Geometria Algebrica 2

GEOMETRIA ALGEBRICA 2

Corso di Laurea Magistrale in Matematica

Università degli Studi Roma Tre

A.A. 2023/2024

Docente: Angelo Felice Lopez

ORARIO DELLE LEZIONI: lunedì 16-18, mercoledì 14-16, aula M4.
ORARIO DELLE ESERCITAZIONI: da stablirsi.

PRIMA LEZIONE: 19 febbraio 2024.

DESCRIZIONE GENERALE

La Geometria Algebrica è lo studio delle varietà algebriche, cioè degli zeri di un insieme di polinomi. Tale studio avviene, storicamente, attraverso l'analisi di proprietà geometriche, algebriche, topologiche, differenziali, analitiche e numeriche. Questa ampiezza di vedute ne fa una della aree più affascinanti e centrali nella matematica. Molti problemi famosi in matematica, per esempio l' Ultimo Teorema di Fermat, sono stati risolti con l'uso essenziale della Geometria Algebrica.
Classicamente sono state studiate le proprietà di base delle varietà algebriche affini e proiettive. A partire dagli anni 60 del secolo scorso si è capito però che ciò non era più sufficiente per studi più profondi e rigorosi e per applicazioni alla teoria dei numeri o alla fisica o altro. Per questo alcuni matematici famosi come Weil, Serre e soprattutto Grothendieck, introdussero la teoria degli schemi e la coomologia. Questi, che oggi sono da ritenersi nozioni di base di Geometria Algebrica, sono gli argomenti che verranno studiati nel corso.

PROGRAMMA DI MASSIMA

Teoria dei fasci e suo utilizzo in ambito schematico	Prefasci e fasci, fascio associato a un prefascio, relazione tra iniettività e biettività sulle spighe e analoghe proprietà sulle sezioni. La categoria degli spazi anellati. Schemi. Esempi. Prodotti fibrati. Fasci algebrici su uno schema. Fasci quasi-coerenti e fasci coerenti.
Coomologia dei fasci	Algebra omologica nella categoria dei moduli su un anello. Fasci fiacchi. La coomologia dei fasci utilizzando la risoluzione canonica con fasci fiacchi.
Coomologia dei fasci quasi-coerenti e coerenti su uno schema	Coomologia di Cech e coomologia ordinaria. Coomologia dei fasci quasi-coerenti su uno schema affine. La coomologia dei fasci O(n) sullo spazio proiettivo. Fasci coerenti sullo spazio proiettivo. Caratteristica di Eulero-Poincaré.
Fasci invertibili e sistemi lineari	Incollamento di fasci. Fasci invertibili e loro descrizione. Il gruppo di Picard. Morfismi in uno spazio proiettivo. Sistemi lineari. Punti base. Sistemi lineari e fasci ampi e molto ampi. Criterio di ampiezza.

Programma finale

TESTI CONSIGLIATI:

Il testo principale che verrà utilizzato sono le note del corso (scaricabili qui) rielaborazione delle note scritte da E. Sernesi (scaricabili qui).

Si consigliano inoltre i seguenti testi classici:

* R. Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Math. No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
* D. Eisenbud, J. Harris: The Geometry of Schemes, Springer Verlag (2000).
* U. Gortz, T. Wedhorn: Algebraic Geometry I, Viehweg + Teubner (2010).

ed i seguenti

Testi di Algebra:

* M. Artin, Algebra, Bollati Boringhieri 1997.
* M.F. Atiyah, I.G. Mac Donald, Introduzione all'algebra commutativa, Feltrinelli 1991.