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Il legame tra algebra e topologia e' duplice: la topologia algebrica, si pensi al teorema di Brouwer del punto fisso, od al teorema di Borsuk-Ulam,
traduce la esistenza di certe applicazioni continue in esistenza di omomorfismi con certe proprieta' algebriche .
Viceversa, la teoria dei fibrati e dell' omotopia da' una incarnazione topologica di un gruppo
(estendendo assai il primo invariante topologico, il cosiddetto grafo di Cayley).
Tale teoria, detta degli spazi classificanti, traduce viceversa omomorfismi di gruppi in applicazioni continue. La questione della regolarita' di tali
applicazioni e della loro eventuale olomorficita', sviluppata negli ultimi 40 anni, ha potenti applicazioni nella teoria dei moduli.
Il caso piu' elementare e ben noto e' la teoria delle varieta' di Albanese associate a varieta' algebriche.
Dopo questa introduzione generale, mi concentrero' su alcune classi di varieta' proiettive che sono spazi classificanti, e sulle questioni algebriche a
cui lo studio dei loro moduli si riduce.
Esporro' poi brevemente alcuni recenti risultati ottenuti con Ingrid Bauer, in cui si introduce una nuova ed ampia classe di varieta', dette di tipo
Inoue, i cui spazi di moduli sono determinati dal tipo topologico.
Una analisi fine richiede tra l' altro una investigazione degli spazi di moduli di curve con simmetrie: qui esporro' alcuni recenti risultati ottenuti
in collaborazione con Michael L\"onne e Fabio Perroni.
* Nota storica: In these days the angel of topology and the devil of abstract algebra fight for the soul of each individual mathematical domain.Hermann Weyl (1939), p.500 di "Invariants", Duke Mathematical Journal 5 (3): 489-502. |