AL310 - Istituzioni di Algebra
Superiore
Dipartimento di Matematica e Fisica
Università degli studi Roma Tre
Corso di
Laurea Triennale in Matematica
Ricevimento
studenti
Orario
delle esercitazioni:
Martedì 16:00-18:00 Aula F (a settimane alterne)
Prossima
lezione:
Martedì 14 Ottobre 2014
ore 16:00 - 18:00 Aula
F
Diario
delle lezioni:
LEZIONE
1
Argomenti:
Irriducibilità dei polinomi a
coefficienti in \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\),
\(\mathbb{C}\) e \(\mathbb{Z}_p\). Varie tecniche di
fattorizzazione e test di irriducibilità: Teorema di Ruffini,
test delle radici razionali, Lemma di Gauss, Criterio di
Eisenstein, metodo della forza bruta, riduzione modulo un
primo. Teorema fondamentale dell'algebra e teorema di
D'Alembert. Costruzione di campi con otto e nove elementi.
Richiami sugli anelli quozienti di polinomi.
Esercizi 1
LEZIONE 2
Argomenti: Estensioni semplici. Teorema di
moltiplicatività dei gradi delle estensioni successive.
Teorema delle due estensioni successive di gradi coprimi.
Campi di spezzamento in caratteristica zero o prima. Un
polinomio biquadratico irriducibile su \(\mathbb{Q}\) ha campo
di spezzamento di grado \(4\) oppure \(8\) su \(\mathbb{Q}\)
. Estensioni biquadratiche di \(\mathbb{Q}\).
Enunciato del teorema di Frobenius per la determinazione del
campo di spezzamento in caratteristica finita.
LEZIONE 3
Argomenti: Estensioni algebriche e
trascendenti. Immersioni in \(\mathbb{C}\)
ed estensioni di omomorfismi. Introduzione al concetto di
normalità. Automorfismi di campi di spezzamento. Il gruppo di
Galois.
LEZIONE 4
Argomenti: Polinomi simmetrici. Teorema fondamentale
dei polinomi simmetrici. Polinomi simmetrici elementari e
polinomi simmetrici di Newton. Formule di Newton. Sistemi
simmetrici. Problema di Newton. Discriminanti di polinomi.
LEZIONE 5
Argomenti: Corrispondenza di Galois per il polinomio
\(x^4-2\). Se un polinomio irriducibile di grado un numero
primo \(p\) ammette esattamente due radici complesse non
reali, allora il suo gruppo di Galois è \(S_p\).
LEZIONE 6
Argomenti: Corrispondenza di Galois per il campo di
spezzamento del quindicesimo polinomio ciclotomico.
Corrispondenza di Galois per l'estensione \(\mathbb
F_2\subset\mathbb F_{64}\). Campi finiti e gruppi ciclici:
teoremi di struttura. Polinomi irriducibili su campi finiti.
Regola dei segni di Harriot-Descartes. Costruzione di polinomi
irriducibili con gruppo di Galois totale.
Libro di testo adottato:
- Teoria delle equazioni e teoria di Galois, S.
Gabelli, Springer
Italia