( ||P_W(x)||^2\leq ||x||^2\) e proprieta' della migliore approssimazione \({\rm dist}(x,W)=||x-P_W(x)||\). Proprieta' degli insiemi ortogonali e ortonormali: sviluppo di Fourier, formula per la proiezione ortogonale, disuguaglianza/uguaglianza di Parseval. Il procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmitt.


• 35-36 (23/11/17).  Il problema della diagonalizzazione ortonormale per un endomorfismo di un \({\mathbb K}\)-spazio vettoriale \((V,\langle -, -\rangle)\) munito di un prodotto scalare (con \({\mathbb K}={\mathbb R}\) o \({\mathbb C}\)) e le diverse formulazioni equivalenti. Richiami e complementi sull' aggiunto \( T^a=T^{\rm adj} \) di un morfismo lineare \(T:(V,\langle-,-\rangle) \to (W,\langle -,-\rangle)\). Definizione e relazione con il morfismo duale. Proprieta' algebriche dell'aggiunzione: semilinearita', idempotenza, associativita'. Corollario: per ogni polinomio \(p(x)\in {\mathbb K}[x]\) si ha che \(p(T)^a=\overline{p}(T^a)\), dove \(\overline{p}(x)\) e' il polinomio coniugato (tramite il coniugio complesso). Il nucleo e l'immagine di \(T^a\) sono gli ortogonali dell'immagine e del nucleo di \( T\), rispettivamente. La matrice di \(T^a\) rispetto a basi ortonormali nel dominio e codominio e' l'aggiunta (=trasposta coniugata) della matrice di \(T\) rispetto alle stesse basi.


• 37-38 (24/11/17).  Operatori normali e loro proprieta': \(\langle T v, Tw\rangle=\langle T^a v, T^a w\rangle\), \({\rm Ker}\) e \({\rm Im}\) di \(T\) coincidono con quelli di \(T^a\) e di \(T^k\), \(E_{\lambda}(T)=E_{\overline{\lambda}}(T^a)\) e \(E_{\lambda}(T)\perp E_{\mu}(T)\) se \(\lambda\neq \mu\). Corollario: un operatore normale e' diagonalizzabile se e solo se e' ortonormalmente diagonalizzabile. Teorema spettrale sui complessi o Teorema di struttura per operatori normali complessi: un operatore su uno spazio unitario e' ortonormalmente diagonalizzabile se e solo se e' normale. Prima dimostrazione del Teorema con il metodo dei complementi ortogonali. Richiami e Complementi sul problema della diagonalizzazione di operatori su un K-spazio vettoriale V. I Criterio di diagonalizzazione: un operatore e' diagonalizzabile se e solo se la somma delle molteplicita' geometriche degli autovalori e' uguale a \({\rm dim}(V)\). Il polinomio minimo di un operatore. Fatti (senza dimostrazione): il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico (Teorema di Cayley-Hamilton) e hanno gli stessi fattori irriducibili. Esempi.


• 39-40 (28/11/17).  La decomposizione primaria di un operatore. II Criterio di diagonalizzazione: un operatore e' diagonalizzabile se e solo se il polinomio minimo e' prodotto di fattori irriducibili lineari distinti. Proposizione: il polinomio minimo di un operatore normale e' prodotto di fattori irriducibili distinti. Seconda dimostrazione del Teorema di struttura degli operatori normali complessi tramite il polinomio minimo. Teorema di struttura per operatori normali reali: un operatore \(T\in {\rm End}(V)\) su uno spazio ortogonale \((V,\langle -,-\rangle)\) e' normale se e solo se esiste una base ortonormale \({\mathcal E}\) tale che \(M_{\mathcal E,\mathcal E}(T)\) e' diagonale a blocchi con blocchi che sono di ordine 1 oppure della forma \(\begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha \end{pmatrix} \) con \(\beta>0\).


• 41-42 (30/11/17).  Dimostrazione del Teorema di struttura per operatori normali reali con il metodo dei complementi ortogonali. Classi speciali di operatori normali: operatori autoaggiunti (Hermitiani o simmetrici), anti-autoaggiunti (anti-Hermitiani o anti-simmetrici), isometrici (unitari o ortogonali). Loro caratterizzazione tramite la matrice associata rispetto ad una (o equivalentemente ogni) base ortonormale.


• 43-44 (01/12/17).  Proprieta' degli operatori speciali: gli operatori aggiunti (risp. anti-autoaggiunti) formano uno spazio vettoriale reale, gli operatori isometrici formano un gruppo rispetto alla composizione, gli operatori isometrici sono esattamente gli operatori di cambiamento di base tra basi ortonormali. Il Teorema di struttura degli operatori autoaggiunti (Hermitiani o simmetrici), anti-Hermitiani, anti-simmetrici, unitari, ortogonali. La caratterizzazione degli operatori speciali tra gli operatori normali in termini dei fattori irreducibili del polinomio caratteristico. Il Teorema di struttura per matrici normali, autoaggiunte, anti-autoaggiunte, isometriche. Teorema spettrale sui reali : un operatore su uno spazio ortogonale e' ortonormalmente diagonalizzabile se e solo se e' simmetrico. Altra dimostrazione del Teorema spettrale reale con il metodo dei complementi ortogonali, usando che il polinomio caratteristico di un operatore simmetrico si fattorizza come prodotto di polinomi lineari.


• 45-46 (07/12/17).  Operatori positivi (\(T>0\)) e semipositivi (\(T\geq 0\)): definizione e varie caratterizzazioni. Corollari: un operatore e' positivo se e solo se e' semipositivo e invertibile, ogni operatore positivo/semipositivo ammette un'unica radice quadrata, le due norme \( \sqrt{T^a T}\) e \(\sqrt{T T^a}\) di un operatore e loro proprieta'. La decomposizione polare di un operatore: esistenza e unicita'.


• 47-48 (11/12/17).  Esercizi di preparazione al secondo esonero: relazioni tra operatori e forme, la matrice di Gram.


• 49-50 (12/12/17).  Gli spazi proiettivi. Gli spazi proiettivi numerici e i sistemi di riferimento proiettivo. I sottospazi proiettivi: equqzioni cartesiane ed equazioni parametriche; la formula di Grassmann proiettiva.


• 51-52 (14/12/17).  Lo spazio proiettivo come completamento dello spazio affine: l'iperpiano all'infinito, il passaggio dalle coordinate omogenee a quelle non omogenee e viceversa. Lo spazio proiettivo duale e l'applicazioni di dualita' sui sottospazi proiettivi. Cambiamenti di coordinate proiettive e il gruppo delle proiettivita'.


• 53-54 (15/12/17).  Le ipersuperfici proiettive. La classificazione delle ipersuperfici quadraiche proiettive.