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Corso Matematica per Ingegneria Elettronica - a.a. 2022/2023

DIARIO delle LEZIONI

1-2 (27/09/22). L'insieme

${\mathbb R}$ dei numeri reali e le loro proprieta' algebriche di campo.

3-4-5 (29/10/22). L'insieme

${\mathbb R}^n$ dei vettori di lunghezza n a coefficienti reali: l'addizione vettoriale e la moltiplicazione scalare e loro proprieta' algebriche. La definizione di spazio vettoriale. Interpretazione geometrica di

${\mathbb R}^1=\mathbb R$ ,

${\mathbb R}^2$ e

${\mathbb R}^3$ .

6-7 (04/10/22). I sistemi lineari: il sistema lineare omogeneo

$\Sigma^{om}$ associato ad un sistema lineare

$\Sigma$ e lo spazio delle soluzioni

$Sol(\Sigma)$ . Sistemi compatibili e incompatibili. Proposizione:

$Sol(\Sigma)=Sol(\Sigma^{om})+\overline{c}$ , dove

$\overline{c}$ e' una soluzione del sistema lineare

$\Sigma$ .

8-9 (11/10/22). La risoluzione dei sistemi lineari col metodo di sostituzione. Esempi ed esercizi.

10-11 (18/10/22). Matrici: gli elementi

$A_{ij}$ di una matrice A, le righe

$A_i$ e le colonne

$A^j$ di una matrice A. Matrici e sistemi lineari: la matrice

$A(\Sigma)$ dei coefficienti e la matrice completa

$C(\Sigma)$ di un sistema lineare

$\Sigma$ ; il sistema lineare

$\Sigma_{C=(A\vert \overline{b})}$ associato ad una matrice A e ad un vettore

$\overline{b}$ aventi lo stesso numero di colonne. Matrici a scalini. Esempi.

12-13-14 (20/10/22). Le tre trasformazioni elementari (per riga). Matrici equivalenti

$A\sim_{eq} B$ e proprieta' di

$\sim_{eq}$ . L' algoritmo di riduzione (per righe) di Gauss: ogni matrice e' equivalente ad una matrice a scalini. Esempi di algoritmo di Gauss. Il rango di una matrice A come il numero di pivots di una matrice a scalini B equivalente ad A.

15-16 (25/10/22). Proposizione: se C e D sono due matrici equivalenti, allora

$\Sigma_C$ e

$\Sigma_D$ sono equivalenti, ovvero sia

$Sol(\Sigma_C)=Sol(\Sigma_D)$ . Algoritmo di Gauss per la trasformazione di un sistema in un sistema con matrice a scalini. La risoluzione dei sistemi lineare a scalini tramite sostituzione. Esercizi.

17-18-19 (27/10/22). Teorema di Rouche'-Capelli: un sistema

$\Sigma_{C=(A\vert \overline{b})}$ e' compatibile se e solo se r(C)=r(A); in tal caso il sistema

$\Sigma_C$ ha

$\infty^{q-r(A)}$ -soluzioni, dove q e' il numero di variabili. Lo spazio $M_{p,q}$ delle matrici

$p \times q$ a coefficienti in

$\mathbb{R}$ come spazio vettoriale: la somma di matrici e la moltiplicazione per uno scalare. Il prodotto (righe per colonne) tra matrici e sue proprieta': associativita', bilinearita', elemento neutro. Esempi. Matrici invertibili. Proprieta': l' inverso destro e' uguale all'inverso sinistro (senza dimostrazione) ed e' unico.

20-21-22 (03/11/22). Esempi: inversa di matrici di ordine 1 e ordine 2. Teorema (criterio di invertibilita' tramite rango, senza dimostrazione): una matrice quadrata

$A\in M_{n,n}$ e' invertibile se e solo se

$r(A)=n$ . Corollario: una matrice quadrata A e' invertibile se e solo se A puo' essere trasformata, tramite l'eliminazione di Gauss, in una matrice triangolare superiore con elementi non nulli sulla diagonale. Matrici triangolari superiori o inferiore, matrici diagonali e loro invertibilita'. Algoritmo di Gauss-Jordan. Esempi. Corollario: una matrice quadrata A e' invertibile se e solo se A puo' essere trasformata, tramite l'eliminazione di Gauss-Jordan, nella matrice identita' se e solo se e' equivalente alla matrice identita'.

23-24 (08/11/22). Teorema (Algoritmo di Gauss-Jordan per l'inversa, senza dimostrazione): data una matrice

$A\in M_{n,n}$ , se trasformiamo

$(A\vert I_n)$ nella matrice

$(I_n\vert B)$ tramite l'eliminazione di Gauss-Jordan, allora

$B=A^{-1}.$ Esempi ed Esercizi. Il determinante come unica funzione

${\rm det}:M_n\to \mathbb R$ che e' multilineare sulle righe, antisimmetrica sulle righe e tale che

${\rm det}(I_n)=1$ . Corollari: se una matrice ha una riga nulla o due righe uguali, allora ha determinante nullo.

25-26 (10/11/22). Il calcolo del determinante tramite l'algoritmo di Gauss-Jordan oppure l'algoritmo di Gauss. Esempi: il determinante di una matrice triangolare superiore. Criterio di invertibilita' col determinante: una matrice

$A\in M_n$ e' invertibile se e solo

${\rm det}(A)\neq 0.$ Esercizi.

27-28 (15/11/22). Formula di Laplace per il determinante: sviluppo lungo la riga i-esima

${\rm det}(A)=\sum_{k=1}^n (-1)^{i+k}A_{i,k} {\rm det}A(\hat{i}\vert \hat{k})$ oppure la colonna j-esima

${\rm det}(A)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k+j}A_{k,j} {\rm det}A(\hat{k}\vert \hat{j})$ . Esempi: il determinante di una matrice di ordine due e di ordine tre (regola di Sarrus). Esercizi. Teorema di Binet:

${\rm det}(A\cdot B)={\rm det}(A) {\rm det}(B)$ . Formula per l'inversa: se A e' invertibile, allora

$A^{-1}=\frac{1}{{\rm det}(A)} {\rm adj}(A)$ , dove

${\rm adj}(A)=({\rm adj}(A)_{i,j}:=(-1)^{i+j} {\rm det} A(\hat{j}\vert \hat{i}))$ e' l'aggiugata di A. Esempi: matrice inversa di una matrice di ordine 2. Esercizi.

29-30-31 (17/11/22). Discussione delle soluzioni di un sistemi lineari

$\Sigma_{(A\vert \overline{b})}$ con matrice A quadrata di ordine n: se A e' invertibile allora esiste un'unica soluzione: se A non e' invertibile allora o il sistema e' incompatibile oppure ha infinite soluzioni (e precisamente

$\infty^{n-{\rm rg}(A)}$ ). Regola di Cramer per trovare l'unica soluzione di un sistema

$\Sigma_{(A\vert \overline{b})}$ con A invertibile. Esercizi. Sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale. Esempi: sottospazi di

$\mathbb{R}^2$ e

$\mathbb{R}^3$ in forma geometrica. Sottospazi vettoriali di

${\mathbb R}^n$ in forma cartesiana

$\text{Sol}_A$ .

32-33 (22/11/22). Lo span lineare

$\text{Lin}(\overline v_1,\ldots, \overline v_n)$ . Esempi. Sottospazi vettoriali di

${\mathbb R}^n$ in forma parametriza

$\text{Span}_A$ . Come passare dalla forma cartesiana alla forma parametrica e dalla forma parametrica alla forma cartesiana. Esercizi.

34-35-36 (24/11/22). Intersezione di sottospazi vettoriali: definizione e proprieta'. Come calcolare l'intersezione tra due sottospazi di

$\mathbb{R}^n$ :

$\text{Sol}_A\cap \text{Sol}_B=\text{Sol}_{\begin{pmatrix} A\\B \end{pmatrix}}$ . Somma di sottospazi vettoriali: definizione e proprieta'. Come calcolare la somma tra due sottospazi di

$\mathbb{R}^n$ :

$\text{Span}_A+ \text{Span}_B=\text{Span}_{\begin{pmatrix} A \vert B \end{pmatrix}}$ . Esempi: sottospazi vettoriali di

$\mathbb{R}^2$ e

$\mathbb{R}^3$ .

37-38 (29/11/22). Sistemi di vettori linearmente indipendenti. Proposizione: un sistema di vettori e' linearmente dipendente se e solo se uno dei vettori del sistema si scrive come combinazione lineare degli altri vettori. Esempi: sistemi vettori linearmente indipendenti con uno o due elementi. Esempi in

$\mathbb{R}^2$ e

$\mathbb{R}^3$ . Lemma: la lineare indipendenza e' invariante per scambio dell'ordine e per sottoinsiemi. Criterio per la lineare indipendenza in

$\mathbb{R}^n$ : un sistema di vettori

$\{\overline{v_1},\ldots, \overline{v}_k\}$ e' linearmente indipendente se e solo se

$\text{rg}(\overline{v}_1\vert \ldots \vert \overline{v}_k)=k$ (

$\Rightarrow k\leq n$ ).

39-40-41 (01/12/22). Sistemi di vettori generanti. Esempi:

$\mathbb{R}^n$ e' generato dal sistema di vettori

$\{\overline{e}_1,\ldots, \overline{e}_n\}$ ;

$M_{p,q}$ e' generato dal sistema di matrici

$\{E_{i,j}: 1\leq i\leq p, 1\leq j \leq q\}$ . Lemma: la proprieta' di essere generante e' invariante per scambio dell'ordine e per soprainsiemi. Criterio per l'essere generante in

$\mathbb{R}^n$ : un sistema di vettori

$\{\overline{v_1},\ldots, \overline{v}_k\}$ e' generante se e solo se

$\text{rg}(\overline{v}_1\vert \ldots \vert \overline{v}_k)=n$ (

$\Rightarrow k\geq n$ ). Spazi vettoriali finitamente generati. Esempi:

$\mathbb{R}^n$ ,

$M_{p,q}$ e

$\mathbb{R}[T]_{\leq d}$ sono finitamente generati; lo spazio dei polinomi o delle funzioni continue non sono finitamente generati. Basi di uno spazio vettoriale. Lemma: un sistema di vettori e' una base se e solo se ogni elemento dello spazio vettoriale si scrive in maniera unica come combinazione lineae dei vettori dati. Teorema di Esistenza di Basi (senza dimostrazione): (1) da ogni sistema di generatori si puo' estrarre una base; (2) ogni insieme linearmente indipendente in uno spazio vettoriale finitamente generato si puo' completare ad una base. Corollario: ogni spazio vettoriale finitamente generato possiede una base. Teorema sull'unicita' della cardinalita' delle basi (senza dimostrazione): in uno spazio vettoriale finitamente generato, tutte le basi hanno la stessa cardinalita'. La dimensione di uno spazio vettoriale. Esempi:

$\{\overline{e}_1,\ldots, \overline{e}_n\}$ formano una base (detta base canonica) di

$\mathbb{R}^n$ ; le matrici elementari

$\{E_{i,j}: 1\leq i\leq p, 1\leq j \leq q\}$ formano una base di

$M_{p,q}$ . Proposizione: in uno spazio vettoriale di dimensione n, un sistema di n vettori e' una base se e solo se e' linearmente indipendente se e solo se e' generante. Criterio per l'essere una base in

$\mathbb{R}^n$ : un sistema di vettori

$\{\overline{v_1},\ldots, \overline{v}_n\}$ in

$\mathbb{R}^n$ e' una base se e solo se

$\text{rg}(\overline{v}_1\vert \ldots \vert \overline{v}_n)=n$ .

42-43 (06/12/22). Teorema sulla dimensione dei sottospazi vettoriali: se V e' uno spazio vettoriale di dimensione finita e W un suo sottospazio, allora

$\text{dim}(W)\leq \text{dim}(V)$ e vale l'uguaglianza se e solo se

$W=V$ . Formula di Grassmann:

$\text{dim}(W_1+W_2)+\text{dim}(W_1\cap W_2)=\text{dim}(W_1)+\text{dim}(W_2)$ . Come calcolare la dimensione e trovare una base di un sottospazio

$W\leq \mathbb{R}^n$ dato in forma parametrica oppure in forma cartesiana. Esercizi.

44-45 (15/12/22). Applicazioni (o omomorfismi) lineari. Teorema: un'applicazione lineare e' univocamente determinata dai valori che assume su una base del dominio. Lemma: una mappa tra spazi vettoriali e' un'applicazione lineare se e solo se preserva le combinazioni lineari. Teorema: esiste una biezione

$M_{m,n}\leftrightarrows \text{Hom}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$ ottenuta mandando una matrice A nell'applicazione lineare

$f_A$ definita da

$f_A(\overline{v})=A\cdot \overline{v}$ e un'applicazione lineare

$f$ nella sua matrice canonica

$M(f)$ . Esercizi.

46-47 (20/12/22). Definizione/Lemma: lo spazio

$\text{Hom}(V,W)$ delle applicazioni lineari da

$V$ a

$W$ e' uno spazio vettoriale rispetto alla somma di applicazioni e alla moltiplicazione lineare tra uno scalare e un'applicazione lineare. Corollario: le biezioni

$M_{m,n}\leftrightarrows \text{Hom}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$ sono isomorfismi di spazi vettoriali. Definizione/Lemma: la composizione di applicazioni lineari e la sua bilinearita'. Corollario: tramite le biezioni

$M_{m,n}\leftrightarrows \text{Hom}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$ la composizione di applicazioni lineari corrisponde al prodotto di matrici. Applicazioni lineari iniettive, suriettive, biettive, isomorfismi. Lemma: un'applicazione lineare e' un isomorfismo (cioe' ammette un'inversa) se e solo se e' biettiva. Corollario: tramite le biezioni

$M_{n}\leftrightarrows \text{Hom}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$ , gli isomorfismi lineari corrispondono alle matrici invertibili e l'inverso di un'applicazione lineare corrisponde all'inverso delle matrici.

48-49-50 (22/12/22). Il nucleo

$\text{ker}(f)$ e l'immagine

$\text{Im}(f)$ di un'applicazione lineare f. Lemma: un'applicazione lineare

$f:V\to W$ e' iniettiva se e solo se

$\text{ker}(f)=\{0\}$ , ed e' suriettiva se e solo se

$\text{Im}(f)=W$ . Il nucleo e l'immagine di applicazioni

$f_A:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ :

$\text{ker}(f_A)=\text{Sol}_A$ e

$\text{Im}(f_A)=\text{Lin}_A$ . Proposizione: un'applicazione lineare

$f_A:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ e' iniettiva se e solo se

${\rm rg}(A)=n$ , e' suriettiva se e solo se

${\rm rg}(A)=m$ , e' un isomorfismo se e solo se

${\rm rg}(A)=n=m$ . Esercizi. Proposizione: un'applicazione lineare e' iniettiva (risp. suriettiva, risp. biettiva) se e solo se f manda una base del dominio in un sistema di vettori linearmente indipendenti (risp. generanti, risp. una base). Corollario 1: data un'applicazione lineare

$f:V\to W$ tra spazi vettoriali finitamente generati, allora se f e' iniettiva (risp. suriettiva, risp. biettiva) allora

$\text{dim}(V)\leq$ (risp.

$\geq$ ,

$=$ )

$\text{dim}(W)$ . Corollario 2: data un'applicazione lineare

$f:V\to W$ tra spazi vettoriali finitamente generati tali che

$\text{dim}(V)=\text{dim}(W)$ , f e' iniettiva se e solo se f e' suriettiva se e solo se f e' un isomorfismo. Teorema di Classificazione degli spazi vettoriali: due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione. Il rango

$\text{rg}(f)$ e la nullita'

$\text{null}(f)$ di un'applicazione lineare. Teorema di Rango-Nullita' (con dimostrazione solo nel caso di spazi vettoriali numerici): data un'applicazione lineare

$f:V\to W$ con

$V$ finitamente generato, vale che

$\text{dim}(V)=\text{rg}(f)+\text{null}(f)$ . Il vettore delle coordinate

$[]_{\mathcal{E}}$ rispetto ad una base

$\mathcal{E}$ di V. Esempio: il vettore delle coordinate di un vettore di

$\mathbb{R}^n$ rispetto alla base canonica e' il vettore stesso. Proposizione: l'applicazione delle coordinate

$[]_\mathcal{E}:V\xrightarrow{\cong} \mathbb{R}^n$ e' un isomorfismo.

51-52 (10/01/23). Matrici di cambiamento di base . Esempio: data una base

$\mathcal{F}=\{\overline f_1\ldots, \overline f_n\}$ di

$\mathbb{R}^n$ , vale che

$M_{\mathcal{E}^{\rm can},\mathcal{F}}=(\overline f_1,\ldots, \overline f_n)$ . Proprieta':

$[v]_{\mathcal{E}}=M_{\mathcal E, \mathcal{F}}\cdot [v]_{\mathcal{F}}$ ;

$M_{\mathcal E, \mathcal{F}}^{-1}=M_{\mathcal{F}, \mathcal{E}}$ ;

$M_{\mathcal E, \mathcal{F}}= M_{\mathcal E, \mathcal{G}}\cdot M_{\mathcal G, \mathcal{F}}$ . Esercizi: matrici di cambiamento di base in

$\mathbb{R}^n$ . La matrice di un'applicazione lineare

$M_{\mathcal{F},\mathcal{E}}(f)$ rispetto ad una base

$\mathcal{E}$ del dominio e

$\mathcal{F}$ del codominio. Caso particolare 1: data

$f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$ , la matrice canonica

$M(f)$ e' la matrice di f rispetto alle basi canoniche del dominio e del codominio. Caso particolare 2:

$M_{\mathcal E, \mathcal{F}}=M_{\mathcal E, \mathcal{F}}(\text{id}_V)$ . Proposizione:

$[f(v)]_{\mathcal F}=M_{\mathcal F, \mathcal E}.[v]_{\mathcal E}$ ; l'applicazione

$M_{\mathcal E, \mathcal{F}}(-):\text{Hom}(V,W)\to M_{m,n}$ e' un isomorfismo; formula di composizione

$M_{\mathcal G, \mathcal{E}}(g\circ f)=M_{\mathcal G, \mathcal{F}}(g)\cdot M_{\mathcal F, \mathcal{E}}(f)$ ; formula di cambiamento di base

$M_{\mathcal F', \mathcal{E}}(f)=M_{\mathcal F', \mathcal{F}}\cdot M_{\mathcal F, \mathcal{E}}(f)\cdot M_{\mathcal E, \mathcal{E}'}$ . Esercizi: matrici di applicazioni lineari

$f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$ rispetto a basi arbitrarie.

53-54 (11/01/23). Operatori lineari (o endomorfismi) su uno spazio vettoriale V. Proprieta' di

$\text{End}(V)$ : la struttura di spazio vettoriale e la composizione. La matrice

$M_{\mathcal B}(f)$ di un operatore

$f\in \text{End}(V)$ rispetto ad una base

${\mathcal B}$ di V. Proposizione:

$[f(v)]_{\mathcal E}=M_{\mathcal E}.[v]_{\mathcal E}$ ; l'applicazione

$M_{\mathcal E}(-):\text{End}(V)\to M_{n}$ e' un isomorfismo; formula di composizione

$M_{\mathcal{E}}(g\circ f)=M_{\mathcal{E}}(g)\cdot M_{\mathcal{E}}(f)$ ; formula di cambiamento di base

$M_{\mathcal{F}}(f)=M_{\mathcal E, \mathcal{F}}^{-1}\cdot M_{\mathcal{E}}(f)\cdot M_{\mathcal E, \mathcal{F}}$ . La relazione di similitudine tra matrici quadrate. Il problema della diagonalizzabilita' degli operatori lineari. Esempi: potenze di operatori diagonalizzabili. Autovalori e autovettori di un operatore lineare: l'autospazio associato ad un autovalore. Proposizione: un operatore lineare e' diagonalizzabile se e solo se esiste una base fatta di autovettori.

55-56-57 (12/01/23). Polinomio caratteristico di un operatore. Proposizione: le radici del polinomio caratteristico sono gli autovalori. Esercizi. Primo criterio di diagonalizzabilita' (senza dimostrazione): (1) la somma delle dimensioni degli autospazi di un operatore e' minore o uguale alla dimensione dello spazio su cui e' definito; (2) un operatore e' diagonalizzabile se e solo se la somma delle dimensioni dei suoi autospazi e' uguale alla dimensione dello spazio su cui e' definito. Il polinomio caratteristico di una matrice quadrata e di un operatore. Fatto: la decomposizione di un polinomio

$f(T)\in \mathbb{R}[T]$ in fattori irriducibili lineari e un polinomio senza radici. Molteplicita' algebrica

$\text{alg}(\lambda)$ e geometrica

$\text{geo}(\lambda)$ di un autovalore

$\lambda$ . Esercizi su: autovalori, autospazi e diagonalizzabilita'. Proposizione: per ogni autovalore

$\lambda$ di un operatore (o di una matrice quadrata) vale che

$1\leq \text{geo}(\lambda)\leq \text{alg}(\lambda)$ . Secondo criterio di diagonalizzabilita': un operatore e' diagonalizzabilese e solo se il polinomio caratteristico ha solo fattori irriducibili lineari e la molteplicita' geometrica di ciascun autovalore e' uguale alla molteplicita' algebrica. Esercizi su autovalori, autospazi e diagonalizzabilita' degli operatori.