Corso GE210 (Geometria 2) - a.a. 2020/2021

DIARIO delle LEZIONI

• 1-2 (23/09/20).  Forme bilineari su un K-spazio vettoriale V. Le forme bilineari su V formano uno spazio vettoriale Bil(V). Forme bilieari speciali: simmetriche, antisimmetriche, alterne. Teorema di caratterizzazione di forme bilineari speciali: in caratteristica 2, alterno implica (strettamente) antisimmetrico che equivale a simmetrico; in caratteristica diversa da 2, alterno equivale a antisimmetrico e ogni forma bilineare e' somma di una forma simmetrica e una forma antisimmetrica. Le due applicazioni lineari $L_B$ e $R_B$ associate ad una forma bilineare B. Il radicale sinistro $\mathrm{rad}^L B$ e il radicale destro $\mathrm{rad}^R B$ di una forma bilineare B.
  


• 3-4 (30/09/20).  Forme bilineari e matrici rispetto ad una base fissata $\mathcal{E}=\{e_1,\ldots, e_n\}$ di V: la matrice $M_{\mathcal{E}}(B)=(B(e_i,e_j)_{i,j}$ associata ad una forma bilineare B e la forma bilineare $B_M(x,y)=[x]_{\mathcal{E}}^t \cdot M \cdot [y]_{\mathcal{E}}$ associata ad una matrice M. La caraterrizzazione di forme bilineari speciali in termini di matrici. Matrici associate a $L_B$ e $R_B$: $M_{\mathcal{E}^*,\mathcal{E}}(L_B)=M_{\mathcal{E}}(B)^t$ e $M_{\mathcal{E}^*,\mathcal{E}}(R_B)=M_{\mathcal{E}}(B)$, dove $\mathcal{E}^*$ e' la base duale di $\mathcal{E}$. Formula di cambiamento di matrice rispetto ad un'altra base $\mathcal{F}$: $M_{\mathcal{E}}(B)=M_{\mathcal{F},\mathcal{E}}^tM_{\mathcal F}(B)M_{\mathcal{F},\mathcal{E}}$, dove $M_{\mathcal{F},\mathcal{E}}$ e' la matrice di cambiamento di base da $\mathcal{E}$ a $\mathcal{F}$.
  


• 5-6 (02/10/20).  Corollari: $\dim \text{Bil}(V)=(\dim V)^2$; gli isomorfismi $L, R:\text{Bil}(V)\to \text{Hom}(V,\hat{V})$; le relazioni $L_B=\hat{R_B}\circ \tau_V$ e $R_B=\hat{L_B}\circ \tau_V$ per ogni $B\in \text{Bil}(V)$. Invarianti di forme bilineari: il rango $\mathrm{rk}(B)$ e il discriminante $\Delta(B)\in \{0\}\cup K^*/(K^*)^2$. Forme bilineari non-degeneri e loro caratterizzazioni in termini di $L_B$ e $R_B$, e in termini di radicali sinistro e destro.
  


• 7-8 (07/10/20).  La relazione $\perp_B$ di ortogonalita' rispetto a B tra due elementi di V. Teorema (senza dimostrazione): $\perp_B$ e' simmetrica se e solo se B e' simmetrica o alterna (o equivalentemente se e solo se B e' simmetrica o antisimmetrica). L'ortogonale sinistro $U^{\perp_L}$ e destro $U^{\perp_R}$ di un sottoinsieme U di V rispetto ad una forma bilineare B e sue proprieta'. Teorema: se B e' non-degenere su V allora le operazioni di ortogonale destro e sinistro sono anti-isomorfismi, uno l'inverso dell'altro, del poset dei sottospazi di V; dunque scambiano intersezione e somma, V e (0), dimensione e codimensione. La relazione di ortogonalita' tra sottospazi vettoriali e somme dirette ortogonali $\oplus^{\perp}$. Teorema: se la restrizione di B ad un sottospazio U di V e' non-degenere allora $V=U\oplus^{\perp} U^{\perp_R}=U^{\perp_L}\oplus^{\perp} U$. Proposizione: se S e' un complementare di $\mathrm{rad}^L(B)$ allora $V=\mathrm{rad}^L(B)\oplus^{\perp} S$ e $B_{|S\times S}$ e' non degenere; se T e' un complementare di $\mathrm{rad}^R(B)$ allora $V=T\oplus^{\perp} \mathrm{rad}^R(B)$ e $B_{|T\times T}$ e' non degenere.
  


• 9-10 (09/10/20).  Isometrie tra spazi vettoriali metrici (=spazi vettoriali muniti di una forma bilineare) e il gruppo ${\rm Isom}(V,B)\subset {\rm GL}(V)$ delle autoisometrie di uno spazio vettoriale metrico $(V,B)$. Teorema: caratterizzazione delle isometrie in termini di basi. Forme bilineari equivalenti su uno spazio vettoriale. Teorema: (i) due forme bilineari $B_1, B_2\in \text{Bil}(V)$ sono equivalenti se e solo se $M_{\mathcal E}(B_1)$ e $M_{\mathcal E}(B_2)$ sono congruenti per ogni (equivalentemente una) base ordinata $\mathcal{E}$ di V se e solo se $B_1=B_2^{\phi}$ per un certo $\phi\in \text{GL}(V)$; (ii) se $B_1$ $B_2$ sono equivalenti allora ${\rm Isom}(V,B_1)$ e ${\rm Isom}(V,B)$ sono sottogruppi coniugati di ${\rm GL}(V)$.
  


• 11-12 (14/10/20).  L' aggiunto di un operatore lineare $T:(V_1,B_1)\to (V_2,B_2)$ (con $B_1$ non-degenere) come l'unico operatore lineare $T^{\rm adj}:V_2\to V_1$ tale che $B_2(T(x_1),x_2)=B_1(x_1, T^{\rm adj}(x_2))$. Formula $T^{\rm adj}=R_{B_1}^{-1}\circ \hat{T} \circ R_{B_2}$, dove $\hat{T}$ e' l'operatore duale di $T$. Formula per la matrice dell'aggiunto di $T:V_1\to V_2$: $M_{{\mathcal E}_1, {\mathcal E}_2}(T^{\rm adj})=M_{{\mathcal E}_1}(B_1)^{-1}\circ M_{{\mathcal E}_2, {\mathcal E}_1}(T)^t\circ M_{{\mathcal E}_2}(B_2)$. Proprieta' dell'aggiunto: linearita', associativita', idempotenza (nel caso simmetrico o antisimmetrico).
  


• 13-14 (16/10/20).  Teorema: un'automorfismo lineare $T:V\to V$ e' un isometria rispetto ad una forma bilineare B non-degenere se e solo se $T^{-1}=T^{\rm adj}$. Forme bilineari alterne. Teorema di classificazione: ogni forma bilineare alterna ammette una base simplettica. Coppie iperboliche e piano iperbolico simplettico. Riformulazione del Teorema di Classificazione: ogni spazio vettoriale metrico alterno e' somma diretta ortogonale del suo radicale e di piani iperbolici simplettici. Corollari: gli unici invarianti degli spazi vettoriali metrico alterno (o equivalentemente di una matrice alterna a meno di congruenza) sono la dimensione e il rango; il rango di una forma bilineare alterna e' pari; il determinante di una matrice alterna A e' un quadrato.
  


• 15-16 (21/10/20).  Il gruppo simplettico ${\rm Sp}(V,B)$ associato ad uno spazio vettoriale simplettico (=alterno e non-degenere) $(V,B)$. Le trasvezioni simplettiche $\tau_{v,a}(x)=x+aB(x,v)v$ e le loro proprieta'. Lemma: due coppie simplettiche sono mandate l'una nell'altra dal prodotto di (al piu' 4) trasvezioni simplettiche.


• 17-18 (23/10/20).  Teorema: il gruppo simplettico ${\rm Sp}(V,B)$ e' generato da trasvezioni simplettiche; piu' precisamente, ogni trasformazione simplettica e' il prodotto di al piu' $2\cdot {\rm dim}(V)$ trasvezioni simplettiche. Forme quadratiche: definizione e caretterizzazione. La forma quadratica $Q_B(x):=B(x,x)$ associata ad una forma bilineare $B$. La forma bilineare polare $B_Q(x,y):=Q(x+y)-Q(x)-Q(y)$ di una forma quadratica $Q$. Relazioni: $Q_{B_Q}=2 Q$ e $B_{Q_B}=\widetilde{B^s}$ dove $\widetilde{B^s}(x,y)=B(x,y)+B(y,x)$ e' la simmetrizzazione di $B$. Consequenza: se ${\rm car}(F)\neq 2$ allora le mappe di cui sopra definiscono due isomorfi tra lo spazio vettoriale ${\rm Quad}(V)$ delle forme quadratice su $V$ e lo spazio vettoriale ${\rm Bil}^s(V)$ delle forme bilineari simmetriche su $V$.


• 19-20 (28/10/20).  Teorema di diagonalizzazione: se ${\rm char}(K)\neq 2$ allora ogni forma bilineare simmetrica ammette una base ortogonale, o equivalentemente ogni forma quadratica si puo' esprimenere come polinomio omogeneo di grado 2 senza monomi misti. La riduzione di forme bilineari simmetriche a forma canonica su campi speciali: campi in cui ogni elemento ammette una radice quadrata (esempio: ${\mathbb C}$), ${\mathbb R}$ (Legge di inerzia di Sylvester), campi finiti (solo enunciato, senza dimostrazione).


• 21-22 (29/10/20).  Il gruppo ortogonale ${\rm O}(V,B)$ associato ad uno spazio ortogonale (=spazio simmetrico non-degenere) $(V,B)$. Il determinante ${\rm det}:{\rm O}(V,B)\to \{\pm 1\}$ e' un omomorfismo suriettivo. La decomposizione ${\rm O}(V,B)={\rm O}^+(V,B)\coprod {\rm O}^-(V,B)$ in rotazioni (${\rm det}=1$) e riflessioni (${\rm det}=-1$). Le simmetrie $\sigma_{u}(x)=x-2\frac{B(x,u)}{B(u,u)}u$ (con $u$ anisotropo) e le loro proprieta'.


• 23-24 (30/10/20).  Lemma: due vettori anisotropi con la stessa norma sono mandati l'uno in piu' o meno l'altro da una simmetria. Teorema: il gruppo ortogonale $O(V,B)$ e' generato da simmetrie: piu' precisamente, ogni trasformazione ortogonale si puo' scrivere come prodotto di al piu' $2\cdot {\rm dim}(V)$ simmetrie. Forme sesquilineari su spazi vettoriali complessi. Proprieta' delle forme sesquilineari (analoghe a quelle delle forme bilineari).


• 25-26 (03/11/20).  Lemma: la moltiplicazione per i induce un isomorfismo di spazi vettoriali reali ${\rm Sesq}^H(V)\cong {\rm Sesq}^{aH}(V)$. Il teorema di classificazione di forme sesquilineari Hermitiane e anti-Hermitiane. I prodotti scalari $<-,->$ reali (spazi euclidei) e complessi (spazi unitari). Basi ortonormali e prodotti scalari standard.


• 27-28 (06/11/20).  La norma associata ad un prodotto scalare e la distanza associata ad una norma. La disuguaglianza di Chaucy-Schwarz. La norma associata ad un prodotto scalare soddisfa la legge del parallelogramma e il prodotto scalare si esprime in termini della norma tramite le identita' di polarizzazione. Teorema: una norma viene da un (unico) prodotto scalare se e solo se soddisfa la legge del parallelogramma (senza dimostrazione). Teorema: una distanza su uno spazio vettoriale (reale o complesso) viene da una norma se e solo se e' invariante per traslazione e omogenea.


• 29-30 (18/11/20).  L' ortogonale di un sottospazio vettoriale di $(V,\langle-,-\rangle )$. Teorema: l' operazione di ortogonalita' e' un anti-isomorfismo involutivo del poset dei sottospazi di V (dunque scambia intersezione e somma, V e (0), dimensione e codimensione); dato un sottospazio $W$ si ha la somma diretta ortogonale $V=W\oplus^{\perp} W^{\perp}$. La proiezione ortogonale $P_W$ su un sottospazio $W$ e sue proprieta' algebriche. Proprieta' geometriche delle proiezioni ortogonali: disuaglianza di Bessel $||P_W(x)||^2\leq ||x||^2$ e proprieta' della migliore approssimazione ${\rm dist}(x,W)=||x-P_W(x)||$. Proprieta' degli insiemi ortogonali e ortonormali: sviluppo di Fourier, formula per la proiezione ortogonale, disuguaglianza/uguaglianza di Parseval.


• 31-32 (20/11/20).  Il procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmitt applicato a insiemi linearmente indipendenti (o basi). Il problema della diagonalizzazione ortonormale per un endomorfismo di un ${\mathbb K}$-spazio vettoriale $(V,\langle -, -\rangle)$ munito di un prodotto scalare (con ${\mathbb K}={\mathbb R}$ o ${\mathbb C}$) e le diverse formulazioni equivalenti. Richiami e complementi sull' aggiunto $T^a=T^{\rm adj}$ di un morfismo lineare $T:(V,\langle-,-\rangle) \to (W,\langle -,-\rangle)$. Definizione e relazione con il morfismo duale. Proprieta' algebriche dell'aggiunzione: semilinearita', idempotenza, associativita'. Corollario: per ogni polinomio $p(x)\in {\mathbb K}[x]$ si ha che $p(T)^a=\overline{p}(T^a)$, dove $\overline{p}(x)$ e' il polinomio coniugato (tramite il coniugio complesso). Il nucleo e l'immagine di $T^a$ sono gli ortogonali dell'immagine e del nucleo di $T$, rispettivamente.


• 33 (25/11/20).  La matrice di $T^a$ rispetto a basi ortonormali nel dominio e codominio e' l'aggiunta (=trasposta coniugata) della matrice di $T$ rispetto alle stesse basi. Operatori (e matrici) normali. Lemma: un operatore e' normale se e solo se la sua matrice rispetto ad una base ortonormale e' normale. Prime proprieta' degli operatori normali: se T e' normale, allora sono normali $T^{\rm adj}$, $T^{-1}$ se T e' invertibile, $p(T)$ per ogni $p(X)\in \mathbb{K}[X]$.


• 34-35 (27/11/20).  Operatori normali e loro proprieta': $\langle T v, Tw\rangle=\langle T^a v, T^a w\rangle$, ${\rm Ker}$ e ${\rm Im}$ di $T$ coincidono con quelli di $T^a$ e di $T^k$, $E_{\lambda}(T)=E_{\overline{\lambda}}(T^a)$ e $E_{\lambda}(T)\perp E_{\mu}(T)$ se $\lambda\neq \mu$. Corollario: un operatore normale e' diagonalizzabile se e solo se e' ortonormalmente diagonalizzabile. Teorema spettrale sui complessi o Teorema di struttura per operatori normali complessi: un operatore su uno spazio unitario e' ortonormalmente diagonalizzabile se e solo se e' normale. Proposizione: il polinomio minimo di un operatore normale e' prodotto di fattori irriducibili distinti. Prima dimostrazione del Teorema di struttura degli operatori normali complessi tramite il criterio di diagonalizzazione via il polinomio minimo.


• 36 (02/12/20).  Lemma 1: dati $T\in {\rm End}(V, \langle,\rangle)$ e $U\leq V$ sottospazio, vale che: (1) U e' T-invariante se e solo $U^{\perp}$ e' $T^a$-invariante; (2) se $U$ e $U^{\perp}$ sono T-invarianti allora $(T_{|U})^a=T^a_{|U}$. Lemma 2: dato $T\in {\rm End}(V, \langle,\rangle)$ normale e $U\leq V$ sottospazio, vale che U e' T-invariante se e solo se $U^{\perp}$ e' T-invariante. Corollario: dato $T\in {\rm End}(V, \langle,\rangle)$ normale e $U\leq V$ un sottospazio T-invariante, allora $(T_{|U})^a=T^a_{|U}$ e $T_{|U}$ e' normale. Seconda dimostrazione del Teorema di struttura degli operatori normali complessi tramite il metodo dei complementari.


• 37-38 (03/12/20).  Teorema di struttura per operatori normali reali: un operatore $T\in {\rm End}(V)$ su uno spazio euclideo $(V,\langle -,-\rangle)$ e' normale se e solo se esiste una base ortonormale ${\mathcal E}$ tale che $M_{\mathcal E}(T)$ e' diagonale a blocchi con blocchi che sono di ordine 1 oppure della forma $\begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha \end{pmatrix}$ con $\beta\neq 0$. Lemma 3: dato $T\in \text{End}(V)$ con $V$ spazio vettoriale reale, allora esiste un sottospazio T-invariante di dimensione uno oppure due. Lemma 4: dato $T\in \text{End}(V, \langle,\rangle)$ con $\text{dim}_{\mathbb R}(V)=2$ allora T e' normale e irriducibile se e solo se per ogni base ortonormale $\mathcal{E}$ di V vale che (risp. esiste una base ortonormale ${\mathcal E}$ di V tale che) $M_{\mathcal E}(T)=\begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha \end{pmatrix}$ con $\beta\neq 0$. Prima dimostrazione del Teorema di struttura per operatori normali reali con il metodo dei complementi ortogonali. Secondo dimostrazione del Teorema di struttura per operatori normali reali con la decomposizione ciclica primaria ortogonale (solo accenno).


• 39-40 (04/12/20).  Classi speciali di operatori normali: operatori autoaggiunti (Hermitiani o simmetrici), anti-autoaggiunti (anti-Hermitiani o anti-simmetrici), isometrici (unitari o ortogonali). Loro caratterizzazione tramite la matrice associata rispetto ad una (o equivalentemente ogni) base ortonormale. Osservazione: T Hermiatiano se e solo se T a' anti Hermitiano. Proprieta' degli operatori speciali: gli operatori aggiunti (risp. anti-autoaggiunti) formano uno spazio vettoriale reale, gli operatori isometrici formano un gruppo rispetto alla composizione, gli operatori isometrici sono esattamente gli operatori che mandano basi ortonormali in basi ortonormali. Il Teorema di struttura degli operatori autoaggiunti (Hermitiani o simmetrici), anti-Hermitiani, anti-simmetrici, unitari, ortogonali.


• 41-42 (09/12/20).  La caratterizzazione degli operatori speciali tra gli operatori normali in termini degli autovalori su $\mathbb{C}$ e dei fattori irriducibili del polinomio caratteristico (o di quello minimo) su $\mathbb{R}$. Teorema spettrale sui reali : un operatore su uno spazio ortogonale e' ortonormalmente diagonalizzabile se e solo se e' simmetrico. Altra dimostrazione del Teorema spettrale reale con il metodo dei complementi ortogonali, usando che un operatore simmetrico possiede autovalori reali. Le matrici isometriche (=unitarie su $\mathbb{C}$ e ortogonali su $\mathbb{R}$) come matrici di cambiamento di base tra basi ortonormali di $(\mathbb{K}^n, \langle, \rangle_{\rm st})$. Il Teorema di struttura per matrici normali, autoaggiunte, anti-autoaggiunte, isometriche a meno di similitudine isometrica.


• 43-44 (11/12/20).  Operatori positivi ($T>0$) e semipositivi ($T\geq 0$). Teorema di caratterizzazione degli operatori (semi)positivi: T e' (semi)positivo se e solo se T e' autoaggiunto con autovalori positivi (risp. non negativi) se e solo se T e' ortonolmamente diagonalizzabile con autovalori positivi (risp. non negativi) se e solo se esiste un operatore S invertibile (risp. qualsiasi) tale che $T=S^a\circ S$ oppure $T=S\circ S^a$. Corollari: un operatore e' positivo se e solo se e' semipositivo e invertibile, ogni operatore positivo/semipositivo ammette un'unica radice quadrata, le due norme $\sqrt{T^a T}$ e $\sqrt{T T^a}$ di un operatore e loro proprieta'. La decomposizione polare destra o sinistra di un operatore: esistenza e unicita'.


• 45-46 (16/12/20).  Spazi affini. Esempi: lo spazio affine $V_a$ associato ad uno spazio vettoriale V e l'n-spazio affine numerico $\mathbb{A}_F^n$ su F. Isomorfismi affini e loro isomorfismi lineari associati. Origine O e sistema di riferimeno affine $(O,\mathcal{E})$ di uno spazio affine $\mathbb{A}$. Proposizione: la scelta di un'origine O di $\mathbb{A}$ determina un isomorfismo affine $\Phi_O:\mathbb{A}\xrightarrow{\cong} V_a$ dove V e' lo spazio vettoriale soggiacente a $\mathbb{A}$; la scelta di un sistema di riferimento affine $(O,\mathcal{E})$ determina un isomorfismo affine $\Phi_{(O,\mathcal{E})}:\mathbb{A}\xrightarrow{\cong} \mathbb{A}^n_F$, dove $n=\text{dim}(\mathbb{A})$ e F e' il campo soggiacente. Corollario: due spazi affini sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.


• 47-48 (18/12/20).  Il gruppo delle affinita' $\text{Aff}({\mathbb A})$ di uno spazio affine ${\mathbb A}$. Proposizione: il gruppo delle affinita' agisce in maniera libera e transitiva sui sistemi di riferimento affini. Il sottogruppo $T_{\mathbb{A}}=\{t_v\: : v\in V\}$ delle traslazioni di ${\mathbb A}$ e l'isomorfismo $t_{\bullet}:(V,+)\xrightarrow{\cong} T_{\mathbb{A}}$. Teorema: (1) l'omomorfismo $\phi_{\bullet}: \text{Aff}({\mathbb A}) \to \text{GL}(V)$ e' suriettivo e con nucleo uguale a $T_{\mathbb{A}}$; (2) data un'origine O di $\mathbb{A}$, il sottogruppo $\text{Aff}({\mathbb A})_O$ che fissa O si mappa isomorficamente su $\text{GL}(V)$ tramite $\phi_{\bullet}$. Corollario: esiste un isomorfismo $\text{Aff}({\mathbb A})\cong T_{\mathbb{A}}\rtimes \text{Aff}({\mathbb A})_O \cong (V,+)\rtimes \text{GL}(V)$. Caso particolare: il gruppo delle affinita' di ordine n su un campo F e' uguale a $\text{Aff}_n(F):= \text{Aff}({\mathbb A}^n_F)=\{f_{A,c}(x)=A\cdot x+c: A\in \text{GL}_n(F), c\in F^n\}$.


• 49-50 (23/12/20).  Gli spazi proiettivi $\mathbb{P}(V)$. Esempio: lo spazio proiettivo numerico $\mathbb{P}_F^n:=\mathbb{P}(F^{n+1})$ su F. Gli isomorfismi proiettivi. Lemma: un isomorfismo proiettivo e' determinato da un isomorfismo lineare unico a meno di proiettivita'. Sistemi di riferimenti proiettivi. Proposizione: esiste una biezione canonica tra i sistemi di riferimento proiettivi su $\mathbb{P}(V)$ e gli isomorfismi proiettivi $\mathbb{P}(V)\xrightarrow{\cong} \mathbb{P}^n_F$. Il gruppo delle proiettivita' $\text{PGL}({\mathbb P})$ di uno spazio affine ${\mathbb P}$. Proposizione: il gruppo delle proiettivita' $\text{PGL}({\mathbb P})$ agisce in maniera libera e transitiva sui sistemi di riferimento proiettivi di $\mathbb{P}(V)$. Teorema: $\text{PGL}(\mathbb{P}(V))=\text{GL}(V)/\{\lambda\cdot \text{id}_V\:: \lambda\in F^*\}$. Caso particolare: $\text{PGL}(\mathbb{P}^n_F)=\text{PGL}_{n+1}(F)= \text{GL}_{n+1}(F)/\{\lambda\cdot I_{n+1}\:: \lambda\in F^*\}$. Relazione tra spazio affine $\mathbb{A}_F^n$ e spazio proiettivo $\mathbb{P}_F^n$: (1) la biezione $\mathbb{A}_F^n\cong \mathbb{P}_F^n\setminus H_0$ dove $H_0$ e' l'iperpiano all'infinito; (2) l'isomorfismo $\text{Aff}_n(F)\cong \{f\in \text{PGL}(\mathbb{P}^n_F)\: : f(H_0)=H_0\}$.


• 51-52 (08/01/20).  I sottospazi affini di uno spazio affine. Lemma 1: la giacitura $\overrightarrow{S}=\text{giac}(S)$ di un sottospazio affine $S\leq \mathbb{A}$ e' univocamente determinata da $\overrightarrow{S}=\text{giac}(S)=\{\overrightarrow{QP}: P\in S\}$ per ogni $Q\in S$. Lemma 2: un sottospazio affine $S\leq \mathbb{A}$ e' uno spazio affine su $\overrightarrow{S}$. Proposizione: dati $S,T\leq \mathbb{A}$ tale che $S\cap T\neq \emptyset$, il minimo di S e T e' l'intersezione $S\cap T$ e esiste un massimo tra S e T, denotato con $S+T$ e chiamato somma di S e T, tali che $\overrightarrow{S\cap T}=\overrightarrow{S}\cap \overrightarrow{T}$ e $\overrightarrow{S+ T}=\overrightarrow{S}+ \overrightarrow{T}$. Formula di Grassmann affine $\text{dim}(S)+\text{dim}(T)=\text{dim}(S\cap T)+\text{dim}(S+T)$ per ogni $S,T\leq \mathbb{A}$ tali che $S\cap T\neq \emptyset$. I sottospazi proiettivi $\mathbb{P}(W)\leq \mathbb{P}(V)$ di uno spazio proiettivo. Dati $\mathbb{P}(W_1), \mathbb{P}(W_2)\leq \mathbb{P}(V)$, il minimo e' uguale a $\mathbb{P}(W_1)\cap \mathbb{P}(W_2)=\mathbb{P}(W_1\cap W_2)$ e il massimo e' uguale a $\mathbb{P}(W_1)+\mathbb{P}(W_2):=\mathbb{P}(W_1+ W_2)$. Formula di Grassmann proiettiva $\dim(\mathbb{P}(W_1))+\text{dim}(\mathbb{P}(W_2))=\text{dim}(\mathbb{P}(W_1\cap W_2))+\text{dim}(\mathbb{P}(W_1+W_2))$.


• 53-54 (09/01/20).  Forme parametriche e cartesiane di sottospazi affini di $\mathbb{A}^n_F$ e sottospazi proiettivi di $\mathbb{P}^n_F$. Sistemi lineari non omogenei. Teorema di Kronecker-Rouche'-Capelli: (1) un sistema lineare non-omogeneo $\Sigma$ e' compatibile se e solo se il rango della matrice $M^{coef}(\Sigma)$ dei coefficienti e' uguale al rango della matrice $M^{com}(\Sigma)$ completa; (2) se $\Sigma$ e' compatibile allora l'insieme delle soluzioni e' uguale a $\text{Sol}(\Sigma)=\text{Sol}(\Sigma^{om})+Q$ dove $\Sigma^{om}$ e' il sistema lineare omogeneo associato a $\Sigma$ e $Q\in \text{Sol}(\Sigma)$. Teorema: esiste una biezione tra i sottospazi proiettivi di $\mathbb{P}^n_F$ non contenuti nell'iperpiano all'infinito e i sottospazi affini $\mathbb{A}^n_F$, data da $\mathbb{P}(W)\mapsto \mathbb{P}(W)\cap \mathbb{A}^n_F$ e $S\mapsto \overline{S}$:={Chiusura proiettiva di S}, e che corrispondono, a livello di equazioni cartesiane, alla deomogeneizzazione e alla omogeneizzazione dei sistemi lineari.


• 55-56 (11/01/20).  Esercizi su Geometria Affine nel piano e nello spazio.