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Corso GE450 (Topologia Algebrica) - a.a. 2015/2016

DIARIO delle LEZIONI

1-2 (22/02/16). Introduzione alla topologia algebrica. I simplessi e le loro proprietà. Il complesso delle catene singolari associate ad uno spazio topologico. I gruppi di omologia singolare. Proprietà elementari: i gruppi di omologia rispettano la decomposizione di uno spazio in componenti connesse per archi; calcolo del gruppo di omologia H_0.
3-4 (24/02/16). L'omologia di un punto. Omologia ridotta: definizione e confronto con l'omologia usuale. Categorie e funtori: definizioni ed esempi. L'omologia come functore dagli spazi topologichi ai gruppi abeliani, passando per la categoria dei complessi.
5-6 (29/02/16). Invarianza omotopica dell'omologia: funzioni continue omotope inducono mappe di complessi omotope; mappe di complessi omotope inducono la stessa mappa in omologia. Il complesso delle catene di una coppia e l'omologia di una coppia: proprietà funtoriali e invarianza omotopica.
7-8 (02/03/16). La successione esatta lunga in coomologia associata ad una tripla (o ad una coppia). Corollario: l'omologia ridotta come omologia relativa ad un punto.
9-10 (07/03/16). Il Teorema di escissione. L'omologia relativa ad un ricoprimento.
11-12 (09/03/16). Coppie buone. Esempi e controesempi. L'omologia di una coppia buona è isomorfa all'omologia ridotta del quoziente.
13-14 (14/03/16). Successione di Mayer-Vietoris. Calcolo dell'omologia della sfera e di un disco relativo al bordo, con generatori espliciti. Applicazioni: il teorema del punto fisso di Brower, il teorema dell'invarianza della dimensione (tramite l'omologia locale di R^n).
15-16 (16/03/16). Grado di applicazioni dalla sfera n-dimensionale in sé. Proprietà elementari: moltiplicatività e invarianza omotopica. Esempi: riflessioni, mappa antipodale, mappe senza punti fissi. Applicazione: la pettinabilità della sfera n-dimensionale. Formula locale per il grado. Il caso di dimensione 1: la mappa grado definisce un isomorfismo tra il gruppo fondamentale della sfera 1-dimensionale e il gruppo degli interi.
17-18 (21/03/16). La sospensione di spazi topologici. Il grado della sospensione di una mappa da S^n a S^n è ugale al grado della mappa originaria. Naturalità delle successioni esatte lunghe. Delta-complessi. Esempi in dimensione uno e due. Equivalenza tra Delta-complessi e Delta-insiemi.
19-20 (23/03/16). Complessi simpliciali e loro equivalenza con i complessi simpliciali astratti. L'omologia simpliciale di un Delta-complesso. Esempi. L'isomorfismo tra l'omologia simpliciale e l'omologia singolare.
21-22 (04/04/16). Complessi cellulari (o CW): definizione induttiva. Esempi. I Delta-complessi come complessi cellulari. Ogni complesso cellulare e' omotopo ad un Delta-complesso.
23-24 (06/04/16). Proprietà topologiche dei complessi cellulari: normalità, locale contraibilità, paracompattezza (senza dimostrazione), compattezza e locale compattezza. Le coppie cellulari sono coppie buone. Strutture cellulari e simpliciali su varietà topologiche e differenziabili: una panoramica dei risultati. Esempi di complessi cellulari: la sfera, lo spazio proiettivo reale.
25-26 (11/04/16). Lemma di compattezza per complessi cellulari. La caratterizzazione dei complessi cellulari tramite le mappe caratteristiche. Non esempi di complessi cellulari che violano la proprietà della topologia debole o quella della finitezza della chiusura. Esempi di complessi cellulari: lo spazio proiettivo complesso, le superfici topologiche compatte orientate e non orientate.
27-28 (13/04/16). Somma wedge di spazi topologici puntati e loro gruppi di omologia. Il complesso delle catene cellulari di un complesso cellulare e l'omologia cellulare. L'omologia cellulare coincide con l'omologia singolare. La formula per il differenziale cellulare. Esercizi: omologia cellulare di sfere, spazi proiettivi reali e complessi, superfici topologiche compatte orientate e non, i tori n-dimensionali.
29-30 (18/04/16). Omologia con coefficienti. Digressione sull'algebra omologica dei gruppi abeliani: prodotto tensoriale e bifuntori Tor.
31-32 (20/04/16). Il teorema dei coefficienti universali per l'omologia. Spazi di Moore. Lo spezzamento della successione esatta nel teorema dei coefficienti universali non è naturale: un controesempio.
33-34 (27/04/16). Una coppia cellulare soddisfa la proprietà dell'estensione omotopica. Se una coppia soddisfa la proprietà dell'estensione omotopica e il sottospazio è contraibile, allora il quoziente per il sottospazio è un'equivalenza omotopica. Il primo gruppo di omologia è l'abelianizzato del gruppo fondamentale (inizio della dimostrazione).
35-36 (09/05/16). Il primo gruppo di omologia è l'abelianizzato del gruppo fondamentale (fine della dimostrazione). La caratteristica di Eulero. Formula della caratteristica di Eulero per un complesso cellulare finito. Esercizi.
37-38 (11/05/16). Coomologia con coefficienti. Digressione sull'algebra omologica dei gruppi abeliani: il bifuntore Hom e il bifuntore Ext. Il teorema dei coefficienti universali per la coomologia.
39-40 (16/05/16). Proprietà della Coomologia: funtorialità, invarianza omotopica, successione esatta lunga di una tripla e relazione tra i morfismi di connessione in omologia e coomologia, coomologia ridotta, escissione, coomologia di una coppia buona, successione di Mayer-Vietoris.
41-42 (18/05/16). Il prodotto cup e l'anello di coomologia.
43-44 (23/05/16). La coomologia simpliciale di un Delta-complesso. La coomologia cellulare di un complesso cellulare. Esempio: l'anello di coomologia delle superfici topologiche compatte orientate e non.
45-46 (25/05/16). L'approccio assiomatico alla (co)omologia assoluta di una coppia e relativa (senza dimostrazione). Il prodotto cross in omologia e coomologia singolare e cellulare. Relazione tra il prodotto cup e il prodotto cross in coomologia. La formula di Kunneth in omologia e coomologia (senza dimostrazione). Esempio: l'anello di coomologia di un toro n-dimensionale è l'algebra esterna di dimensione n.
47-48 (30/05/16). Varietà (topologiche). Orientabilità di varietà. Il rivestimento doppio delle orientazioni locali. R-orientabilità. Il rivestimento delle R-classi locali. L'omologia n-esima di una n-varietà compatta e connessa, R-orientabile e non. La R-classe fondamentale di una varietà compatta R-orientabile.
49-50 (01/06/16). Il prodotto cap e la sua relazione col prodotto cup. La formulazione della dualità di Poincarè per varietà compatte R-orientate: versione I (col prodotto cap) e versione II (col prodotto cup).
51-52 (13/06/16). Coomologia a supporto compatto. Digressione sui limiti diretti di gruppi. L'operatore di dualità per varietà topologiche R-orientate non compatte. Il teorema di dualità di Poincarè per varietà topologiche R-orientate compatte e non: dimostrazione. Esempio: l'anello di coomologia degli spazi proeittivi reali, complessi e quaternionici.