Apolarità per curve sottocanoniche
 
Pietro De Poi (Università di Udine)



Illustrerò alcuni risultati recenti ottenuti in collaborazione con F. Zucconi. Ricordiamo che il Lemma di Macaulay afferma che un'algebra graduata Artiniana di Gorenstein di dimensione di socle 1 e grado s+2 è isomorfa a un anello di polinomi S quozientato per l'ideale dell'ortogonale di una forma di grado s+2 nell'anello delle derivazioni di S. Un modo per ottenere algebre di questo tipo è il seguente: se C è una curva proiettivamente normale ed s-sottocanonica, allora l'anello delle coordinate omogeneo di C quozientato con l'ideale di due forme lineari generali, è una delle algebre cercate. Grazie al Lemma di Macaulay, otteniamo in tal guisa una forma F di grado s+2 in un anello di polinomi. Un primo risultato ottenuto è il seguente: una curva canonica C è trigonale o isomorfa ad una quintica piana liscia se e solo se F è una cubica di Fermat. Tale risultato è stato ulteriormente esteso, ottenendo nel contempo una generalizzazione a curve sottocanoniche del classico Teorema di Enriques-Petri nel modo seguente: se C è ora una curva s-sottocanonica proiettivamente normale con, allora sono equivalenti i seguenti fatti: 1) o C è (s+2)-gonale, o C è isomorfa ad una curva piana liscia C' di grado 2s+3; 2) o C è contenuta in una superficie rigata razionale normale liscia o, se C è isomorfa a C', è contenuta nella superficie di Veronese; 3) per ogni coppia generale di forme lineari, la corrispondente forma F è una forma di Fermat di grado s+2. Verranno poi discussi successivi sviluppi per varietà sottocanoniche.



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