La coomologia dello spazio di moduli A_g delle varieta' abeliane principalmente polarizzate di dimensione g e' nota solo per g\leq 3. In questi casi, i risultati si basano sul fatto che l'applicazione di Torelli e' dominante, nel senso che in questi casi una varieta' abeliana generale e' sempre la jacobiana di una curva. Questo permette di descrivere A_g usando informazioni sugli spazi di moduli di curve, la cui coomologia e' meglio nota. In dimensione 4, l'applicazione di Torelli non e' piu' dominante e la sua immagine e' un divisore in A_4. Cio' nonostante, ha senso porsi il problema di quanta parte delle coomologia di A_4 sia determinata dalla coomologia dello spazio di moduli delle curve lisce di genere 4 e da quella degli spazi di moduli di varieta' abeliane di dimensione piu' piccola. In questo seminario, cercheremo di rispondere a questa domanda per quanto riguarda la coomologia a coefficienti razionali della seconda compattificazione di Voronoi di A_4, una compattificazione toroidale che risulta particolarmente interessate per motivi geometrici. Spiegheremo in che modo l'approccio qui delineato dovrebbe essere sufficiente per descrivere la coomologia di questo spazio con l'eccezione di certi gruppi di coomologia di grado intermedio. Questo e' l'argomento di un progetto di ricerca (in corso), in collaborazione con Klaus Hulek.