Corso GE450 (Topologia Algebrica) - a.a. 2017/2018

DIARIO delle LEZIONI

• 1-2 (28/02/18).  Introduzione: lo scopo della topologia algebrica e' la classificazione di spazi topologici a meno di omotopia tramite invarianti algebrici. Simplessi e loro proprieta': ogni n-simplesso e' linearmente omeomorfo al n-simplesso standard, i simplessi come i politopi piu' semplici, facce di un simplesso.


• 3-4 (07/03/17).  Il complesso delle catene singolari \( C_{\bullet}(X)\) di uno spazio topologico X: il gruppo delle n-catene singolari \(C_n(X)\) e la mappa di bordo \(\partial_n:C_n(X)\to C_{n-1}(X)\). L'n-esimo gruppo \( H_n(X)\) di omologia singolare. Proprieta' elementari dei gruppi di omologia: decomposizione di uno spazio in componenti connesse per archi, lo spazio \(H_0(X)\), i gruppi di omologia di un punto. L'n-esimo gruppo \(\widetilde{H}_n(X)\) di omologia ridotta.


• 5-6 (12/03/17).  Richiami su categorie e funtori . L'omologia (ridotta) n-esima come funtore dagli spazi topologici ai gruppi abeliani. La categoria degli spazi topologici a meno di omotopia e la categoria dei complessi a meno di omotopia.


• 7-8 (14/03/17).  Il Teorema di invarianza omotopica : il funtore del complesso di catene fattorizza per l'omotopia (omotopia prisma indotta da un'omotopia di funzioni continue); il funtore omologia di un complesso si fattorizza per l'omotopia di complessi.


• 9-10 (16/03/17).  L' omologia relativa di una coppia di spazi topologici. La successione esatta lunga di omologie relative associata ad un tripla di spazi topologici.


• 11-12 (19/03/17).  Il teorema di escissione (senza dimostrazione). Digressione sulle inclusioni e le retrazioni: retratti di deformazione, retrazioni omotopiche, retrazioni (semplici), inclusioni omotopiche. Coppie buone: definizioni, esempi e controesempi.


• 13-14 (21/03/17).  L'omologia di una coppia buona e' l'omologia ridotta del quoziente. L'omologia delle sfere.


• 15-16 (23/03/17).  Applicazioni: il teorema del punto fisso di Brower; il teorema di invarianza della dimensione. I generatori dell'omologia delle sfere e dell'omologia relativa del disco rispetto al suo bordo.


• 17-18 (28/03/17).  L'omologia relativa ad un ricoprimento (senza dimostrazione). La dimostrazione del Teorema di escissione. La successione di Mayer-Vietoris.


• 19-20 (11/04/17).  Il grado di un endomorfismo della sfera \( \mathbb{S}^n\) n-dimensionale. Proprieta' elementari: invarianza omotopica, moltiplicativita' del grado. Esempi: riflessioni, mappa antipodale, mappe senza punti fissi. Applicazione: \(\mathbb{S}^n\) e' pettinabile se e solo se n e' dispari. La formula locale per il grado.


• 21-22 (23/04/17).  Esempi: il grado di un endomorfismo di \( \mathbb{S}^0\) e il grado di un rivestimento di \( \mathbb{S}^1\). La sospensione di uno spazio topologico. Il grado di un endomorfismo di \( \mathbb{S}^n\) puo' essere un numero intero arbitraria (se \(n>0\)). I \( \Delta\)-complessi: definizione e esempi.


• 23-24 (27/04/17).  Struttura dei \(\Delta\)-complessi: simplessi aperti, mappe caratteristiche e mappe di bordo. La combinatorica dei \(\Delta\)-complessi: la biezione tra \( \Delta\)-complessi e \(\Delta\)-insiemi. I complessi simpliciali : definizione e esempi. La seconda suddivisione baricentrica di un \(\Delta\)-complesso e' un complesso simpliciale. La combinatorica dei complessi simpliciali: la biezione tra i complessi simpliciali e i complessi simpliciali astratti.


• 25-26 (02/05/17).  Il complesso simpliciale e l' omologia simpliciale di un \(\Delta\)-complesso (o un \(\Delta\)-insieme) e di una coppia di \(\Delta\)-complessi. Esempi e esercizi.


• 27-28 (07/05/17).  L'omologia simpliciale dei \(\Delta\)-complessi coincide con l'omologia singolare.


• 29-30 (09/05/17).  Complessi cellulari (o complessi CW): definizione induttiva e osservazioni. I sottocomplessi cellulari.


• 31-32 (11/05/17).  Proprieta' topologiche dei complessi cellulari (senza dimostrazione): i complessi cellulari sono normali, localmente contraibili, paracompatti (risp. compatti se finiti, risp. localmente compatti se localmente finiti), le coppie cellulari sono buone. La caratterizzazione dei complessi cellulari in termini di mappe caratteristiche (senza dimostrazione): proprieta' C(=closure finiteness) e W(=weak topology). Controesempi ai complessi cellulari (senza le proprieta' o C o W). Teorema di approsimazione simpliciale (senza dimostrazione): ogni complesso cellulare e' omotopicamente equivalente ad un complesso simpliciale. Risultati sulle varieta' topologiche compatte (senza dimostrazione): (1) sono omotopicamente equivalenti a complessi simpliciali finiti; (2) sono complessi cellulari in dimensione diversa da 4 e complessi simpliciali in dimensione minore di 4; (3) le varieta' topologiche di classe \( C^1\) (in particolare quelle differenziabili) sono complessi cellulari (teorema di triangolarizabilita' di Whitehead).


• 33-34 (14/05/17).  Il complesso cellulare e l' omologia cellulare di un complesso cellulare. La formula del bordo cellulare. Teorema: l'omologia cellulare di un complesso cellulare coincide con l'omologia singolare.
  
  
• 35-36 (16/05/17).  Esempi: la struttura di complesso cellulare delle superfici topologiche compatte orientate e non. Teorema: il primo gruppo di omologia e' l'abelianizzato del gruppo fondamentale.
  
  
• 37-38 (18/05/17).  Lemma (zenza dimostrazione): una coppia cellulare gode della proprieta' dell'estensione dell'omotopia. Fine della dimostrazione del teorema sulla relazione tra gruppo fondamentale e primo gruppo di omologia. Esempio/Esercizio: un complesso cellulare di dimensione due con tutti i gruppi di omologia ridotti banali ma gruppo fondamentale non banale.
  
  
• 39-40 (21/05/17).  L' omologia con coefficienti. Preliminari di Algebra Omologica: il funtore prodotto tensoriale \( \otimes \) per R-moduli (con R anello commutativo con unita') e i suoi funtori derivati Tor .
  
  
• 41-42 (23/05/17).  Proprieta' del funtore Tor: caso di anello arbitrario \( R\) e caso \( R={\mathbb Z}\). Il teorema dei coefficienti universali per l'omologia.
  
  
• 43-44 (25/05/17).  La coomologia a coefficienti. Preliminari di Algebra Omologica: il funtore Hom per R-moduli e i suoi funtori derivati Ext. Proprieta' del funtore Ext per \( R={\mathbb Z}\). Il teorema dei coefficienti universali per la coomologia. La caratteristica di Eulero per complessi cellulari finiti.
  
  
• 45-46 (04/06/17).  Proprieta' della coomologia: coomologia in gradi bassi, coomologia a coefficienti in un campo, coomologia ridotta, coomologia relativa e sucessione esatta lunga associata ad una tripla, funtorialita', invarianza omotopica, escissione, coomologia di una coppia buona, successione di Mayer-Vietoris, coomologia simpliciale di un \( \Delta\)-complesso, coomologia cellulare di un complesso cellulare. Il prodotto cup in coomologia. L'anello di coomologia a coefficienti in un anello.
  
  
• 47-48 (06/06/17).  Teorema: l'anello di coomologia e' commutativo in senso graduato. Il prodotto cross in coomologia. La formula di Kunneth (senza dimostrazione).
  
  
• 49-50 (08/06/17).  Varieta' topologiche R-orientate, per un anello R. La coomologia in grado massimale a coefficienti in R delle varieta' topologiche compatte o non compatte (senza dimostrazione). La R-classe fondamentale per le varieta' topologiche compatte R-orientate. Il prodotto cap e la sua relazione col prodotto cup. La dualita' di Poincare': prima versione con il prodotto cap (senda dimostrazione); seconda versione con il prodotto cup.