Corso GE220 - a.a. 2011/2012

DIARIO delle LEZIONI e delle ESERCITAZIONI

• 1 (20/02/12).  Definizione di spazio topologico. Spazi metrici. Sottoinsiemi chiusi e operatore di chiusura.
  
• 2 (21/02/12).  Operatore di interno, esterno e frontiera.
  
• 3 (22/02/12).  Intorni e basi di intorni.
  
• 4 (28/02/12).  Basi e sottobasi. Punti di accumulazione.
  
• 5 (29/02/12).  Applicazioni continue. Topologie confrontabili.
  
• 6 (29/02/12).  ESERCIZI: lo spazio metrico associato ad uno spazio pseudometrico; applicazioni lineari aperte o chiuse; topologia di Zariski; spazi lineari normati.
  
• 7 (05/03/12).  Sottospazi. Quozienti. Mappe quoziente aperte o chiuse.
  
• 8 (06/03/12).  Prodotti finiti e infiniti. Esempi.
  
• 9 (07/03/12).  ESERCIZI: Operatori lineari e funzionali lineari su spazi vettoriali normati. Classificazione degli intervalli della retta reale. Gruppi topologici e loro azioni.
  
• 10 (07/03/12).  Successioni e limiti. Primo assioma di numerabilita'. Successioni generalizzate.
  
• 11 (12/03/12).  Proprieta' di numerabilita': spazi topologici I numerabili, II numerabili, separabili, di Lindelof. Esempi.
  
• 12 (13/03/12).  Proprieta' di separabilita': spazi T₀, T₁, T₂ (o di Hausdorff), T₃ e T₄. Spazi regolari e normali. Il Lemma di Urysohn.
  
• 13 (14/03/12).  Il teorema di estensione di Tietze. Gli spazi metrici sono normali. ESERCIZI: spazi con le diverse proprieta' di separatezza.
  
• 14 (20/03/12).  Spazi compatti e loro proprieta'. Caratterizzazione tramite successioni generalizzate: punti di aderenza e sottosuccessioni generalizzate.
  
• 15 (21/03/12).  ESERCIZI: Sottoinsiemi compatti dello spazio euclideo. Il teorema fondamentale dell'algebra. Le successioni usuali non bastano per caratterizzare la compatezza. 
• 16 (26/03/12).  Variazioni sul concetto di compattezza: compattezza per successioni, compattezza numerabile, compattezza numerabile debole.  
  
                         Le diverse nozioni coincidono per spazi  metrici. Compattezza e Hausdorffness implicano normalità.

• 17 (27/03/12).  Compattezza per spazi metrici: completezza e totale limitatezza. Il completamento di uno spazio metrico.
  
• 18 (28/03/12).  ESERCIZI: Metriche limitate, metriche su prodotti numerabili. Metriche non complete o non totalmente limitate su spazi non compatti. Teorema del punto fisso di Banach.
  
                         Spazio di Frechet, spazio di Hilbert, cubo di Hilbert.

• 19 (16/04/12).  ESERCIZI: Metrica di Hasdorff sui chiusi limitati di uno spazio metrico. Metrica di Baire sul prodotto numerabile della retta reale. La sfera e la proiezione stereografica.
• 20 (19/04/12).  Locale compattezza e paracompattezza: locale compattezza, Hausdorffness e II numerabilità implicano paracompatezza; paracompattezza e Hausdorffness implicano normalità.
                         Applicazione: le varietà topologiche sono localmente compatte, paracompatte e normali. Teorema di Stone (senza dimostrazione): gli spazi pseudometrici sono paracompatti.

• 21 (23/04/12).  Spazi completamente regolari (o di Tychonoff). La compattificazione di Stone-Cech di uno spazio completamente regolare: proprietà di funtorialità, di massimalità; estensione di funzioni.
• 22 (24/04/12).  Teoremi di metrizzabilità: teorema di Uryshon; teorema di Nagata-Smirnov (senza dimostrazione); teorema di Smirnov (senza dimostrazione).
• 23 (02/05/12).  ESERCIZI: Gli spazi di Hausdorff localmente compatti sono Tychonoff, Sottospazi localmente chiusi vs localmente compatti di uno spazio di Haudorff localmente compatto,                          Compattificazione di Alexandroff (fatta nel tutorato).
• 24 (07/05/12).  Connessione e connessione per archi. Componenti connesse e componenti connesse per archi.
• 25 (09/05/12).  Connessione locale e connessione locale per archi.
• 26 (14/05/12).  Omotopia di mappe continue e omotopia di spazi topologici. Il primo gruppo fondamentale di uno spazio topologico.
• 27 (15/05/12).  Proprietà del primo gruppo fondamentale: dipendenza dalla componente connessa per archi; proprietà funtoriali; invarianza omotopica.
• 28 (16/05/12).  Richiami sul prodotto libero di gruppi. Il teorema di van Kampen. Applicazione: le sfere di dimensione almeno due sono semplicemente connesse.
• 29 (16/05/12).  ESERCIZI: Spazi di Peano. Spazi totalmente disconessi e 0-dimensionali. Spazio di Cantor.
• 30 (21/05/12).  Rivestimenti. Sollevamento di archi e omotopie tra archi. Esistenza e unicità del sollevamento di mappe continue.
• 31 (22/05/12).  Rivestimento universale: unicità ed esistenza. Classificazione dei rivestimenti connessi tramite sottogruppi del gruppo fondamentale.
• 32 (23/05/12).  Il gruppo delle trasformazioni di rivestimento. Rivestimenti normali. Azioni libere e propriamente discontinue di gruppi. ESERCIZI: Il gruppo fondamentale della circonferenza e i suoi rivestimenti. Wedge di circonferenze. Grafi. Tori.