Corso GE210 - a.a. 203/2024

DIARIO DELLE LEZIONI

Numero

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Argomenti svolti

21/9

Organizzazione del corso. Introduzione agli argomenti. Forme bilineari, simmetriche ed antisimmetriche. Esempi: forma bilineare su

K^{n}

associata ad una matrice, forma bilineare simmetrica standard su

K^{n}

e antisimmetrica standard su

K^{n}, n

pari. Matrice di una forma bilineare in una data base. La matrice di una forma bilineare calcola la forma.

21/9

Corrispondenza biunivoca tra forme bilineari e matrici e tra forme simmetriche (antisimmetriche) e matrici simmetriche (antisimmetriche). Matrici congruenti. Due matrici sono congruenti se e solo se sono le matrici di una forma bilineare in due basi.

22/9

Il rango di una forma bilineare. Forme bilineari non degeneri e degeneri. Applicazioni lineari associate ad una forma bilineare. Una forma bilineare

b

V

è non degenere se e solo se per ogni

v \neq 0, v \in V

esiste

w \in V

tale che

b (v, w) \neq 0

se e solo se l'applicazione lineare associata è un isomorfismo.

22/9

Forme bilineari simmetriche. Ortogonalità. Basi ortogonali. Vettori isotropi. Coefficiente di Fourier, decomposizione

V =< v > \oplus v^{⊥}

v

è non isotropo. Esempi. Forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica. Il polinomio omogeneo associato ad una forma quadratica.

5/10

Forme quadratiche e loro relazione con le forme bilineari simmetriche. Sia

K

un campo di caratteristica diversa da

2

e sia

V

uno

K

-spazio vettoriale di dimensione finita. Ogni forma bilineare simmetrica su

V

possiede una base ortogonale. Equivalentemente ogni matrice simmetrica

A \in M_{n} (K)

è congruente ad una matrice diagonale. Esempi di matrici simmetriche non congruenti a matrici diagonali se la caratteristica è

2

e di matrici simmetriche non simili a matrici diagonali.

5/10

Sia

K

un campo algebricamente chiuso e sia

V

uno

K

-spazio vettoriale di dimensione finita. Ogni forma bilineare simmetrica su

V

possiede una base in cui la matrice ha un blocco uguale a

I_{r}, r = r (b)

e per il resto è nulla. Equivalentemente ogni matrice simmetrica

A \in M_{n} (K)

è congruente ad una matrice con un blocco uguale a

I_{r}, r = r (A)

e per il resto nulla. Il teorema di Sylvester.

6/10

Forme quadratiche definite positive, negative, semidefinite positive, negative e indefinite. L'indice di positività e di negatività e la segnatura di una forma quadratica. Espressione di una forma quadratica in funzione della segnatura. Matrici definite positive. Minori principali. Il criterio dei minori principali.

6/10

Prodotti scalari, spazi vettoriali euclidei. Disuguaglianza di Schwartz. La norma di un vettore e le sue proprietà.Versori.

12/10

Insiemi di vettori ortogonali e ortonormali. Vettori ortogonali sono linearmente indipendenti. Ogni spazio vettoriale euclideo di dimensione finita ammette una base ortonormale. Basi ortonormali e matrici ortogonali.

12/10

Ortogonalizzazione. Il teorema di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, esempi.

13/10

W

è un sottospazio di dimensione finita di uno spazio vettoriale euclideo

V

si ha

V = W \oplus W^{⊥}

. Angolo tra due vettori. Il prodotto vettoriale.

13/10

Le proprietà del prodotto vettoriale. Il prodotto vettoriale dipende solo dalla scelta di un'orientazione.

19/10

La lunghezza del prodotto vettoriale in una decomposizione ortogonale. Il prodotto misto. L'identità di Lagrange. Spazi euclidei. Riferimenti cartesiani. Distanza tra due punti in uno spazio euclideo. Angolo tra due rette.

19/10

Geometria nel piano euclideo. Vettori di direzione e vettori normali ad una retta in funzione delle coordinate cartesiane. La retta per un punto ortogonale ad un'altra retta. Distanza di un punto da una retta.

20/10

Geometria in uno spazio euclideo di dimensione 3. Vettori e versori normali ad un piano in funzione delle coordinate cartesiane. Angolo convesso tra due piani. Angolo tra una retta ed un piano. Distanza di un punto da un piano. Distanza di un punto da una retta.

20/10

Distanza tra due rette parallele. La retta perpendicolare a due rette non parallele, esistenza. Distanza tra due rette non parallele.

26/10

Equazioni della retta perpendicolare a due rette non parallele. Operatori unitari. Teorema di caratterizzazione degli operatori unitari: un'applicazione di V in V è un operatore unitario se e solo se è lineare e rispetta la norma, se e solo se manda il vettore nullo nel vettore nullo e rispetta la distanza di

v

w

se e solo se è lineare e manda basi ortonormali in basi ortonormali.

26/10

Conclusione della dimostrazione. Un operatore unitario è un isomorfismo. Un operatore è unitario se e solo se la sua matrice, rispetto ad una base ortonormale, è ortogonale. Il gruppo ortogonale

O (V)

e il suo isomorfismo con

O (n)

. Il determinante di un operatore unitario è

\pm 1

27/10

Gli autovalori reali di un operatore unitario sono

\pm 1

. Un operatore è unitario se e solo se la sua matrice, rispetto ad una base ortonormale, è ortogonale. Il gruppo speciale ortogonale

S O (V)

e il suo isomorfismo con

S O (n)

27/10

Operatore aggiunto e sua matrice rispetto ad una base ortonormale. Operatori simmetrici e antisimmetrici. Un operatore

T

è unitario se e solo se

^{t} T \circ T = i d_{V}

. Affinità. Isometrie. Traslazioni. Il gruppo delle isometrie di uno spazio euclideo. Isometrie dirette e inverse. Lo stabilizzatore di un punto. Le rotazioni di uno spazio euclideo.

2/11

Sia

A

uno spazio affine su

V

e sia

O \in A

. C'è un isomorfismo di gruppi tra

A f f_{O} (A)

G L (V)

che, su uno spazio euclideo

E

, induce isomorfismi tra

I s o m_{O} (E)

O (V)

e tra

R o t_{O} (E)

S O (V)

. Inoltre, fissata una base ortonormale, è indotto un isomorfismo tra

I s o m_{O} (E)

O (n)

e tra

R o t_{O} (E)

S O (n)

. Cambi di coordinate affini.

2/11

Sia

E

uno spazio euclideo con riferimento cartesiano

{O, e_{1}, \dots, e_{n}}

. Sia

f

un'isometria di

E

. Allora

f (P (x_{1}, \dots, x_{n})) = Q (y_{1}, \dots, y_{n})

dove

Y = A X + c

essendo

A

la matrice nella base

e

dell'automorfismo associato ad

f

c

le coordinate di

f (O)

. Viceversa ogni applicazione

f

che soddisfa la condizione sopra, con

A \in O (n)

, è un'isometria di

E

. Un'applicazione di uno spazio euclideo in sé è un'isometria se e solo se rispetta la distanza. Figure geometriche, proprietà euclidee (cenni). Diagonalizzazione di operatori simmetrici. Una matrice simmetrica a coefficienti reali ha tutti gli autovalori reali.

3/11

Esercizi di preparazione alla prima prova in itinere.

3/11

Esercizi di preparazione alla prima prova in itinere. Si ricorda che il 10 novembre, ore 14:30, si svolgerà la prima prova in itinere in aula M1.

10/11

Prima prova in itinere.

10/11

Prima prova in itinere

10/11

Prima prova in itinere

16/11

Il teorema spettrale: ogni operatore simmetrico su uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita possiede una base ortonormale in cui la matrice dell'operatore è diagonale. Ogni matrice simmetrica è simile, tramite una matrice ortogonale, ad una matrice diagonale. In uno spazio vettoriale euclideo due autovettori di un operatore simmetrico associati ad autovalori distinti sono ortogonali.

16/11

Forme hermitiane e prime proprietà. Forme hermitiane definite positive, negative e semidefinite positive, negative. Matrici hermitiane. Ortogonalità tra vettori rispetto ad una forma hermitiana, basi ortogonali. Diagonalizzazione di forme hermitiane in spazi vettoriali di dimensione finita su

C

. Prodotto hemitiano, spazi vettoriali hermitiani. La disuguaglianza di Schwartz. La norma di un vettore e le sue proprietà in spazi vettoriali hermitiani.

17/11

Operatori unitari in spazi vettoriali hermitiani. Gli autovalori di un operatore unitario hanno modulo

1

. In uno spazio vettoriale hermitiano due autovettori di un operatore unitario associati ad autovalori distinti sono ortogonali. Matrici unitarie, il gruppo unitario. Un operatore su uno spazio vettoriale hermitiano è unitario se e solo se la sua matrice, in una base ortonormale, è unitaria. Ogni operatore unitario su uno spazio vettoriale hermitiano di dimensione

n \geq 1

possiede una base ortonormale diagonalizzante. Per ogni matrice unitaria

A

esiste una matrice unitaria

M

tale che

M^{- 1} A M =^{t} \bar{M} A M

è diagonale.

17/11

Operatori hermitiani su spazi vettoriali hermitiani. Un operatore su uno spazio vettoriale hermitiano è hermitiano se e solo se la sua matrice, in una base ortonormale, è hermitiana. Un operatore su uno spazio vettoriale hermitiano ha tutti gli autovalori reali. Il teorema spettrale. Spazio proiettivo associato ad un

K

-spazio vettoriale. La dimensione di uno spazio proiettivo. Rette proiettive, piani proiettivi,

n

-spazio proiettivo numerico su un campo

K

. Riferimenti proiettivi, coordinate omogenee.

23/11

Sottospazi proiettivi. L'equazione di un iperpiano è un polinomio omogeneo di grado 1. I punti fondamentali ed il punto unità. Iperpiani coordinati. Le equazioni di un sottospazio sono un sistema lineare omogeneo. Intersezione di due (o di una famiglia di) sottospazi proiettivi. Sottospazi incidenti e sghembi.

23/11

Il sottospazio generato da un sottoinsieme di uno spazio proiettivo. Il sottospazio generato da un numero finito di punti e la sua dimensione. Punti linearmente indipendenti e dipendenti. Punti allineati e complanari. Punti in posizione generale.

24/11

L'equazione della retta per due punti distinti in un piano proiettivo e l'equazione del piano per tre punti non allineati in uno spazio proiettivo di dimensione 3. Somma di sottospazi. La somma di

P (W_{1})

P (W_{2})

P (W_{1} + W_{2})

. La formula di Grassmann proiettiva. Se

S_{1}

S_{2}

sono sottospazi di

P

allora

\dim (S_{1} \cap S_{2}) \geq \dim S_{1} + \dim S_{2} - \dim P

e se quest'ultima è non negativa allora

S_{1} \cap S_{2} \neq ∅

24/11

Geometria affine e geometria proiettiva. La corrispondenza biunivoca tra

P_{K}^{n} - H_{0}

A_{K}^{n}

. Passaggio da coordinate omogenee a non omogeneee e viceversa. Omogeneizzato e disomogeneizzato di un polinomio. Chiusura proiettiva di un sottospazio.

30/11

Dualità in spazi proiettivi. Lo spazio proiettivo duale. L'applicazione di dualità. L'applicazione di dualità è una biiezione. L'applicazione di dualità in coordinate. Cambiamenti di coordinate omogenee. Se

e_{0}, \dots, e_{n}

f_{0}, \dots, f_{n}

sono due riferimenti proiettivi di

P

, il cambio di coordinate omogenee è dato dalla formula

Y = A X

dove

A

è una matrice in

G L_{n + 1} (K)

definita a meno di multipli non nulli.

30/11

Isomorfismi di spazi proiettivi e proiettività. L'applicazione lineare associata ad una proiettività è definita a meno di multipli non nulli. Il gruppo delle proiettività

P G L (P)

e il gruppo lineare proiettivo

P G L_{n + 1} (K)

P G L (P (V)) ≅ G L (V) / {λ {i d}_{V}, λ \in K^{*}}

. Siano

P

P^{'}

due spazi proiettivi di dimensione

n

. Esiste un unico isomorfismo

f : P \to P^{'}

che manda

n + 2

punti in posizione generale in

P

n + 2

punti in posizione generale in

P^{'}

. In particolare ogni proiettività di uno spazio proiettivo di dimensione

n

che fissa

n + 2

punti in posizione generale è l'identità. Prima parte della dimostrazione.

1/12

Siano

P

P^{'}

due spazi proiettivi di dimensione

n

. Esiste un unico isomorfismo

f : P \to P^{'}

che manda

n + 2

punti in posizione generale in

P

n + 2

punti in posizione generale in

P^{'}

. Seconda parte della dimostrazione. Le proiettività definiscono isomorfismi tra sottospazi. Figure proiettive, figure proiettivamente equivalenti, proprietà proiettive (cenni).

1/12

Curve algebriche piane affini, euclidee e proiettive. Loro supporto, equazioni e grado. Osservazioni ed esempi. La trasformata di una curva tramite un'affinità, un'isometria o una proiettività. Equivalenza affine, euclidea e proiettiva di curve algebriche piane.

7/12

Proprietà affini, euclidee o proiettive delle curve algebriche piane. Invarianti. Il grado e la cardinalità del supporto danno invarianti affini, euclidei o proiettivi. La classificazione delle rette affini e proiettive. Coniche proiettive, la loro matrice e il loro rango. Il rango di una conica proiettiva è un invariante proiettivo. Coniche non-degeneri, degeneri, semplicemente degeneri e doppiamente degeneri.

7/12

Il teorema di classificazione delle coniche proiettive su un campo algebricamente chiuso. Supporti di coniche dei tre tipi. Il teorema di classificazione delle coniche proiettive reali. Coniche affini, la loro matrice, il loro rango. Il rango di una conica affine determina una proprietà affine. Coniche affini non-degeneri, degeneri, semplicemente degeneri e doppiamente degeneri. La matrice dei termini di grado massimo di una conica affine, il segno del determinate di tale matrice determina una proprietà affine di una conica affine reale.

14/12

Coniche affini a centro e non a centro. Ellissi, iperboli e parabole. Il teorema di classificazione delle coniche affini su un campo algebricamente chiuso e delle coniche affini reali. Prima parte della dimostrazione.

14/12

ll teorema di classificazione delle coniche affini su un campo algebricamente chiuso e delle coniche affini reali. Seconda parte della dimostrazione. Il teorema di classificazione delle coniche euclidee. Prima parte della dimostrazione.

15/12

Il teorema di classificazione delle coniche euclidee. Seconda parte della dimostrazione.

15/12

Studio di una famiglia di coniche.

21/12

Studio di una famiglia di coniche.

21/12

Studio di una famiglia di coniche.

22/12

Esercizi di preparazione alla seconda prova in itinere.

22/12

Esercizi di preparazione alla seconda prova in itinere. La classificazione delle quadriche euclidee non degeneri a punti reali in

E^{3}

. Si ricorda che il 9 gennaio, ore 14:30, si svolgerà la seconda prova in itinere in aula M1.

9/1

Seconda prova in itinere.

9/1

Seconda prova in itinere.

9/1

Seconda prova in itinere.

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