Corso GE470 (Superici di Riemann) - a.a. 2022/2023 (Primo Semestre)

LISTA dei POSSIBILI SEMINARI

• (1) Il problema di Laplace sulle superfici di Riemann  e sue conseguenze: coomologia di Dolbeaut, esistenza di funzioni meromorfe.
  Referenze: [Donaldson: Cap. 8 e 9].
  
• (2) Teorema di Uniformizzazione per superfici di Riemann.  Corollario: la descrizione di una superficie di Riemann come quoziente del suo rivestimento universale.
  Referenze: [Donaldson: Cap. 10].
  
• (3) Campo delle funzioni meromorfe di una superficie di Riemann compatta:  la corrispondenza tra superfici di Riemann compatte e campi di grado trascendenza uno su \(\mathbb{C}\).
  Referenze: [Donaldson: Cap. 11.1. Miranda: Cap. VI.1].
  
• (4) Superfici iperboliche. 
  Referenze: [Donaldson: Cap. 11.2].
  
• (5) Azioni di gruppi su superfici di Riemann: la superficie di Riemann quoziente e la mappa quoziente, il bound di Hurwitz, curve con massimo numero di automorfismi.
  Referenze: [Miranda: Cap. III.3].
  
• (6) Monodromia di mappe olomorfe:  la rappresentazione di monodromia, il teorema di esistenza di Riemann, i numeri di Hurwitz.
  Referenze: [Miranda: Cap. VII.4. Cavalieri-Miles: Cap. 6 e 7].
  
• (7) Geometria delle curve proiettive:  grado minimo delle curve proiettive; sezioni iperpiane di curve proiettive: monodromia e il lemma della posizione generale; il bound di Castelnuovo per il genere; punti di inflazione e di Weiertrass.
  Referenze: [Miranda: Cap. VII.3, VII.4].
  
• (8) Teorema di Abel: la Jacobiana di una superficie di Riemann, la mappa di Abel-Jacobi, la dimostrazione del Teorema di Abel, il gruppo di Picard, Applicazioni alle superfici di Riemann di genere 1.
  Referenze: [Miranda: Cap. VIII].
  
• (9) Il gruppo di Picard: divisori modulo equivalenza lineare; fasci localmente invertibili; fibrati in rette; H^1 del fascio delle funzioni invertibili.
  Referenze: [Miranda: Cap. XI].
  

BIBLIOGRAFIA:

• R. Miranda: Algebraic Curves and Riemann Surfaces.
• S.K. Donaldson: Riemann surfaces.
• F. Kirwan: Complex Algebraic Curves.
• W. Fulton: Algebraic Curves.
• R. Cavalieri, E. Miles: Riemann Surfaces and Algebraic Curves.