Corso GE470 (Superici di Riemann) - a.a. 2022/2023 (Primo Semestre)

DIARIO delle LEZIONI

• 1-2 (20/09/22).  Le superfici di Riemann nelle diverse Geometrie: (1) le superfici di Riemann come varieta' complesse di dimensione uno; (2) le superfici di Riemann compatte come curve algebriche complesse lisce e proiettive, e come sopracampi di \(\mathbb{C}\) finitamente generati di trascendenza uno; (3) le superfici di Riemann come superfici differenziali Riemanniane con curvatura scalare costante. Definizione di superfici di Riemann come varieta' complesse di dimensione uno. Le superfici di Riemann sono superfici differenziali orientate.
  
• 3-4 (21/09/22).  Le superfici topologiche compatte sono topologicamente determinate dal genere. Esempi di superfici di Riemann: aperti di \(\mathbb{C}\), la sfera di Riemann \(\mathbb{S}^2=\mathbb{C}_{\infty}\), la retta proiettiva \(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\),
  
• 5-6 (27/09/22).  I tori complessi \(\mathbb{C}/L\), grafi di funzioni, curve piane lisce affini, curve piane lisce proiettive.
  
• 7-8 (28/09/22).  L'anello \(\mathcal{O}_X(W)\) delle funzioni olomofe su un aperto W di una superficie di Riemann X. Funzioni con singolarita' isolate: sviluppo in serie di Laurent e classificazione delle singolarita'. IL campo \(\mathcal{O}_X(W)\) delle funzioni meromorfe su un aperto W di una superficie di Riemann X. Proprieta': l'ordine di una funzione meromorfa; discretezza del luogo degli zeri e dei poli; principio del Massimo Modulo.
  
• 9 (29/09/22).  Fatto (dicotomia per superfici di Riemann, senza dimostrazione): se X e' compatta, allora \(\mathcal{O}(X)=\mathbb{C}\) e \(\mathcal{M}(X)\) ha grado di trascendeza uno su \(\mathbb{C}\); se X non e' compatta, allora \(\mathcal{M}(X)=\text{Frac}(\mathcal{O}(X))\).
  
• 10-11 (04/10/22). 
  
• 12-13 (18/10/22).  Mappe olomorfe tra superfici di Riemann. La categoria delle superfici di Riemann. Isomorfismi (=biolomorfismi) e Autormorfismi. Esempi: \(\mathbb{S}^2=\mathbb{C}_{\infty}\cong \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\); le mappe \((f,g):\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\to \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\); l'omomorfismo iniettivo \(\text{PGL}_2(\mathbb{C})\hookrightarrow \text{Aut}(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}})\); le omotetie di tori complessi.
  
• 14-15 (19/10/22).  Proprieta' locali delle mappe olomorfe: teorema della mappa aperta, una mappa olomorfa biettiva e' un biolomorfismo, teorema dell'identita', forma locale normale delle mappe olomorfe, discretezza delle fibre. Molteplicita' \(\text{molt}_x(F)\) dei punti nel dominio: punti di ramificazione e punti di diramazione (sono insiemi discreti). Pull-back di funzioni olomorfe e meromorfe tramite mappe olomorfe. Proposizione: se \(F:X\to Y\) e' omolorfa non-costante e X e' compatta, allora Y e' compatta e F e' surietiva. Esempio: il rivestimento universale di una superficie di Riemann compatta di genere \(g\geq 1\) e' isomorfo a \(\mathbb{C}\) oppure \(\mathbb{D}\).
  
• 16-17 (20/10/22).  Teorema: se \(F:X\to Y\) e' omolorfa non-costante tra superfici di Riemann compatte, allora la funzione \(d_y(F):=\sum_{x\in F^{-1}(y)}\text{molt}_x(F)\) e' costante in Y e la sua immagine e' uguale al grado \(\text{deg}(F)\). Corollario: \(F:X\to Y\) e' un isomorfismo se e solo se \(\text{deg}(F)=1\). Richiamo: se T e' una triangolazione di una superficie topologica orientata compatta di genere g, allora \(\chi(T):=v(T)-e(T)-t(T)=2-2g\).
  
• 18-19 (25/10/22).  Formula di Hurwitz per mappe olomorfe tra superfici di Riemann compatte. Le funzioni meromorofe come mappe olomorfe verso \(\mathbb{C}_{\infty}\). Teorema: se X e' una superficie Riemann compatta e \(f\in \mathcal(M)(X)\) non costante allora \(\sum_{p\in x}\text{ord}_p(f)=0\).
  
• 20-21 (26/10/22).  Le funzioni meromorfe sui tori complessi: la funzione theta e le sue proprieta', i quozienti di funzioni theta, ogni funzione meromorfa e' quoziente di funzioni theta.
  
• 22-23 (27/10/22).  Le mappe olomorfe tra tori complessi: ogni mappa olomorfa e' la composizione di un'omotetia e di una traslazione, il gruppo degli automorfismi di un toro complesso e' il prodotto semidiretto tra il gruppo delle traslazioni e il gruppo degli automorfismi \(\text{Aut}_0(X)\) che preservano l'origine, la classificazione di \(\text{Aut}_0(X)\).
  
• 24-25 (02/11/22).  La classificazione dei tori complessi: ogni toro complesso e' isomorfo a \(X_{\tau}:=\mathbb{C}/\langle 1, \tau\rangle\) con \(\tau\in \mathbb{H}\) e \(X_{\tau}\cong X_{\tau'}\) se e solo se \(\tau\) e \(\tau'\) sono nella stessa orbita per l'azione standard di \(\text{SL}_2(\mathbb{Z})\) su \(\mathbb{H}\). L'incollamento di due superfici di Riemann lungo due aperti isomorfi. Esempi: \(\mathbb{C}_{\infty}\) e il piano complesso con l'origine doppia.
  
• 26-27 (03/11/22).  Le superfici di Riemann iperellittiche e la mappa di grado due verso \(\mathbb{C}_{\infty}\).
  
• 28-29 (08/11/22).  Il campo delle funzioni meromorfe di una superficie di Rieman iperellittica. 0-Forme (1-Forme, 2-Forme) differenziali su aperti di \(\mathbb{C}\): (\(1,0\)-forme, \((0,1)\)-forme, forme olomorfe e forme meromorfe.
  
• 30-31 (09/11/22).  0-Forme (1-Forme, 2-Forme) differenziali su superfici di Riemann: (\(1,0\)-forme, \((0,1)\)-forme, forme olomorfe e forme meromorfe. Esempi. Operazioni sulle forme differenziali: restrizione, moltiplicazione per funzioni, prodotto wedge, differenziale di forme, pull-back lungo mappe olomorfe.
  
• 32-33 (15/11/22).  Integrazione di 1-forme lungo 1-catene. Proprieta': bilinearita', Teorema fondamentale del calcolo, Funtorialita'. Integrazione di 2-forme lungo 2-catene. Proprieta': bilinearita', Teorema di Stokes, Funtorialita'.
  
• 34-35 (16/11/22).  Residuo e ordine di 1-forme meromorfe. Teorema dei residui su superfici di Riemann compatte. Il gruppo \(\text{Div}(X)\) dei divisori su X. Il divisore principale \(\text{div}(f)\) associato ad una funzione meromorfa f. Proposizione: l'insieme \(\text{PDiv}(X)\) dei divisori principali forma un sottogruppo \(\text{Div}(X)\). La relazione di equivalenza lineare tra divisori e l'insieme delle classi di divisori \(\text{Div}(X)/\text{PDiv}(X)\). Il divisore canonico \(\text{div}(\omega)\) associato ad una 1-forma meromorfa \(\omega\). Proposizione: l'insieme \(\text{KDiv}(X)\) dei divisori canonici forma una classe laterale rispetto a \(\text{PDiv}(X)\).
  
• 36-37 (17/11/22).  Il grado di divisori su superfici di Riemann compatte. Proposizione: il grado dei divisori principali e' zero. Corollario: il grado dipende solo dalla classe di equivalenza lineare. Teorema: il grado dei divisori canonici e' 2g-2. Esempi: divisori canonici sulla sfera di Riemann e sui tori complessi. Il pull-back di divisori lungo una mappa olomorfa \(F:X\to Y\). Proposizione: il pull-back e' un omomorfismo di gruppi; \(\text{div}(F^*(f))=F^*(\text{div}(f))\) per ogni forma meromorfa f su Y; \(\text{div}(F^*(\omega))=F^*(\text{div}(\omega))-R_F\) per ogni forma meromorfa \(\omega\) su Y; \(\text{deg}(F^*(D))=\text{deg}(F)\cdot \text{deg}(D)\) per ogni divisore D su Y.
  
• 38-39 (22/11/22).  I divisori sulla retta proiettiva: due divisori sono linearmente equivalenti se e solo se hanno lo stesso grado. I divisori sui tori complessi: la mappa di Abel-Jacobi; due divisori sono linearmente equivalenti se e solo se hanno lo stesso grado e la stessa immagine tramite tramite la mappa di Abel-Jacobi.
  
• 40-41 (23/11/22).  I divisori sulle curve proiettive piane: divisori di intersezione e loro proprieta' (formula di Bezout). Applicazione: la formula di Plucker per il genere delle curve proiettive piane.
  
• 42-43 (24/11/22).  Spazi di funzioni associati a divisori: lo spazio \(L(D)\) e sue proprieta'. Proposizione: \(L(D)\) ha dimensione finita per superfici di Riemann compatte. Lo spazio lineare completo \(|D|\) associato ad un divisore e la mappa \(\mathbb{P}(L(D))\to |D|\). Spazi di 1-forme associati a divisori: lo spazio \(L^1(D)\) e sue proprieta'. Proposizione: l'isomorfismo \(L(D+K)\cong L^1(D)\), per un divisore canonico \(K\).
  
• 44-45 (29/11/22).  Gli spazi \(L(D)\) su \(\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1\): la formula \(\text{dim}(L(D))=1+\text{deg}(D)\) se \(\text{deg}(D)\geq 0\). Proposizione: se X e' una superficie di Riemann compatta tale che esiste un divisore D di grado positivo con \(\text{dim}(L(D))=1+\text{deg}(D)\), allora \(X\cong \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1\). Lemma: se D e' un divisore di grado zero su X compatta, allora \(\text{dim}(L(D))=0\) se \(D\not\sim 0\), e \(\text{dim}(L(D))=1\) se\(D\sim 0\). Gli spazi \(L(D)\) su un toro complesso: la formula \(\text{dim}(L(D))=\text{deg}(D)\) se \(\text{deg}(D)>0\).
  
• 46-47 (30/11/22).  Mappe olomorfe \(\phi:X\to \mathbb{P}^n_{\mathbb{C}}\). Proposizione: esiste una biezione tra \(\mathbb{P}^n_{\mathcal{M}(X)}\) e le mappe olomorfe \(\phi:X\to \mathbb{P}^n_{\mathbb{C}}\) che manda \([f_0,\ldots, f_n]\) in \(\phi_{[f_0,\ldots, f_n]}\). Il sistema lineare \(|\phi|\) associato a \(\phi:X\to \mathbb{P}^n_{\mathbb{C}}\).
  
• 48-49 (01/12/22).  Descrizione geometrica del sistema lineare \(|\phi|\) associato a \(\phi:X\to \mathbb{P}^n_{\mathbb{C}}\) come l'insieme dei divisori iperpiani \(\phi^*(H)\). Proposizione: \(|\phi|\) non ha punti base. Teorema: su una superficie di Riemann compatta X, esiste una biezione tra le mappe olomorfe \(\phi:X\to \mathbb{P}^n_{\mathbb{C}}\) non degeneri a meno di proiettivita' e i sistemi lineari senza punti base di dimensione n, che manda \(\phi\) in \(|\phi|\).
  
• 50-51 (06/12/22).  Immersioni olomorfe \(\phi:X\hookrightarrow \mathbb{P}^n_{\mathbb{C}}\): curve proiettive lisce. Fatti (senza dimostrazione): le curve proiettive lisce sono varieta' algebriche e localmente sono intersezione completa. Proprieta di curve proiettive lisce: i quozienti di polinomi omogenei dello stesso grado definiscono funzioni razionali, i divisori di intersezione. Sistemi lineari molto ampi.
  
• 52-53 (07/12/22).  Teorema: su una superficie di Riemann compatta X, esiste una biezione tra le immersioni olomorfe \(\phi:X\hookrightarrow \mathbb{P}^n_{\mathbb{C}}\) non degeneri a meno di proiettivita' e i sistemi lineari molto ampi di dimensione n, che manda \(\phi\) in \(|\phi|\). Esempi: le curve normali razionali, la cubica piana cuspidale.
  
• 54-55 (14/12/22).  I divisori di polinomi di Laurent: \(\mathcal{T}(X)\), \(\mathcal{T}[D](X)\), le mappe di troncamento. La mappa \(\alpha_D:\mathcal{M}(X)\to \mathcal{T}[D](X)\): \(\text{ker}(\alpha_D)=L(D)\). La mappa dei residui \(\text{Res}_D:\mathcal{T}[D](X)\times L^{(1)}(-D)\to \mathbb{C}\): \(\text{Rad}^R(\text{Res}_D)=\{0\}\) e \(\text{Rad}^R(\text{Res}_D)=\{\text{Im}(\alpha_D)\}\).
  
• 56-57 (15/12/22).  Teorema di Riemann-Roch: \(\text{dim}(L(D))-\text{dim}(L(K-D))=\text{deg}(D)+1-g\). Le tre interpretazioni del genere: genere topologico, \(g=\text{dim}(\Omega_X^1)\) e \(g=\frac{\text{deg}(K)}{2}+1\). Applicazione 1: ogni divisore di grado almeno 2g (risp. 2g+1) e' senza punti base (risp. molto ampi). Corollario: ogni superficie di Riemann compatta e' una curva proiettiva liscia. Applicazione 2: ogni superficie di Riemann compatta di genere 0 e' isomorfo a \(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\); ogni superficie di Riemann di genere uno e' isomorfa ad una cubica piana liscia.
  
• 58-59 (21/12/22).  Il sistema lineare canonico e' senza punti base se il genere e' positivo e molto ampio per superfici di Riemann non iperellittiche. La mappa canonica per X sup. di Riemann di genere almeno due: e' un'immersione olomorfa se X non e' iperellittica e un mappa di grado due su una curva razionale normale se X e' iperellittica. Forma geometrica del Teorema di Riemann-Roch per sup. di Riemann non iperellittiche. Conseguenze: la dimensione del sistema lineare completo associato ad un divisore effettivo.