| Illustrerò alcuni risultati recenti ottenuti in collaborazione con F. Zucconi. Ricordiamo che il Lemma di Macaulay afferma che un'algebra graduata Artiniana di Gorenstein di dimensione di socle 1 e grado s+2 è isomorfa a un anello di polinomi S quozientato per l'ideale dell'ortogonale di una forma di grado s+2 nell'anello delle derivazioni di S. Un modo per ottenere algebre di questo tipo è il seguente: se C è una curva proiettivamente normale ed s-sottocanonica, allora l'anello delle coordinate omogeneo di C quozientato con l'ideale di due forme lineari generali, è una delle algebre cercate. Grazie al Lemma di Macaulay, otteniamo in tal guisa una forma F di grado s+2 in un anello di polinomi. Un primo risultato ottenuto è il seguente: una curva canonica C è trigonale o isomorfa ad una quintica piana liscia se e solo se F è una cubica di Fermat. Tale risultato è stato ulteriormente esteso, ottenendo nel contempo una generalizzazione a curve sottocanoniche del classico Teorema di Enriques-Petri nel modo seguente: se C è ora una curva s-sottocanonica proiettivamente normale con, allora sono equivalenti i seguenti fatti: 1) o C è (s+2)-gonale, o C è isomorfa ad una curva piana liscia C' di grado 2s+3; 2) o C è contenuta in una superficie rigata razionale normale liscia o, se C è isomorfa a C', è contenuta nella superficie di Veronese; 3) per ogni coppia generale di forme lineari, la corrispondente forma F è una forma di Fermat di grado s+2. Verranno poi discussi successivi sviluppi per varietà sottocanoniche. |