| Illustrer� alcuni risultati recenti ottenuti in collaborazione con F. Zucconi. Ricordiamo che il Lemma di Macaulay afferma che un'algebra graduata Artiniana di Gorenstein di dimensione di socle 1 e grado s+2 � isomorfa a un anello di polinomi S quozientato per l'ideale dell'ortogonale di una forma di grado s+2 nell'anello delle derivazioni di S. Un modo per ottenere algebre di questo tipo � il seguente: se C � una curva proiettivamente normale ed s-sottocanonica, allora l'anello delle coordinate omogeneo di C quozientato con l'ideale di due forme lineari generali, � una delle algebre cercate. Grazie al Lemma di Macaulay, otteniamo in tal guisa una forma F di grado s+2 in un anello di polinomi. Un primo risultato ottenuto � il seguente: una curva canonica C � trigonale o isomorfa ad una quintica piana liscia se e solo se F � una cubica di Fermat. Tale risultato � stato ulteriormente esteso, ottenendo nel contempo una generalizzazione a curve sottocanoniche del classico Teorema di Enriques-Petri nel modo seguente: se C � ora una curva s-sottocanonica proiettivamente normale con, allora sono equivalenti i seguenti fatti: 1) o C � (s+2)-gonale, o C � isomorfa ad una curva piana liscia C' di grado 2s+3; 2) o C � contenuta in una superficie rigata razionale normale liscia o, se C � isomorfa a C', � contenuta nella superficie di Veronese; 3) per ogni coppia generale di forme lineari, la corrispondente forma F � una forma di Fermat di grado s+2. Verranno poi discussi successivi sviluppi per variet� sottocanoniche. |