Elementi di Matematica: Insiemi, numeri e successioni

Gli insiemi sono il concetto alla base della matematica moderna, e rappresentano delle collezioni di oggetti (che sono tipicamente accomunati da qualcosa). Un esempio tipico può essere l'insieme costituito dagli studenti iscritti al primo anno del corso di laurea in matematica dell'Università di Roma Tre. In matematica gli insiemi sono definiti a livello assiomatico come gli oggetti di base della teoria degli insiemi, su cui si sviluppano tutte le branche della matematica. Innanzitutto è necessario supporre che almeno un insieme esista. Questo fatto deve essere preso per vero, ovvero sarà un assioma della teoria. Per questioni di convenienza, nella formulazione più comune della teoria degli insiemi si pone come assioma che esista un insieme con un numero infinito di elementi. Per i nostri scopi ci limiteremo però a supporre che esista l'insieme vuoto (la sua esistenza è una conseguenza dell'assioma di esistenza di un insieme infinito, e del cosiddetto "schema di assiomi di separazione").

Dato l'insieme vuoto, possiamo costruire in maniera ricorsiva alcuni insiemi speciali con un numero finito di elementi. A tale proposito è conveniente introdurre la seguente notazione: denoteremo l'insieme \(S\) contenente gli elementi \(a,b,c,d\) tramite la notazione

\begin{equation} S=\{a,b,c,d\}\; . \end{equation}

Abbiamo usato le parentesi graffe "\(\{\)" e "\(\}\)" per collezionare gli elementi dell'insieme \(S\). Adottiamo la regola di non ripetere mai, all'interno di un insieme, lo stesso elemento due volte. Per cui \(\{a,a,b,c\}\) non denota correttamente l'insieme \(\{a,b,c\}\). L'ordine in cui gli elementi dell'insieme vengono collezionati all'interno delle parentesi graffe è indifferente, per cui \(\{a,b,c,d\}\) e \(\{d,c,b,a\}\) denotano lo stesso insieme.

Un'osservazione molto importante è la seguente: gli insiemi possono essere a loro volta elementi di un (altro) insieme. In particolare, nella teoria matematica degli insiemi, gli insiemi sono l'unico oggetto possibile: ogni insieme è collezione di altri insiemi. Per cui, se \(S\) è un insieme con 5 elementi, possiamo costruire l'insieme \(\{S\}\) che ha però un elemento solo (\(S\) per l'appunto). Ecco che allora questa idea ci fornisce un modo naturale di costruire ricorsivamente insiemi con \(0,1,2,3,\dotsc\) elementi (che devono essere tra loro distinti) a partire dall'insieme vuoto:

\begin{align} &\varnothing\\ &\{\varnothing\}\\ &\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\\ &\bigl\{\varnothing , \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\bigr\}\\ &\dotsc \end{align}

Lo schema di ricorrenza è chiaro: dato un'insieme, costruiamo quello successivo aggiungendo agli elementi di quello dato esso stesso, come elemento. Per cui, chiaramente, se l'insieme dato aveva \(n\) elementi, quello successivo ne avrà uno in più. Questa costruzione ci tornerà utile nella §3 per definire i numeri naturali.

Definiamo ora alcune relazioni e operazioni fra insiemi.

I concetti definiti sopra sono di comprensione piuttosto immediata, e non necessitano approfondimenti particolari. Si noti però che la nozione di appartenenza può portare a situazioni paradossali, che però sono escluse dagli assiomi della teoria. L'esempio più famoso è il seguente.

Passiamo ora ad introdurre alcune operazioni fra insiemi: l'unione \(\cup \), l'intersezione \(\cap \), la differenza \(\smallsetminus \), la differenza simmetrica \(\Delta\), e il prodotto cartesiano \(\times\).

Si noti che \(S\subseteq (S\cup T)\) e \(T\subseteq (S\cup T)\). In particolare \(S\cup T\) è l'insieme con meno elementi che contiene sia \(S\) che \(T\), e che \(S\cup T\) è vuoto se e solo se \(S=T=\varnothing \).

Si noti che \((S\cap T)\subseteq S\) e \((S\cap T)\subseteq T\). In particolare \(S\cap T\) è l'insieme con più elementi che è contenuto sia in \(S\) che in \(T\); inoltre \(S\cap T=\varnothing \) se e solo se \(S\) e \(T\) non hanno elementi comuni.

Se \(T\subseteq S\) allora \(S\smallsetminus T\) è spesso chiamato il complementare di \(T\) in \(S\), e si usa la notazione \(T^{\mathrm{c}}\) (il fatto che il complementare sia preso in \(S\) è sottinteso).

Per definire il prodotto cartesiano di due insiemi, definiamo prima il concetto di coppia ordinata. Dati due oggetti \(a,b\), definiamo la coppia ordinata \((a,b)\) come l'insieme

\begin{equation} \label{eq:7} (a,b)= \{\{a\},\{a,b\}\}\; . \end{equation}

Questa definizione ci permette di distinguere l'ordine in cui \(a\) e \(b\) vengono collezionati, contrariamente al semplice insieme \(\{a,b\}\) in cui come abbiamo discusso l'ordine in cui collezioniamo gli elementi è indifferente.

Gli elementi di un prodotto cartesiano di insiemi sono dunque "compositi", consistendo delle coppie ordinate di elementi dei due insiemi che lo formano. Ovviamente ne risulta che \(S\times T \neq T\times S\). Si osservi anche che \(S\times \varnothing = \varnothing \times S= \varnothing \) (infatti non è possibile formare coppie ordinate se uno dei due insiemi non ha nessun elemento).

Nella sezione precedente abbiamo utilizzato, implicitamente e in maniera naturale, degli strumenti logici atti a connettere o quantificare le frasi matematiche.

Le frasi matematiche sono delle stringhe di simboli a cui è possibile assegnare un valore di verità, ovvero che possono essere o vere o false. I connettivi logici permettono di combinare fra loro delle frasi matematiche, ottenendo una nuova frase composita il cui valore di verità dipende da quello delle componenti e dall'azione del connettivo. Definiamo ora i tre connettivi fondamentali: e (\(\land\)), oppure (\(\vee\)), non (\(\neg\)). Il loro significato è lo stesso che si usa nel linguaggio comune, e non necessita quindi di chiarimenti particolari.

Combinando i connettivi fondamentali è possibile ottenere altri connettivi, i più importanti sono le implicazioni logiche \(\longrightarrow\) e \(\longleftrightarrow\). Intuitivamente \(A\longrightarrow B\) significa che la frase \(B\) è implicata dalla frase \(A\), ovvero se \(A\) è vera, allora \(B\) è vera anch'essa. Si osservi che ciò comporta che se \(B\) è falsa, allora \(A\) dev'essere anch'essa falsa (perché?). \(A \longleftrightarrow B\) significa che sia \(A\longrightarrow B \) che \(B\longrightarrow A\), ovvero per quanto appena discusso che \(A\) è vera se e solo se anche \(B\) lo è. La definizione delle implicazioni utilizzando i connettivi fondamentali è la seguente:

\begin{align} &A\longrightarrow B = (\neg A)\vee B\; ,\\ &A \longleftrightarrow B = ((\neg A)\vee B) \land ((\neg B)\vee A)\; . \end{align}

Oltre ai connettivi, giocano un ruolo altrettanto importante i quantificatori logici. Come la parola suggerisce, essi servono a quantificare delle frasi matematiche in cui appaiano delle variabili. Infatti, come si è detto in precedenza, le frasi matematiche sono stringhe di simboli che possono essere o vere o false. Questi simboli possono essere dei connettivi, delle costanti (ad esempio il numero 2 – che definiremo presto – o l'insieme vuoto \(\varnothing \)), oppure delle variabili. Le variabili sono simboli che a differenza delle costanti non hanno un valore preciso, ma possono variare per formare frasi differenti, e possono essere quantificate. Nella teoria degli insiemi, le variabili saranno degli insiemi generici, a cui non abbiamo ancora assegnato un valore preciso. Una variabile non quantificata si dice libera. Per convenienza, si esplicitano le variabili libere all'interno di una frase: scriveremo \[ A(x_1,x_2,\dotsc,x_n)\] per denotare una frase che ha come variabili libere \(x_1,\dotsc, x_n\). Una frase senza variabili libere è detta proposizione. I quantificatori logici sono due: esiste \(\exists \), e per ogni \(\forall \).

Si osservi che l'azione dei quantificatori vincola una variabile, ovvero ogni quantificatore elimina una variabile libera dalla frase considerata.

Partiamo con il concetto di numero naturale. Abbiamo introdotto nella §2 la teoria degli insiemi, da cui abbiamo detto si sviluppa tutta la matematica moderna. Ebbene anche il concetto di numero trova la sua formalizzazione nella teoria degli insiemi. I numeri naturali non sono altro che alcuni insiemi speciali, che peraltro abbiamo già visto.

In altre parole i primi quattro numeri non sono altro che gli insiemi con zero, uno, due, tre elementi rispettivamente, costruiti a partire dall'insieme vuoto. Tutti gli altri numeri naturali si possono costruire ricorsivamente allo stesso modo, semplicemente unendo al numero precedente (che è un insieme) l'insieme contenete il numero stesso come unico elemento (sempre inteso come insieme). Abbiamo quindi la seguente definizione:

È conveniente introdurre una operazione \(\mathfrak{S}\), chiamata successivo che agisce sui numeri naturali nel modo seguente:

\begin{equation} \mathfrak{S}(n)= n \cup \{n\}\; . \end{equation}

Per cui possiamo dire che \(0\) è l'unico numero naturale che non è successivo di nessun altro numero, e ogni numero \(n\) gode della proprietà

\begin{equation} \label{eq:0} n= \mathfrak{S}^n(0)= \underbrace{\mathfrak{S}(\mathfrak{S}(\mathfrak{S}(\mathfrak{S}\dotsc(\mathfrak{S}}_n(0))\dotsc)))\; , \end{equation}

con la convenzione che \(\mathfrak{S}^0\) significa che applichiamo l'operazione successivo zero volte.

I numeri naturali, data la loro costruzione successiva, possono essere totalmente ordinati in modo ovvio.

La definizione di \( > , \geq \) è perfettamente analoga, invertendo l'ordine dei due numeri considerati. La relazione \(\leq \) (o analogamente \(\geq\)) definisce un ordine totale, ovvero dati \(n,m\in \mathbb{N}\) qualsiasi, o \(n\leq m\) o \(m\leq n\) è vera (ed entrambe sono vere se e solo se \(n=m\)).

La collezione di tutti i numeri naturali è un insieme, che chiamiamo \(\mathbb{N}\). L'insieme \(\mathbb{N}\) contiene un numero infinito di elementi, infatti si può applicare l'operazione successivo un numero arbitrariamente grande di volte, ottenendo sempre un altro numero naturale. Possiamo quindi rappresentare i numeri naturali come una successione orientata di punti, collegati dall'operazione di prendere il successivo; solitamente si adotta la convenzione di orientarli in modo che crescano muovendosi verso destra:

I numeri interi sono l'estensione dei numeri naturali chiusa rispetto alla sottrazione, oltre che all'addizione e alla moltiplicazione. Si possono definire in varie maniere, qui si seguirà quella ora comunemente accettata in matematica.

Preliminarmente, discutiamo il concetto di relazione di equivalenza. Sia \(n\in \mathbb{N}\), e chiamiamo \(r_5(n)\in \{0,1,2,3,4\}\) il corrispondente resto di \(n\div 5\). Chiaramente \(r_5(0)=0\), \(r_5(1)=1\), … , \(r_5(4)= 4\); poi si ha che \(r_5(5)= 0\), \(r_5(6)= 1\), e così via. Quindi in particolare abbiamo che

\begin{equation} \label{eq:9} r_5(0)=r_5(5)=r_5(10)= \dotsc\; . \end{equation}

Diciamo quindi che \(0,5,10\) sono equivalenti modulo 5. Più precisamente diciamo che due numeri \(n,m\in \mathbb{N}\) sono equivalenti modulo 5 – scritto \(n\sim_5 m\) – se e solo se \(r_5(n)=r_5(m)\). La relazione \(\sim_5\) è un esempio di relazione di equivalenza, solitamente denotata con il simbolo \(\sim\). Le relazioni di equivalenza ci permettono di raggruppare gli elementi di un dato insieme, in questo caso \(\mathbb{N}\): infatti possiamo definire la classe di equivalenza di un dato numero \(n\in \mathbb{N}\) come l'insieme (stiamo considerando nello specifico la relazione \(\sim_5\), ma la definizione è analoga per ciascuna relazione di equivalenza, per cui omettiamo il pedice \(_5\))

\begin{equation} \label{eq:10} [n]_{\sim}= \{m\in \mathbb{N}\,,\, m\sim n\}\; . \end{equation}

Chiaramente \([n]_{\sim}\subseteq \mathbb{N}\), e \(\mathbb{N}\) si può suddividere nei sottoinsiemi rappresentati da tutte le classi di equivalenza distinte. Infatti dati due numeri \(n,m\), è possibile che \([n]_{\sim}=[m]_{\sim}\): è infatti necessario e sufficiente che \(n\sim m\).

Chiameremo insieme quoziente, in questo caso \(\mathbb{N}/\!\!\sim\), l'insieme di tutte le classi di equivalenza. Ogni classe di equivalenza si può identificare con un qualsiasi dei suoi costituenti, che chiamiamo rappresentante, e ciò è implicito nella scrittura \([n]_{\sim}\): per definire univociamente la classe di equivalenza è sufficiente esplicitare \(n\). Per cui di fatto l'insieme \(\mathbb{N}/\!\!\sim\) si può pensare come un insieme di numeri (anche se in realtà è un insieme di insiemi), ove ciascun numero è un rappresentante della classe di equivalenza. Nel caso di \(\sim_5\), \(\mathbb{N}/\!\!\sim_5\) può di fatto essere identificato con l'insieme \(\toggle{\{?\}.}{\{0,1,2,3,4\}.}\endtoggle\)

Per definire i numeri interi, dobbiamo fare ricorso a una speciale classe di equivalenza fra coppie ordinate di numeri naturali \((P,N)\). Intuitivamente, il primo numero della coppia \(P\) rappresenta la parte positiva del numero intero, il secondo numero \(N\) la sua parte negativa. L'idea è che il numero intero \(2\) può essere visto come la coppia \((2,0)\), ma anche come la coppia \((3,1)\) o \((4,2)\), per cui vogliamo che tutte queste coppie siano equivalenti; identificheremo poi la loro classe di equivalenza con l'agognato numero (intero) \(2\).

Consideriamo quindi le coppie \((P,N)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}\), e definiamo la relazione di equivalenza \(\sim_{\mathbb{Z}}\) come

\begin{equation} \label{eq:11} (P,N)\sim_{\mathbb{Z}} (Q,M) \; \longleftrightarrow \; P+M=Q+N\; . \end{equation}

Perché abbiamo formulato l'equivalenza in questo modo? Intuitivamente vorremmo dire che \(P-N=Q-M\), ma non possiamo farlo per coppie di numeri naturali arbitrari \((P,N)\) e \(Q,M\)! Infatti, per definire la sottrazione tra numeri naturali necessitiamo che \(P\geq N\) e \(Q\geq M\), ma ciò non ci permetterebbe di definire i negativi, che è proprio il nostro scopo. La relazione formulata in termini di somme come fatto in \eqref{eq:11} è però perfettamente lecita per qualsiasi coppia di naturali, ed è quindi la scelta giusta nel rispetto della nostra intuizione.

Perché questa definizione sia ben posta, dobbiamo fare le seguenti cose:

• Identificare i numeri naturali (o interi non-negativi) all'interno dell'insieme dei numeri interi;
• Identificare i numeri negativi all'interno dell'insieme dei numeri interi;
• Definire le operazioni di somma, differenza, e moltiplicazione tra interi, e verificare che coincidano sui numeri naturali con le definizioni date nella §3.1.1;
• Definire le relazioni d'ordine \(<\) e \(\leq\) sugli interi, e verificare che coincidano sui numeri naturali con le definizioni date nella §3.1.

Come vedremo queste cose si possono fare in molto maniera intuitiva a partire dalla definizione di \(\sim_{\mathbb{Z}}\). Partiamo dai primi due punti, ovvero identificare i numeri naturali e i numeri negativi all'interno di \(\mathbb{Z}\).

Identifichiamo \([(n,0)]_{\sim_{\mathbb{Z}}}\) con il numero naturale \(n\) (visto come numero intero) – scriveremo direttamente \(n\in \mathbb{Z}\) – e \([(0,n)]\), quando \(n>0\), con il numero intero negativo \(-n\) – scriveremo direttamente \(-n\in \mathbb{Z}\).

Passiamo ora alla definizione delle operazioni \(+,-,*\) tra numeri interi. Come vedremo è conveniente definire tali operazioni sulle coppie di interi \((P,N)\). Bisogna però prestare attenzione al fatto che le definizioni siano ben poste per le classi di equivalenza, ovvero che operando su rappresentativi diversi il risultato ottenuto appartenga sempre alla stessa classe di equivalenza. Invitiamo il lettore a verificare che ciò sia vero.

Per due numeri naturali \(n,m\), che corrispondono alle classi di equivalenza delle coppie \((n,0)\) e \((m,0)\), otteniamo chiaramente lo stesso risultato che avremmo utilizzando la Definizione 3.1.1.1.

Anche in questo caso per due numeri naturali \((n,0)\) e \(m,0\) abbiamo come prodotto \((n * m,0)\), in accordo con la Definizione 3.1.1.3.

Definiamo ora l'inverso additivo di un numero intero: basterà invertire la parte positiva e negativa

\begin{equation} \label{eq:14} -[(P,N)]_{\sim_{\mathbb{Z}}}= [(N,P)]_{\sim_{\mathbb{Z}}}\; . \end{equation}

Grazie all'inverso additivo la definizione di sottrazione segue immediatamente.

Ancora una volta la differenza fra interi coincide sui naturali con quella definita in Definizione 3.1.1.2, col vantaggio che possiamo definirla per ciascuna coppia di interi. Segue quindi che gli interi sono chiusi rispetto alla sottrazione.

Rimane da definire la relazione d'ordine \( < \) fra interi (quella dell'ordine totale \(\leq \) segue immediatamente).

Anche in questo caso la relazione d'ordine fra interi rispetta quella fra naturali. Ne consegue dunque che i numeri interi possono essere rappresentati graficamente in maniera analoga ai numeri naturali come sequenza totalmente ordinata di punti equidistanti; però tale sequenza si estende all'infinito da ambo i lati partendo dallo zero, verso destra con i numeri interi positivi \(n\in \mathbb{Z}\), (con \(0 < n\)), e verso sinistra con i numeri interi negativi \(-n\in \mathbb{Z}\) (sempre con \(0 < n\)). La relazione d'ordine, come per i numeri naturali, si percorre da sinistra verso destra, ovvero dati due numeri interi quello più a sinistra nella rappresentazione grafica è minore dell'altro.

Così come \(\mathbb{N}\) ha un mumero infinito di elementi, analogamente \(\mathbb{Z}\) ha un numero infinito di elementi. Non entreremo nei dettagli, ma la tipologia di infinito (detta cardinalità) dei due insiemi è la stessa, ovvero essi hanno lo "stesso numero infinito di elementi", detto cardinale numerabile \(\aleph_0\). L'appellativo di numerabile è dato per il fatto che questa tipologia di infinito si può contare (anche se per contarli tutti servirebbe un tempo infinito). Come vedremo alcuni insiemi di numeri sono talmente grandi da renderne impossibile il conteggio.

I numeri razionali sono, a livello intuitivo, quelli che rappresentano frazioni – ovvero divisioni – di numeri interi. Rileggendo la Definizione 3.1.1.4 di divisione per numeri naturali (per i numeri interi sarebbe analoga, mutatis mutandis), risulta chiaro che anche i razionali dovranno essere costruiti a partire da coppie di numeri. E sarà nuovamente necessario identificare alcune delle coppie tra loro come equivalenti, definendo quindi opportune relazioni e classi di equivalenza. L'idea di base della costruzione è la seguente: la coppia di numeri definisce numeratore e denominatore del numero razionale. Per questo motivo, il secondo intero della coppia non potrà assumere il valore zero.

Prendiamo allora le coppie ordinate di interi rappresentanti numeratore e denominatore \((N,D)\in \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}\smallsetminus \{0\})\), dove nel secondo insieme di interi (il denominatore) abbiamo tolto lo zero. La relazione di equivalenza \(\sim_{\mathbb{Q}}\) si definisce in questo modo:

\begin{equation} \label{eq:2} (N,D)\sim_{\mathbb{Q}} (M,E) \; \longleftrightarrow \; N * E = M * D\; . \end{equation}

Come per la definizione di interi la relazione di equivalenza "naturale" (ma non ammessa) sarebbe \(\frac{N}{D}= \frac{M}{E}\), che però può essere formulata legittimamente come appare in \eqref{eq:2}. I razionali non sono altro che le classi di equivalenza di \(\sim_{\mathbb{Q}}\) in \(\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\smallsetminus \{0\})\).

Per la definizione delle operazioni e della relazione d'ordine (totale) sui razionali si procede come abbiamo fatto per gli interi, questa volta identificando gli interi come sottoinsieme dei razionali, e verificando la consistenza delle operazioni razionali con quelle intere. Ci limitiamo dunque a presentare le definizioni in maniera veloce, invitando il lettore interessato a compendiare i dettagli, sulla falsa riga della sezione precedente.

\begin{align} \label{eq:15} &[(N,D)]_{\sim_{\mathbb{Q}}}+[(M,E)]_{\sim_{\mathbb{Q}}}= [(N * E + D * M,D * E)]_{\sim_{\mathbb{Q}}}\; ;\\ \label{eq:16} &[(N,D)]_{\sim_{\mathbb{Q}}}-[(M,E)]_{\sim_{\mathbb{Q}}}= [(N * E - D * M,D * E)]_{\sim_{\mathbb{Q}}}\; ;\\ \label{eq:17} &[(N,D)]_{\sim_{\mathbb{Q}}} * [(M,E)]_{\sim_{\mathbb{Q}}}= [(N * M, D * E)]_{\sim_{\mathbb{Q}}}\; ;\\ \label{eq:18} &[(N,D)]_{\sim_{\mathbb{Q}}} \div [(M,E)]_{\sim_{\mathbb{Q}}}= [(N * E, D * M)]_{\sim_{\mathbb{Q}}}\; ;\\ \label{eq:19} &[(N,D)]_{\sim_{\mathbb{Q}}} \leq [(M,E)]_{\sim_{\mathbb{Q}}} \longleftrightarrow\begin{cases} &N * E \leq D * M& \text{if } D * E > 0\\ &N * E \geq D * M& \text{if } D * E < 0 \end{cases}\; . \end{align}

Utilizzando la notazione ben nota per i numeri razionali \(\frac{N}{D}\) (e omettendo il simbolo \( * \) di prodotto se ciò non causa confusione), le operazioni qui sopra si possono riscrivere nella maniera nota

\begin{align} & \frac{N}{D}+\frac{M}{E}= \frac{NE +MD}{DE}\; ,\\ & \frac{N}{D}-\frac{M}{E}= \frac{NE -MD}{DE}\; ,\\ & \frac{N}{D} * \frac{M}{E}= \frac{NM}{DE}\; ,\\ & \frac{N}{D} \div \frac{M}{E}= \frac{NE}{DM}\; . \end{align}

I numeri razionali sono, in apparenza, tanti. Infatti, il seguente risultato è vero.

Quindi prendendo due numeri razionali distinti qualsivoglia, ne possiamo sempre trovare un altro, e quindi infiniti altri fra essi!

I numeri razionali, nonostante il Teorema 3.3.2 non sono però un'infinità più grande dei naturali, e sono anch'essi numerabili (e quindi di cardinalità \(\aleph_0\)). Non daremo una dimostrazione di questo fatto, che però può essere facilmente illustrato graficamente (ogni freccia corrisponde ad un aumento di uno nel conteggio).

Grazie ai numeri razionali abbiamo quindi "popolato" in maniera molto fitta la nostra rappresentazione grafica dei numeri, infatti tra ciascuna coppia di numeri interi dobbiamo inserire un'infinità di numeri razionali, e tra ciascuna coppia dei numeri razionali suddetti ce ne saranno a loro volta un'infinità di altri! Possiamo allora chiederci, è la rappresentazione grafica di \(\mathbb{Q}\) una retta ordinata, ovvero una successione continua (e ordinata²) di numeri?

La risposta è no, i numeri razionali non sono un continuo! Il perché lo spiegheremo nella prossima sezione, introducendo il concetto di taglio di Dedekind e di numero reale.

Nella §2 abbiamo definito il concetto di coppia ordinata \((a,b)\). Estendiamo ora (informalmente) tale concetto per definire stringhe, o \(n\)-upla ordinate, di numeri. Siano \(a_0,a_1,a_2,\dotsc,a_n\) \(n\) numeri (ad esempio reali). Con essi possiamo convenientemente formare una \(n\)-upla ordinata, o stringa \[ A_{(n)}=(a_0,a_1,a_2,\dotsc,a_n) \] il cui ordine segue quello dei numeri naturali \(_0,_1,_2,\dotsc,_n\) che abbiamo usato come pedice (possiamo di fatto dire di aver scelto l'ordine della stringa proprio scegliendo di chiamare \(a_0\) il primo numero, \(a_1\) il secondo, etc). Possiamo anche pensare di considerare una stringa infinita (ma numerabile) di numeri reali, aumentando l'indice \(n\) fino all'infinito: \(A_{(\infty)}=(a_0,a_1,a_2,\dotsc,a_n,a_{n+1},\dotsc)\; .\)

È conveniente adottare le seguenti notazioni equivalenti per la stringa \(A_{(\infty)}\) (utilizzeremo prevalentemente la prima): \[A_{(\infty)} = (a_n)_{n\in \mathbb{N}}= (a_n)_{n=1}^{\infty} \; .\]

Inoltre d'ora in poi ci scorderemo della notazione \(A_{(\infty)}\), e chiameremo successione di numeri ogni stringa infinita di numeri.

Un importante concetto legato alle successioni numeriche è quello di convergenza. Una successione numerica \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) può essere vista graficamente come una sequenza di un numero infinito punti sulla retta numerica, disegnati ordinatamente uno dopo l'altro. In alcuni casi tali punti si avvicinano sempre più, al crescere dell'indice \(_n\) della successione, ad un certo valore \(a_{\infty}\) sulla retta numerica. In questo caso si dice che la successione converge, e si chiama \(a_{\infty}\) il suo valore limite.

Come possiamo definire matematicamente il concetto di "si avvicina sempre più"? Introduciamo il concetto di vicinato di un numero reale. Preliminarmente, definiamo intervallo (aperto o chiuso) sulla retta reale un suo segmento.

La notazione è suggestiva del fatto che nell'intervallo aperto non si includono gli estremi del segmento individuato sulla retta numerica, mentre in quello chiuso si.

Grazie al concetto di vicinato, possiamo ora chiarire come una successione si possa avvicinare sempre più ad un certo numero. Dato un vicinato \(V_a(\varepsilon)\), diciamo che la successione \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) è eventualmente in \(V_a(\varepsilon)\) se esiste un numero naturale \(\underline{n}\in \mathbb{N}\) tale per cui \[ (\forall n\geq \underline{n})\; a_n\in V_a(\varepsilon)\; . \]

Come possiamo quantificare la nozione di convergenza appena data? Utilizzando il concetto di valore assoluto. Dato un numero reale \(r\in \mathbb{R}\), definiamo il suo valore assoluto, o modulo nel seguente modo⁶: \[ \lvert r \rvert_{}^{}=\max\{r,-r\} \; . \]

Ora possiamo riformulare il concetto di convergenza nel modo seguente: \[ a_n\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} a_{\infty} \; \longleftrightarrow \; (\forall\varepsilon > 0)(\exists \underline{n}\in \mathbb{N})(\forall n\geq \underline{n})\, \lvert a_n -a_{\infty} \rvert_{}^{} < \varepsilon \; . \]

Abbiamo quindi dimostrato il lemma seguente.

Definiamo ora il comportamento di successioni di numeri che diventano o sempre più grandi, o sempre più piccoli.

È banale, e quindi non lo dimostreremo, capire che se una successione diverge verso \(+\infty\) o \(-\infty\), allora non può allo stesso tempo convergere verso alcun numero reale.

Si tenga a mente che esistono successioni che diventano alternativamente sempre più grandi e sempre più piccole, e che quindi non convergono ma non divergono né a \(+\infty\), né a \(-\infty\), secondo la nostra definizione. Successioni che oscillano tra valori maggiori e minori di un determinato numero (solitamente zero) vengono anche chiamate successioni oscillanti. Tre esempi di successioni oscillanti \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) sono dati da:

\begin{align*} a_n&=(-1)^n\; ,\\ a_n&=(-1)^n n\; ,\\ a_n&= \frac{(-1)^n}{n}\; . \end{align*}

Le prime due non convergono (e nella seconda i valori con indice pari diventano sempre più grandi, mentre quelli con indice dispari sempre più piccoli), mentre la terza converge a zero.

I limiti di successioni possono essere combinati tramite operazioni aritmetiche, in maniera conveniente. Infatti l'idea è che, operativamente, sia sufficiente conoscere alcuni limiti "notevoli", da cui poi si possono ricavare altri apparentemente più complessi tramite semplici operazioni aritmetiche. Per poter operare sui limiti aritmeticamente, è bene chiarire il significato di alcuni simboli, apparentemente ambigui.

Innanzitutto, definiamo le seguenti uguaglianze: sia \(a\in \mathbb{R}\); \(\alpha > 1\); e \(0^{\pm}\) un numero molto vicino a zero, ma rispettivamente positivo o negativo; allora

\(\phantom{i}\)

• \[\pm \infty +a = \pm \infty\; ,\] \(\phantom{i}\)
• \[+\infty +\infty = +\infty\;,\] \(\phantom{i}\)
• \[-\infty -\infty = - \infty\; ,\] \(\phantom{i}\)
• \[\frac{1}{\pm\infty} = 0\; ,\] \(\phantom{i}\)
• \[\frac{1}{0^{\pm}}= \pm \infty \;,\] \(\phantom{i}\)
• \[+\infty * \pm\infty = \pm\infty\;,\] \(\phantom{i}\)
• \[+\infty * \pm \lvert a \rvert_{}^{} = \pm \infty\; ,\] \(\phantom{i}\)
• \[(+\infty)^{+\infty} = + \infty\; ,\] \(\phantom{i}\)
• \[(\pm\infty)^{-\infty} = 0\; ,\] \(\phantom{i}\)
• \[\alpha^{+\infty}= +\infty\; ,\] \(\phantom{i}\)
• \[\alpha^{-\infty}= 0\; ,\] \(\phantom{i}\)
• \[\log_{\alpha} (+\infty) = +\infty\; ,\] \(\phantom{i}\)
• \[\log_{\alpha} (0^+) = -\infty\; .\] \(\phantom{i}\)

\(\phantom{i}\)

Definiamo poi alcune forme ambigue, o indeterminate, a cui dovremo prestare particolare attenzione.

\(\phantom{i}\)

• \[\boxed{\frac{0}{0}}\] \(\phantom{i}\)
• \[\boxed{\frac{\pm \infty}{\pm \infty}}\] \(\phantom{i}\)
• \[\boxed{0 * (\pm \infty)}\] \(\phantom{i}\)
• \[\boxed{+\infty -\infty}\] \(\phantom{i}\)
• \[\boxed{0^0}\] \(\phantom{i}\)
• \[\boxed{1^{\pm \infty}}\] \(\phantom{i}\)
• \[\boxed{(\pm\infty)^0}\] \(\phantom{i}\)

\(\phantom{i}\)

Tenendo a mente ciò, si ottiene il seguente risultato (che non dimostreremo).

Abbiamo già dimostrato o discusso i seguenti limiti, che d'ora in poi prenderemo come assodati: sia \(\lambda\in \mathbb{R}\) un numero reale, \(\alpha > 0 \), allora

\begin{align*} n^{\alpha}&\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} +\infty \; ,\\ \frac{1}{n^{\alpha}}&\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0\; ,\\ \lambda&\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} \lambda \; . \end{align*}

Ora possiamo combinare i limiti qui sopra con le regole fornite dal Teorema 4.3.3 per studiare il limite di quozienti di polinomi di \(n\). Ad esempio, consideriamo \[ a_n= \frac{3n^2+4n+6}{n^3+1}\; . \] Ne consegue che il numeratore \(3n^2+4n+6 \to +\infty +\infty +6=+\infty\), e il denominatore \(n^3+1\to +\infty+1=+\infty\). Siamo quindi di fronte ad una forma indeterminata del tipo \(\frac{+ \infty}{+ \infty}\). Possiamo però risolvere tale indeterminatezza in maniera piuttosto semplice. L'idea, che poi estenderemo a quozienti di polinomi generici, è la seguente: raccogliamo a fattore comune, sia al numeratore che al denominatore, la potenza di \(n\) di grado massimo, in questo caso \(n^2\) al numeratore e \(n^3\) al denominatore: \[ \frac{3n^2+4n+6}{n^3+1}= \frac{n^2\bigl(3+ \tfrac{4}{n}+\tfrac{6}{n^2}\bigr)}{n^3\bigl(1+\tfrac{1}{n^3}\bigr)}= \frac{\bigl(3+ \tfrac{4}{n}+\tfrac{6}{n^2}\bigr)}{n\bigl(1+\tfrac{1}{n^3}\bigr)}\; . \] Ora il numeratore \(3+ \tfrac{4}{n}+\tfrac{6}{n^2}\to 3+0+0=3\), il secondo fattore del denominatore \(1+\tfrac{1}{n^3}\to 1+0=1\), mentre il primo fattore del denominatore \(n \to + \infty \). Combinando i limiti abbiamo quindi che \(\frac{\bigl(3+ \tfrac{4}{n}+\tfrac{6}{n^2}\bigr)}{n\bigl(1+\tfrac{1}{n^3}\bigr)}\to \frac{3}{+\infty}= 0\). Risulta quindi che \[ \lim_{n\to \infty}\frac{3n^2+4n+6}{n^3+1} = 0 \; .\] Analogamente, \[ \lim_{n\to \infty}\frac{\pm8n^{4}+7n^5+6n}{n^\pi+27\pi^2} = \pm\infty\; ,\] e \[ \lim_{n\to \infty}\frac{7n^5+8n^{4}+6n}{2n^5+2} = \frac{7}{2}\; .\]

Abbiamo perciò il seguente conveniente criterio operativo per calcolare il limite di quozienti di polinomi:

• Individuiamo il grado più alto di \(n\) sia al numeratore che al denominatore;
• Confrontiamo tra loro tali gradi più alti (chiamiamoli \(g_{\rm n}\) e \(g_{\rm d}\)): avremo necessariamente o \(g_{\rm n} > g_{\rm d}\), o \(g_{\rm n} < g_{\rm d}\), o \(g_{\rm n}=g_{\rm d}\);
• Se \(g_{\rm n} > g_{\rm d}\), allora il limite è \(\pm \infty\), con il segno determinato dal segno del rapporto dei coefficienti di grado massimo di numeratore e denominatore;
• Se \(g_{\rm n} < g_{\rm d}\), allora il limite è \(0\);
• Se \(g_{\rm n}= g_{\rm d}\), allora il limite è il rapporto fra i coefficienti di grado massimo di numeratore e denominatore.