IL TEOREMA DEL CONO
CONTRAZIONI DI RAGGI ESTREMALI
IL TEOREMA DI
RAZIONALITÀ
GEOMETRIA
BIRAZIONALE
DELLE VARIETÀ ALGEBRICHE
Dottorato di Ricerca in Matematica
Università
degli Studi Roma Tre
A.A.
2011/2012
Docente: Angelo
Felice Lopez
INIZIO DEL CORSO: lunedì 27 febbraio.
ORARIO DELLE LEZIONI: lunedì
14-16 aula 211, venerdì 14-16 aula 009.
DIARIO DELLE LEZIONI
Il
corso è stato preceduto da una riunione organizzativa.
DESCRIZIONE GENERALE
Uno dei più grandi
successi della scuola di geometria algebrica Italiana
dell'inizio
del
secolo scorso è stata la classificazione
delle superficie. Solo dopo 60 anni, grazie alle
idee di molti matematici, tra cui V. Shokurov, M.
Reid, Y. Kawamata, J. Kollár ma soprattutto
la Medaglia Field Shigefumi Mori, è stato
pensato uno schema di classificazione
(birazionale) per le varietà algebriche di
dimensione qualsiasi.
Pur non essendo ancora terminato, tale schema
è ormai da considerarsi classico e parte
del
bagaglio necessario di ogni geometra algebrico.
Nel corso verranno dimostrati i tre teoremi
principali della teoria: il teorema di
semiampiezza, il teorema del cono ed il teorema di
razionalità. È grazie a questi
teoremi che risulta possibile arrivare ad un
modello birazionale più semplice possibile
per ogni varietà (al momento di tipo
generale o di dimensione 3 - congetturalmente
sempre), il modello minimale o la fibrazione di
Mori, generalizzando così, in dimensione
qualsiasi, i risultati raggiunti dalla
scuola
di geometria algebrica Italiana
per le superficie.
PROGRAMMA
DI MASSIMA
Preliminari: geometria convessa,
divisori ed 1-cicli, teoria dell'intersezione,
il cono delle curve, divisori ampi, il criterio
di Nakai-Moishezon, il teorema di Kleiman,
divisori nef.
Gli strumenti principali: singolarità
di
coppie, ideali moltiplicatori, il
teorema
di annullamento di Kawamata-Viehweg.
I teoremi
principali: il
Teorema
di
Non Annullamento (Nonvanishing Theorem), il
Teorema di Semiampiezza (Base-Point-Free Theorem),
il Teorema di Razionalità (Rationality
Theorem), il Teorema del Cono
(Cone Theorem). Contrazioni di raggi
estremali, esempi. Esistenza dei flip, i modelli
minimali.
(tempo permettendo) Gli sviluppi
recenti: i risultati di
Birkar-Cascini-Hacon-McKernan e di
Corti-Cascini-Lazic.
TESTI
CONSIGLIATI:
Il testo principale che
verrà utilizzato è:
* O. Debarre, Higher-dimensional
Algebraic
Geometry. Springer 2001.
Altri testi:
*
J. Kollár, S. Mori, Birational Geometry of Algebraic Varieties.
Cambridge University Press 1998.
*
K. Matsuki, Introduction
to
the Mori Program. Springer 2002.
* R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis.
Princeton University Press 1997.